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1、习题1.3a111.设 D = a?1ai2ai3a22a23= a=0,据此计算下列行列式(要求写出计算过程)：a31a32a332a113a135a2a12(1)a21a22a23； (2)2a213a23一 5a?2a22a11a12a312a313a335a32a32a31a32分析利用行列式得性质找出所求行列式与已知行列式的关系a31a32a33R13a11a12a13a21a22a23=-a21a22a23ana12a31a31a32a33解=_a.2a112a212a313a13 - 5a12方法3a?3 _ 5a?23a33 _ 5a32ai2a22a322a113a13a12
2、2a213a23a222a313a33a32提取公因子6a11ai3a21a23a31C23a11a12a13=-6a21a22a23a31a32a33ai2a22a32个数的和，可用行列式的性质 5将该行199819992000ab +c1X約2X3(1)200120022003 ； (2)bc + a1；(3)X2%X22x2y3200420052006ca +b1X3%X3y3(要求写出计算过程)：方法二注意到该行列式的第二列均为2列式分成2个行求和，结果与方法一相同2.用行列式性质计算下列行列式10 0-1111111100 2 2 0；(5)1234；110 10-33014 10
3、2010 1140044 0040 111a b -c2a2a(8)2b2b201102-992c2cc a b；第(5)至第(9)小题是采用归结化简为上分析 第(1)至第(4)小题可利用行列式性质求解(下)三角行列式求解199811(1)199820012004199920022005200020032006C2 -C1C3 - C2199820012004XX“2約3提取每行的公因子X2%X2y2約3X3%心2粉31a b c1cacX1X2X3100199920022005性质4C2 -C10；y1y1y1y2y2y220012004yayaya性质40；-3R3 _3 R2R4R210
4、1000C3-C20200C4 P0-360|40081111性质3412344141021001下三角形0041R2 R14R3 R 4201 2 6 8=9619=0；11111111101230123R4R3340031000310(*)100130003R4 - R104上三角形4)=_44 1 1 3 (-13做到()处也可以按第一列展开,再按第一列展开得：3 1033卄-10)711101110111011101101R2 R00-11R40111R3 +R201111011R3 &0-1010-10100120111011100-1100-11原式ai0000-a2a2上三角形1
5、 1 1 3=3 ；ai0000-a2a2ai0000-a2a2(8)也一样，21-1C3 +C2210R1 +R26004-114-104-1020110299201102320110230003a -b-c下三角形18;2b2ca b cbb - c - a提取公因子111R2 -(2b)R(a +b +c)R3 (2 c) R1注记行列式的计算可有多种解法 不再说明2ca +b + c2b=(a b c)3.,限于篇幅仅列出一种（未必是最简的）ai0000-a2a21a1a2ana1a10 001a1).*31 n 1xa2(a+1)2(a+2)2(a+3)b22(b+1)2(b+2)(
6、b+3)2 c2(c+1)2(c+2)(c + 3)d22(d +1)2(d +2)(d +3)22=0.4.证明：22ai0000-a2a2ai0000-a2a21123R2 - R1112312-x223R3 -2R01-x200R4 R32265002-12269-x2R4 -2R0023-x2解(1)方法ai0000-a2a2ai0000-a2a2110 1 -x2000023002-104-x2= 2(1 x2)(4x2).ai0000-a2a2ai0000-a2a2所以多项式f (x)的根为x = 1和乂 = 2 .方法二 f(x)是x的4次多项式,且可直接验证f(1)=f(_1)
7、=f (2) = f(_2)=0,所以f (x)的根为x = 1和x = 2 .(2)方法1 1 111 -X 1112 -xm*a1 1 1111111a1 n 1-x1110-x0Ri R1001 -xi =2,，n :0 0 0110000aa0 n 2 x= _x(1 _x)(2 _x) (n _2_x).所以多项式的根为 x = 0, x = 1,x = n - 2.方法二 f (x)是x的n-1次多项式，且可直接验证f(0)=f(1)=二f(n-2)=0, 所以 f (x)的根为 x = 0, x = 1，x = n -2.6.由n(n 1)阶行列式111111:=0,111来说明n!个不同的n阶排列中奇排列和偶排列各占一半证根据行列式的定义1111aa11IE (-1严弟的囤2j1 j2jn1anjn、(_1)urjn)=0.jj jn所以上式中(-1)的个数和(+1)的个数一样多，(-1)是由奇排列产生的，而(+1)是由偶排列产生 的.同时根据行列式的定义这里包括了所有的n阶排列，故可以得到全体 n阶排列中奇排列的个数与偶排列的个数一样多 ，各占一半.
线性代数课后习题答案1.3
