2016年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

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1、2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题每小题5分在每小题给出的四个选项中-只有一项是符合题目要求的1已知等差数列an满足a2=2，a6=0，则数列an的公差为（）AB2CD22已知R是实数集，M=（）A（1，2）B一l，2C（0，2）D0，23已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）若为实数，（ +），则=（）ABC1D24已知（，0），且sin2=，则sin+cos=（）ABCD5已知实数a，b，c，d成等比数列，且对函数y=ln（x+2）x，当x=b时取到极大值c，则ad等于（）A1B0C1D26在等比数列an中，a2+a3+a

2、8=8， +=2，则a5的值（）A2B2C3D37已知函数f（x）=min，其中min（p，q表示p，q两者中较小的一个，则满足f（x）1的x的集合为（）A（0，）B（0，）（4，+）C（0，2）D（0，2）（16，+）8直线y=与曲线y=2sin（x+）cos（x）在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，则|等于（）A6B7C12D139已知数列an的前n项和Sn=2n（nN*），则n2时，a12+a22+an2=（）ABCD10已知函数f（x）=的值域是0，2，则实数a的取值范围是（）A（0，1B1，C1，2D，211已知f（x）是定义在（0，+）上的单调递减函数，f（x）是其导

3、函数，若x，则下列不等关系成立的是（）Af（2）2f（1）B3f（2）2f（3）Cef（e）f（e2）Def（e2）f（e3）12定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=4f（x）x0，2）时，f（x）=，若x2，0）对任意的t1，2）都有 f（x）成立，则实数a的取值范围是（）A（，2B12，+）C（，6D6，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13求曲线y=，y=x2所围成图形的面积14已知向量，满足|=2|0，且函数在f（x）=在R上有极值，则向量，的夹角的取值范围是15下列四个命题：函数f（x）=cosxsinx的最大值为1；命题“xR，x2lgx”的否定是“xR，x

4、2lgx”；若ABC为锐角三角形，则有sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC；“a0”是“函数f（x）=|x2ax|在区间（0，+oo）内单调递增”的充分必要条件其中所有正确命题的序号为16已知e为自然对数的底数，函数f（x）=exex+ln（+x）+1，f（x）为其导函数，则f（e）+f（e）+f（e）f（e）=三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列an满足：a1=，a2=2且3（an+12an+an1）=2（1）令bn=anan1，求证：bn是等差数列，并求an的通项公式；（2）为使+成立的最小的正整数n18在用“五点法

5、”画函数f（x）=Asinx（x+）（0，|）在某一周期内的图象时，列表并填人了部分数据，如表：x+02x25Asin（x+）0220（1）请将上表中处数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式； （2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位，得到y=g（x）的图象，求g（x）在z2，2时的单调递增区间19已知函数f（x）=alnxbx2图象上一点P（2，f（2）处的切线方程为y=3x+2ln2+2（1）求a，b的值；（2）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底）20在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

6、且a，b，c成公差为1的等差数列，C=2A（1）求a，b，c的值；（2）求方向上的投影21设函数f（x）=exax1（a0）（1）求函数f（x）的最小值g（a），并证明g（a）0；（2）求证：nN*，都有1n+1+2n+1+3n+1+nn+1成立四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑【选修4-l：几何证明选讲】22如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，ADBC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P（1

7、）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线【选修4-4：坐标系与参数方程】23在平面直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为的直线，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系（取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为=4cos（）写出求直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围【选修4-5：不等式选讲】24设函数f（x）=|x|+|x+m|（m0）（1）证明：f（x）4；（2）若f（2）5，求m的取值范围2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析

8、一、选择题：本大题共12小题每小题5分在每小题给出的四个选项中-只有一项是符合题目要求的1已知等差数列an满足a2=2，a6=0，则数列an的公差为（）AB2CD2【考点】等差数列的通项公式【分析】根据等差数列的通项公式，列出方程求出公差d即可【解答】解：等差数列an中，a2=2，a6=0，a6a2=4d=2，解得d=，数列an的公差为故选：C2已知R是实数集，M=（）A（1，2）B一l，2C（0，2）D0，2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】先通过解不等式及函数的值域求出集合M，N，然后进行补集、交集的运算即可【解答】解：1，10，0，x（x2）0，解得x0，或x2，M=（，0）（2，+

9、），RM=0，2，y=x211，N=1，+），RMN=0，2，故选：D3已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）若为实数，（ +），则=（）ABC1D2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】根据所给的两个向量的坐标，写出要用的+向量的坐标，根据两个向量平行，写出两个向量平行的坐标表示形式，得到关于的方程，解方程即可【解答】解：向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）=（1+，2）（+），4（1+）6=0，故选B4已知（，0），且sin2=，则sin+cos=（）ABCD【考点】二倍角的正弦【分析】由题意易得2sincos=，由a（，0），可得sin+cos=，代入即可求值得

10、解【解答】解：sin2=，2sincos=，a（，0），cos+sin0，sin+cos=故选：B5已知实数a，b，c，d成等比数列，且对函数y=ln（x+2）x，当x=b时取到极大值c，则ad等于（）A1B0C1D2【考点】数列与函数的综合【分析】首先根据题意求出函数的导数为f（x）=，再结合当x=b时函数取到极大值c，进而求出b与c的数值，再利用等比数列的性质得到答案【解答】解：由题意可得：函数y=ln（x+2）x，所以f（x）=因为当x=b时函数取到极大值c，所以有且ln（b+2）b=c，解得：b=1，c=1即bc=1因为实数a，b，c，d成等比数列，所以ad=bc=1故选A6在等比数列

11、an中，a2+a3+a8=8， +=2，则a5的值（）A2B2C3D3【考点】等比数列的性质【分析】利用等比数列的求和公式，可得=8， =2，两式相除，即可得出结论【解答】解：设等比数列的公比为q，则a2+a3+a8=8， +=2，=8， =2，a5=2故选：A7已知函数f（x）=min，其中min（p，q表示p，q两者中较小的一个，则满足f（x）1的x的集合为（）A（0，）B（0，）（4，+）C（0，2）D（0，2）（16，+）【考点】对数值大小的比较【分析】先根据“设minp，q表示p，q两者中的较小的一个”求得函数f（x），再按分段函数用分类讨论解不等式【解答】解：当3log2xlog2

12、x时，即 x4时f（x）=3log2x，当3log2xlog2x时，即x4时f（x）=log2x，f（x）1；当x4时，f（x）=3log2x1，此时：x16；当x4时f（x）=log2x1，此时：0x2；综上不等式的解集为：（0，2）（16，+）故选：D8直线y=与曲线y=2sin（x+）cos（x）在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，则|等于（）A6B7C12D13【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】利用三角函数的诱导公式与二倍角的正弦可知y=sin2x，依题意可求得M1，M2，M3，M13的坐标，从而可求|的值【解答】解：y=2sin（x+）cos（x）=2cosxsi

13、nx=sin2x，由题意得：sin2x=，2x=2k+或2x=2k+，x=k+或x=k+，kZ，正弦曲线y=sin2x与直线y=在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，得M1（，0），M2（，0），M3（+），M4（+），M13（6+，0），=（6，0），|=6故选A9已知数列an的前n项和Sn=2n（nN*），则n2时，a12+a22+an2=（）ABCD【考点】数列的求和【分析】数列an的前n项和Sn=2n（nN*），当n=1时，a1=2当n2时，an=SnSn11，再利用等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：数列an的前n项和Sn=2n（nN*），当n=1时，a1=2当n2

14、时，an=SnSn1=2n2n1=2n1，an=，=则n2时，a12+a22+=4+4=故选：B10已知函数f（x）=的值域是0，2，则实数a的取值范围是（）A（0，1B1，C1，2D，2【考点】分段函数的应用【分析】画出函数的图象，令y=2求出临界值，结合图象，即可得到a的取值范围【解答】解：函数f（x）=的图象如下图所示：函数f（x）的值域是0，2，10，a，即a1，又由当y=2时，x33x=0，x=（0，舍去），aa的取值范围是1，故选：B11已知f（x）是定义在（0，+）上的单调递减函数，f（x）是其导函数，若x，则下列不等关系成立的是（）Af（2）2f（1）B3f（2）2f（3）Ce

15、f（e）f（e2）Def（e2）f（e3）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】令g（x）=，求导g（x）=，从而可判断函数g（x）在（0，+）上是增函数，从而得到答案【解答】解：令g（x）=，故g（x）=，f（x）是定义在（0，+）上的单调递减函数，f（x）是其导函数，f（x）0，x，xf（x）f（x）0，函数g（x）在（0，+）上是增函数，故，故2f（3）3f（2），f（2）2f（1），f（e3）ef（e2），ef（e）f（e2）；故选C12定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=4f（x）x0，2）时，f（x）=，若x2，0）对任意的t1，2）都有 f（x）成立，则实数a的取值范围是

16、（）A（，2B12，+）C（，6D6，+）【考点】抽象函数及其应用；分段函数的应用【分析】求出x2，0），f（x）的最小值为，则对任意的t1，2）都有成立，从而对任意的t1，2）都有2at3+4t2求出右边的范围，即可求出实数a的取值范围【解答】解：设x2，0），则x+20，2），x0，2）时，f（x）=的最小值为，x2，0），f（x）的最小值为，对任意的t1，2）都有成立，对任意的t1，2）都有2at3+4t2令y=t3+4t2，则y=3t2+8t0，y=t3+4t2在1，2）上单调递增，5y24，2a24，a12，故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13求曲线y=，y=

17、x2所围成图形的面积【考点】定积分【分析】先由解的x的值，再利用定积分即可求得面积【解答】解：由，解得x=0，1曲线所围成图形的面积=故答案是14已知向量，满足|=2|0，且函数在f（x）=在R上有极值，则向量，的夹角的取值范围是（，）【考点】利用导数研究函数的极值；平面向量数量积的运算【分析】由已知条件得f（x）=x2+|x+=0成立，=|240，由此能求出与的夹角的取值范围【解答】解：关于x的函数f（x）=x3+|x2+x在R上有极值，f（x）=x2+|x+=0成立，方程有根，=|240，|24|cos0，由|=2|0，得cos，故答案为：（，）15下列四个命题：函数f（x）=cosxsi

18、nx的最大值为1；命题“xR，x2lgx”的否定是“xR，x2lgx”；若ABC为锐角三角形，则有sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC；“a0”是“函数f（x）=|x2ax|在区间（0，+oo）内单调递增”的充分必要条件其中所有正确命题的序号为【考点】命题的真假判断与应用【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论【解答】解：函数f（x）=cosxsinx=sin2x的最大值为，不正确；命题“xR，x2lgx”的否定是“xR，x2lgx”，正确；ABC为锐角三角形，A+B，AB，y=sinx在（0，）上是增函数，sinAsin（B）=cosB 同理可得sinBcosC，si

19、nCcosA，sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosCsinA，正确；a0，函数f（x）=|x2ax|的零点是a，0，结合二次函数的对称轴，可得函数f（x）=|x2ax|在区间（0，+）内单调递增；若函数f（x）=|x2ax|在区间（0，+）内单调递增，结合二次函数的对称轴，可得0，a0，“a0”是“函数f（x）=|x2ax|在区间（0，+）内单调递增”的充分必要条件，正确故答案为：16已知e为自然对数的底数，函数f（x）=exex+ln（+x）+1，f（x）为其导函数，则f（e）+f（e）+f（e）f（e）=2【考点】导数的运算【分析】由已知函数解析式，令函数g（x）=f（x

20、）1，可知函数g（x）为奇函数，求导后判断g（x）=f（x）为偶函数，然后借助于函数奇偶性的性质可得f（e）+f（e）=2，f（e）f（e）=0，由此求得f（e）+f（e）+f（e）f（e）=2【解答】解：f（x）=exex+ln（+x）+1，令g（x）=f（x）1=exex+ln（+x），则g（x）=f（x）1=，g（x）+g（x）=0，故g（x）为奇函数，g（x）=f（x）=，由g（x）g（x）=，可知g（x）=f（x）为偶函数，g（e）+g（e）=f（e）1+f（e）1=0，f（e）+f（e）=2又f（e）=f（e），f（e）f（e）=0，f（e）+f（e）+f（e）f（e）=2故答案为

21、：2三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列an满足：a1=，a2=2且3（an+12an+an1）=2（1）令bn=anan1，求证：bn是等差数列，并求an的通项公式；（2）为使+成立的最小的正整数n【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由3（an+12an+an1）=2，变形为：an+1an=anan1+可得bn+1bn=，利用等差数列的定义即可证明（2）由（1）可得：anan1=利用“累加求和”可得：an=a1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）=，可得=3利用“裂项求和”可得： +=3=，解出即可【解答】（1）证明：3（

22、an+12an+an1）=2，变形为：an+1an=anan1+bn=anan1，bn+1bn=，由a2a1=a1a0+，=b1+，解得b1=bn是等差数列，首项为，公差为bn=（2）解：由（1）可得：anan1=an=a1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）=+2+=，=3+=3+=3=成立，则n5因此为使+成立的最小的正整数n=618在用“五点法”画函数f（x）=Asinx（x+）（0，|）在某一周期内的图象时，列表并填人了部分数据，如表：x+02x25Asin（x+）0220（1）请将上表中处数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式； （2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标

23、缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位，得到y=g（x）的图象，求g（x）在z2，2时的单调递增区间【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；正弦函数的图象【分析】（1）根据用五点法作函数f（x）=Asinx（x+）的图象，求得表中处数据，并直接写出函数f（x）的解析式（2）由条件利用 y=Asin（x+）的图象变换规律，求得g（x）=2sin（x+），再根据整弦函数的单调性求得g（x）在z2，2时的单调递增区间【解答】解：（1）由表格可得A=2，再根据2+=，5+=，求得=，=，令x=0，求得x= 故为令x=，求得x=，Asin0=0，故为，为0令x=2，求得x=，故为函数f（x）的解析

24、式为f（x）=2sin（x），（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到y=2sin（x），再将所得图象向左平移个单位，得到y=g（x）=2sin（x+）=2sin（x+）的图象由2kx+2k+，求得4kx4k+，kZ，故g（x）在z2，2时的单调递增区间为，19已知函数f（x）=alnxbx2图象上一点P（2，f（2）处的切线方程为y=3x+2ln2+2（1）求a，b的值；（2）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义【分析】（1）对函数f（x）进行求导，根据f（2）=3得到关于a、b的关

25、系式，再将x=2代入切线方程得到f（2）的值从而求出答案（2）由（1）确定函数f（x）的解析式，进而表示出函数h（x）后对其求导，根据单调性与其极值点确定关系式得到答案【解答】解（1），f（2）=aln24b，且aln24b=6+2ln2+2解得a=2，b=1（2）f（x）=2lnxx2，令h（x）=f（x）+m=2lnxx2+m，则，令h（x）=0，得x=1（x=1舍去）在内，当x时，h（x）0，h（x）是增函数；当x（1，e时，h（x）0，h（x）是减函数则方程h（x）=0在内有两个不等实根的充要条件是即1m20在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成公差为1的等差

26、数列，C=2A（1）求a，b，c的值；（2）求方向上的投影【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理【分析】（1）由a，b，c成公差为1的等差数列，C=2A可分别设为b1，b，b+1，由正弦定理可得：又由余弦定理可得：（b1）2=（b+1）2+b22b（b+1），化为b25b=0，b1，解得b即可得出（2）由（1）可知：cosA=，可得cosC=cos2A=2cos2A1由于与的夹角为（C），可得方向上的投影=cos（C）【解答】解：（1）a，b，c成公差为1的等差数列，C=2A可分别设为b1，b，b+1，由正弦定理可得： =，化为又由余弦定理可得：（b1）2=（b+1）2+b22b（b+1），化

27、为b25b=0，b1，解得b=5a，b，c的值分别为4，5，6（2）由（1）可知：cosA=，cosC=cos2A=2cos2A1=与的夹角为（C），方向上的投影=cos（C）=5（cosC=）=21设函数f（x）=exax1（a0）（1）求函数f（x）的最小值g（a），并证明g（a）0；（2）求证：nN*，都有1n+1+2n+1+3n+1+nn+1成立【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）先求出函数f（x）的单调区间，从而求出f（x）的最小值g（a）=alna1，再求出g（a）的单调区间，从而得到g（a）0；（2）根据题意得到exx+1，从而可得（x+1）n+1（ex）n+1=e

28、（n+1）x，给x赋值，从而得到答案【解答】解：（1）由a0，及f（x）=exa可得：函数f（x）在（，lna）递减，在（lna，+）递增，函数f（x）的最小值g（a）=f（lna）=aalna1，则g（a）=lna，故a（0，1）时，g（a）0，a（1，+）时，g（a）0，从而g（a）在（0，1）递增，在（1，+）递减，且g（1）=0，故g（a）0；（2）证明：由（）可知，当a=1时，总有f（x）=exx10，当且仅当x=0时“=”成立，即x0时，总有exx+1，于是可得（x+1）n+1（ex）n+1=e（n+1）x，令x+1=，即x=，可得（）n+1en，令x+1=，即x=，可得：（）n+

29、1e1n，令x+1=，即x=，可得：（）n+1e2n，令x+1=，即x=，可得：（）n+1e1，对以上各等式求和可得：（）n+1+（）n+1+（）n+1+（）n+1en+e1n+e2n+e1=，对任意的正整数n，都有（）n+1+（）n+1+（）n+1+（）n+1，1n+1+2n+1+3n+1+nn+1成立四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑【选修4-l：几何证明选讲】22如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，ADBC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG

30、并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明【分析】（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得BFCDGC且FECGAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到FAO=EBO，结合BE是圆的切线，得到PAOA，从而得到PA是圆O的切线【解答】证明：（1）BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，EBBC又ADBC，ADBE可得BFCDGC，FECGAC，得G是AD的中点，即DG=AGBF=EF（2）连接AO，ABBC是圆

31、O的直径，BAC=90由（1）得：在RtBAE中，F是斜边BE的中点，AF=FB=EF，可得FBA=FAB又OA=OB，ABO=BAOBE是圆O的切线，EBO=90，得EBO=FBA+ABO=FAB+BAO=FAO=90，PAOA，由圆的切线判定定理，得PA是圆O的切线【选修4-4：坐标系与参数方程】23在平面直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为的直线，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系（取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为=4cos（）写出求直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|

32、的取值范围【考点】参数方程化成普通方程【分析】对第（）问，根据“”直接写出l的参数方程，利用极坐标与直角坐标的转换关系式，可将曲线C的方程化为直角坐标方程；对第（）问，联立l的参数方程与曲线C的普通方程，消去x与y，得到关于t的一元二次方程，写出|PM|+|PN|关于t及的表达式，利用韦达定理及的范围，可探求|PM|+|PN|的取值范围【解答】解：（）直线l过定点P（4，2），且倾斜角为，l的参数方程为（t为参数）由=4cos，得2=4cos，将代入上式中，整理得曲线C的普通方程为x2+y24x=0（）将l的参数方程代入x2+y2=4x中，得t2+4（sin+cos）t+4=0，由题意有=16

33、（sin+cos）2160，得sincos0，0，sin0，且cos0，从而0设点M，N对应的参数分别为t1，t2，由韦达定理，得t1+t2=4（sin+cos）0，t1t2=40，t10，且t20，|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=t1t2=4（sin+cos）=由0，得，1，故|PM|+|PN|的取值范围是【选修4-5：不等式选讲】24设函数f（x）=|x|+|x+m|（m0）（1）证明：f（x）4；（2）若f（2）5，求m的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（）由m0，由f（x）的解析式利用绝对值三角不等式证得结论（）分当2时和当2时两种情况，分别根据f（2）5，求得m的范围，再把所得m的范围取并集，即得所求【解答】解：（）由m0，有f（x）=|x|+|x+m|（x）+x+m|=+m4，当且仅当=m，即m=2时取“=”，所以f（x）4成立（）f（2）=|2|+|2+m|当2，即m2时，f（2）=m+4，由f（2）5，求得m当2，即0m2时，f（2）=+m，由f（2）5，求得0m1综上，m的取值范围是（0，1）（，+）2017年1月15日