2016年贵州省贵阳市高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

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1、2015-2016学年贵州省贵阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的1已知集合A=x|x2+2x30，B=x|0x2，则AB=（）Ax|1x2Bx|x3，或1x2Cx|x3，或0x2Dx|0x12设i为虚数单位，则复数Z=的共轭复数为（）A23iB23iC2+3iD2+3i3设x，yR，则“x，y1”是“x2+y22”的（）A既不充分也不必要条件B必要不充分条件C充要条件D充分不必要条件4甲乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，如图所示，记甲的体积为V甲，乙的体积为V乙，则（）AV甲V乙BV

2、甲=V乙CV甲V乙DV甲、V乙大小不能确定5下列函数中，以为最小正周期的奇函数是（）Ay=sin2x+cos2xBy=sin（4x+）Cy=sin2xcos2xDy=sin22xcos22x6如图，在三棱锥PABC中，不能证明APBC的条件是（）AAPPB，APPCBAPPB，BCPBC平面BPC平面APC，BCPCDAP平面PBC7阅读程序框图，为使输出的数据为31，则处应填的表达式为（）Ai3Bi4Ci5Di68已知O为坐标原点，点A（1，2），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）A1，0B0，1C1，3D1，49已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能

3、是（）Af（x）=eBf（x）=eCf（x）=e1Df（x）=ln（x21）10若点A（a，b）在第一象限且在x+2y=4上移动，则log2a+log2b（）A最大值为2B最小值为1C最大值为1D没有最大值和最小值11在4，4上随机取一个实数m，能使函数f（x）=x3+mx2+3x在R上单调递增的概率为（）ABCD12已知双曲线与函数y=的图象交于点P，若函数y=的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F（2，0），则双曲线的离心率是（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13图中阴影部分的面积等于14在ABC中内角A、B、C所对边分别是a、b、c，若sin2=，ABC的形状一定

4、是15若直线x+ay1=0与2xy+5=0垂直，则二项式（ax2）5的展开式中x4的系数为16在平面直角坐标系中，已知点P（3，0）在圆C：（xm）2+（y2）2=40内，动直线AB过点P且交圆C于A、B两点，若ABC的面积的最大值为20，则实数m的取值范围是三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17设等差数列an的前n项和为Sn，已知a5=3，S10=40（）求数列an的通项公式；（）若从数列an中依次取出第2，4，8，2n，项，按原来的顺序排成一个新数列bn，求数列bn的前n项和Tn18在科普知识竞赛前的培训活动中，将甲、乙两名学生的6次培训成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图

5、：（）若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；（）若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个，记选到的分数超过87分的个数为，求的分布列和数学期望19如图，在底面为梯形的四棱锥SABCD中，已知ADBC，ASC=60，BAD=135，AD=DC=，SA=SC=SD=2，O为AC中点（）求证：SO平面ABCD；（）求二面角ASBC的余弦值20设点F1（c，0），F2（c，0）分别是椭圆C： =1（a1）的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且的最小值为0（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两

6、点，且F1Ml，F2Nl，求四边形F1MNF2面积S的最大值21设函数f（x）=xln（ax）（a0）（）设F（x）=2+f（x），讨论函数F（x）的单调性；（）过两点A（x1，f（x1），B（x2f（x2）（x1x2）的直线的斜率为k，求证：请考生在第22,23,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。选修4-1：几何证明选讲22如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E，作EFCB，并且交AD的延长线于点F，FG切圆O于点G（）求证：DEFEFA；（）如果FG=1，求EF的长选修4-4：坐标系与参数方程23选修44：坐

7、标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为=4cos，曲线C2的参数方程为（t为参数，0），射线=，=+，=与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C（I）求证：|OB|+|OC|=|OA|；（）当=时，B，C两点在曲线C2上，求m与的值选修4-5：不等式选讲24设f（x）=|x1|2|x+1|的最大值为m（）求m；（）若a，b，c（0，+），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值2015-2016学年贵州省贵阳市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在

8、每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的1已知集合A=x|x2+2x30，B=x|0x2，则AB=（）Ax|1x2Bx|x3，或1x2Cx|x3，或0x2Dx|0x1【考点】交集及其运算【分析】求出A等式的解集，找出A与B的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：（x+3）（x1）0，解得：x3或x1，即A=x|x3或x1，B=x|0x2，则AB=x|1x2，故选：A2设i为虚数单位，则复数Z=的共轭复数为（）A23iB23iC2+3iD2+3i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的混合运算，化简求解即可【解答】解：复数Z=2+3i复数Z=的共轭复数为：23i故

9、选：A3设x，yR，则“x，y1”是“x2+y22”的（）A既不充分也不必要条件B必要不充分条件C充要条件D充分不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】若x，y1”，则“x2+y22”；反之不成立，如取x=0，y=3即可判断出【解答】解：若“x，y1”，则“x2+y22”；反之不成立，如取x=0，y=3因此“x，y1”，则“x2+y22”的充分不必要条件故选：D4甲乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，如图所示，记甲的体积为V甲，乙的体积为V乙，则（）AV甲V乙BV甲=V乙CV甲V乙DV甲、V乙大小不能确定【考点】由三视图求面积、体积【分析】甲几何体为四棱锥，乙几何

10、体为甲几何体切去一个三棱锥后剩下的三棱锥【解答】解：由三视图可知甲几何体为四棱锥SABCD，乙几何体为三棱锥SBCD其中底面ABCD是正方形，SA平面ABCD，SA=AD=1，甲几何体的体积大于以几何体的体积故选C5下列函数中，以为最小正周期的奇函数是（）Ay=sin2x+cos2xBy=sin（4x+）Cy=sin2xcos2xDy=sin22xcos22x【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】由条件利用两角和差的三角公式，二倍角公式，诱导公式化简所给的函数的解析式，再利用三角函数的周期性和奇偶性，得出结论【解答】解：y=sin2x+cos2x=sin（2x+）是非奇非偶函数，故排除A；y

11、=sin（4x+）=cos4x为偶函数，故排除B；y=sin2xcos2x=sin4x是奇函数，周期为=，故满足条件y=sin22xcos22x=cos4x，为偶函数，故排除D，故选：C6如图，在三棱锥PABC中，不能证明APBC的条件是（）AAPPB，APPCBAPPB，BCPBC平面BPC平面APC，BCPCDAP平面PBC【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】利用线面垂直的判定与性质，即可得出结论【解答】解：对于A，APPB，APPC，PBPC=P，则AP平面PBC，APBC，不合题意；对于B，APPB，BCPB，不能证明APBC，合题意；对于C，平面BPC平面APC，平面BPC

12、平面APC=PC，BCPC，BC平面PAC，BCAP，不合题意；对于D，AP平面PBC，APBC，不合题意；故选：B7阅读程序框图，为使输出的数据为31，则处应填的表达式为（）Ai3Bi4Ci5Di6【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： S i 是否继续循环循环前 1 1/第一圈3 2 是第二圈7 3 是第三圈15 4 是第四圈31 5 否故最后当i4时退出，故选：B8已知O为坐标原点，点A（1，2），若点

13、M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）A1，0B0，1C1，3D1，4【考点】简单线性规划；平面向量数量积的运算【分析】由约束条件作出可行域，化为线性目标函数，然后化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令z=x+2y，得y=x+z由图可知，当直线y=x+z过A（1，1）时直线在y轴上的截距最小，z有最小值，等于z=1+2=1；当直线过B（0，2）时直线在y轴上的截距最大，z有最大值，z=22=4，的取值范围是1，4故选：D9已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）Af（x）=eBf（x）=eCf

14、（x）=e1Df（x）=ln（x21）【考点】函数的图象；函数解析式的求解及常用方法【分析】结合函数的图象，利用函数的定义域，最值以及单调性进行判断即可【解答】解：函数关于y轴对称，则函数f（x）为偶函数f（0）有意义，则排除D若f（x）=ln（x21），则f（0）=ln（1）无意义，不满足条件f（0）0，p排除C，若f（x）=e1，则f（0）=11=0，不满足条件当x=0时，函数f（x）取得最大值，排除B，故选：A10若点A（a，b）在第一象限且在x+2y=4上移动，则log2a+log2b（）A最大值为2B最小值为1C最大值为1D没有最大值和最小值【考点】对数的运算性质；基本不等式【分析】

15、由题意结合基本不等式的性质求得ab的最大值，再由对数的运算性质得答案【解答】解：由题意可得，则4=a+2b，ab2log2a+log2b=log2ablog22=1故选：C11在4，4上随机取一个实数m，能使函数f（x）=x3+mx2+3x在R上单调递增的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】利用导数求出函数f（x）为增函数的等价条件，结合几何概型的概率公式进行求解即可【解答】解：若f（x）=x3+mx2+3x在R上单调递增，则f（x）0恒成立，即f（x）=3x2+2mx+30，即判别式=4m24330，即m29，得3m3，则对应的概率P=，故选：D12已知双曲线与函数y=的图象交于点P，

16、若函数y=的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F（2，0），则双曲线的离心率是（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】设出切点坐标，通过导数求出切线方程的斜率，利用斜率相等列出方程，即可求出切点坐标，然后求解双曲线的离心率【解答】解：设P（m，），函数y=的导数为y=，可得切线的斜率为，又在点P处的切线过双曲线左焦点F（2，0），可得=，解得m=2，即P（2，），可得=1，又c2=a2+b2c=2，解得a=b=，则双曲线的离心率是e=，故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13图中阴影部分的面积等于1【考点】定积分【分析】根据题意，所求面积为函数3x2在区间0，1上的定积分

17、值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案【解答】解：根据题意，该阴影部分的面积为=x3=（1303）=1故答案为：114在ABC中内角A、B、C所对边分别是a、b、c，若sin2=，ABC的形状一定是直角三角形【考点】三角形的形状判断【分析】直接利用二倍角的余弦函数以及余弦定理化简求解即可判断三角形的形状【解答】解：sin2=，即cosB=，由余弦定理可得：cosB=，整理可得a2+b2=c2，三角形是直角三角形故答案为：直角三角形15若直线x+ay1=0与2xy+5=0垂直，则二项式（ax2）5的展开式中x4的系数为80【考点】二项式定理的应用【分析】直线x+ay1=0与2xy+5=0

18、垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得a则二项式（ax2）5化为，可得Tr+1=（2x2）r=（1）5r2rx3r5令3r5=4，解得r即可得出【解答】解：直线x+ay1=0与2xy+5=0垂直，2=1，解得a=2则二项式（ax2）5化为，Tr+1=（2x2）r=（1）5r2rx3r5令3r5=4，解得r=3T4=8x4=80x4展开式中x4的系数为80故答案为：8016在平面直角坐标系中，已知点P（3，0）在圆C：（xm）2+（y2）2=40内，动直线AB过点P且交圆C于A、B两点，若ABC的面积的最大值为20，则实数m的取值范围是3m1或7m9【考点】直线与圆的位置关系【分析】根据圆的

19、标准方程得到圆心坐标和半径，利用三角形面积的最大值，确定直线的位置，利用直线和方程的位置关系即可得到结论【解答】解：圆C：（xm）2+（y2）2=40，圆心C（m，2），半径r=2，SABC=r2sinACB=20sinACB，当ACB=90时S取最大值20，此时ABC为等腰直角三角形，AB=r=4，则C到AB距离=2，2PC2，即22，20（m3）2+440，即16（m3）236，圆C：（xm）2+（y2）2=40内，|OP|=，即（m3）236，16（m3）236，3m1或7m9，故答案为：3m1或7m9三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17设等差数列an的前n项和为Sn

20、，已知a5=3，S10=40（）求数列an的通项公式；（）若从数列an中依次取出第2，4，8，2n，项，按原来的顺序排成一个新数列bn，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和【分析】（）利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出数列an的通项公式（）由已知得bn=22n+7=2n+1+7，由此能求出数列bn的前n项和Tn【解答】解：（）等差数列an的前n项和为Sn，a5=3，S10=40，解得a1=5，d=2，an=2n+7（）数列an中依次取出第2，4，8，2n，项，按原来的顺序排成一个新数列bn，bn=22n+7=2n+1+7，Tn=（22+23+2n+

21、1）+7n=+7n=4+7n2n+218在科普知识竞赛前的培训活动中，将甲、乙两名学生的6次培训成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图：（）若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；（）若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个，记选到的分数超过87分的个数为，求的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列【分析】（）分别求出从甲、乙两名学生中的平均成绩和方差，得到甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更稳定，故应选择学生乙参加知识竞赛（）的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期

22、望【解答】（本小题满分12分）解：（）学生甲的平均成绩=82，学生乙的平均成绩=82，又S2甲= （6882）2+（7682）2+（7982）2+（8682）2+（8882）2+（9582）2=77，S2乙= （7182）2+（7582）2+（8282）2+（8482）2+（8682）2+（9482）2=，则=，S2甲S2乙，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更稳定，故应选择学生乙参加知识竞赛（）的所有可能取值为0，1，2，则P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，的分布列为012P所以数学期望E=19如图，在底面为梯形的四棱锥SABCD中，已知ADBC，ASC=60，BAD=

23、135，AD=DC=，SA=SC=SD=2，O为AC中点（）求证：SO平面ABCD；（）求二面角ASBC的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（）推导出ASC为正三角形，且AC=2，OS=，且OD=1，SOOD，由此能证明SO平面ABCD（）以O为原点，分别以OE，OC，OS所成直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角ASBC的余弦值【解答】证明：（）在ASC中，SA=SC，ASC=，O为AC中点，ASC为正三角形，且AC=2，OS=，在ADC中，DA2+DC2=4=AC2，O为AC中点，且OD=1，在SOD中，OS2+OD2=SD2，SOD为直角三

24、角形，且，SOOD，又SOAC，且ACOD=O，SO平面ABCD解：（）如图，设直线DO与BC交于点E，则OE、OC、OS两两垂直，以O为原点，分别以OE，OC，OS所成直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由（）知DAC=45，且BAD=135，BAC=90，ABx轴，又在ABC中，AB=2，A（0，1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），S（0，0，），=（2，0，0），=（0，1，），=（2，1，），=（0，1，），设平面ABS的一个法向量=（x，y，z），则，令z=1，得=（0，1），|=2，设平面SBC的法向量=（a，b，c），则，取a=，得=（），cos=，二面角ASBC的

25、余弦值是20设点F1（c，0），F2（c，0）分别是椭圆C： =1（a1）的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且的最小值为0（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1Ml，F2Nl，求四边形F1MNF2面积S的最大值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）利用的最小值为0，可得=x2+y2c2=x2+1c2，xa，a，即可求椭圆C的方程；（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程中，得到关于x的一元二次方程，由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，=0，即可得到m，k的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到d1=|

26、F1M|，d2=|F2N|当k0时，设直线l的倾斜角为，则|d1d2|=|MN|tan|，即可得到四边形F1MNF2面积S的表达式，利用基本不等式的性质，结合当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，即可得出S的最大值【解答】解：（1）设P（x，y），则=（x+c，y），=（xc，y），=x2+y2c2=x2+1c2，xa，a，由题意得，1c2=0c=1a2=2，椭圆C的方程为；（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程x2+2y2=2中，得（2k2+1）x2+4kmx+2m22=0由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，=16k2m24（2k2+1）（2m22）=0，化简得：m2=2k2+1设d

27、1=|F1M|=，d2=|F2N|=，当k0时，设直线l的倾斜角为，则|d1d2|=|MN|tan|，|MN|=|d1d2|，S=d1d2|（d1+d2）=，m2=2k2+1，当k0时，|m|1，|m|+2，S2当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，S=2所以四边形F1MNF2面积S的最大值为221设函数f（x）=xln（ax）（a0）（）设F（x）=2+f（x），讨论函数F（x）的单调性；（）过两点A（x1，f（x1），B（x2f（x2）（x1x2）的直线的斜率为k，求证：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出导函数的解析式，化简F（x）=2+f（

28、x），然后求解F（x）的导数，通过导函数的符号，讨论函数F（x）的单调性；（）求出过两点A（x1，f（x1），B（x2f（x2）（x1x2）的直线的斜率k的表达式，利用分析法证明转化为证明，通过左右两个不等式，两次构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，利用函数的最值即可证明【解答】（）解：f（x）=ln（ax）+1，所以，函数F（x）的定义域为（0，+），而当lna0时，即a1时，恒有F（x）0，函数F（x）在（0，+）上是增函数；当lna0，即0a1时，令F（x）0，得（lna）x2+10，解得；令F（x）0，得（lna）x2+10，解得；综上，当a1时，函数F（x）在（0，+）上是增函

29、数；当0a1时，函数F（x）在上为增函数，在上为减函数 （）证明： =，要证，因为x2x10，即证，令，则t1，则只要证，设g（t）=t1lnt，则，故g（t）在1，+）上是增函数所以当t1时，g（t）=t1lntg（1）=0，即t1lnt成立 要证，由于t1，即证t1tlnt，设h（t）=tlnt（t1），则h（t）=lnt0（t1），故函数h（t）在1，+）上是增函数，所以当t1时，h（t）=tlnt（t1）h（1）=0，即t1tlnt成立由知成立，得证请考生在第22,23,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。

30、选修4-1：几何证明选讲22如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E，作EFCB，并且交AD的延长线于点F，FG切圆O于点G（）求证：DEFEFA；（）如果FG=1，求EF的长【考点】相似三角形的判定【分析】（）由同位角相等得出BCE=FED，由圆中同弧所对圆周角相等得出BAD=BCD，结合公共角EFD=EFD，证出DEFEFA（）由（）得EF2=FAFD，再由圆的切线长定理FG2=FDFA，所以EF=FG=1【解答】（）证明：因为EFCB，所以BCE=FED，又BAD=BCD，所以BAD=FED，又EFD=EFD，所以DEFEFA（）解：由（）得，EF2=FAFD因为FG是切线，所以FG2=F

31、DFA，所以EF=FG=1选修4-4：坐标系与参数方程23选修44：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为=4cos，曲线C2的参数方程为（t为参数，0），射线=，=+，=与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C（I）求证：|OB|+|OC|=|OA|；（）当=时，B，C两点在曲线C2上，求m与的值【考点】简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程【分析】（）依题意，|OA|=4cos，|OB|=4cos（+），|OC|=4cos（），利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为4cos，=|OA|，命题得证（）当=时，

32、B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，）再把它们化为直角坐标，根据C2是经过点（m，0），倾斜角为的直线，又经过点B，C的直线方程为y=（x2），由此可得m及直线的斜率，从而求得的值【解答】解：（）依题意，|OA|=4cos，|OB|=4cos（+），|OC|=4cos（），则|OB|+|OC|=4cos（+）+4cos（）=2（cossin）+2（cos+sin）=4cos，=|OA|（）当=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，）化为直角坐标为B（1，），C（3，）C2是经过点（m，0），倾斜角为的直线，又经过点B，C的直线方程为y=（x2），故直线的斜率为，所以m=2，=选修4-

33、5：不等式选讲24设f（x）=|x1|2|x+1|的最大值为m（）求m；（）若a，b，c（0，+），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式【分析】（）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值【解答】解：（）当x1时，f（x）=3+x2；当1x1时，f（x）=13x2；当x1时，f（x）=x34故当x=1时，f（x）取得最大值m=2（）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a=b=c=时，等号成立此时，ab+bc取得最大值=12016年7月31日