2017届上海市金山中学高三上学期期中数学试卷（解析版）

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1、2016-2017学年上海市金山中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（每题4分，共56分）1已知集合A=x|log2（x1）2，B=x|2x6，且AB=2已知不等式ax2+5x+b0的解集是x|2x3，则不等式bx25x+a0的解集是3若tan（+）=sin2+cos2，（，），则tan（）=4在等差数列an中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是5 =6若将函数y=cos（2x）的图象向左平移个单位长度，则平移后的函数对称轴为7在ABC中，a=5，b=8，C=60，则的值为8关于x的方程k4xk2x+1+6（k5）=0在区间0，1上有解，则实数k的取值范围是9若函数y=f（x）存在反函数

2、y=f1（x），且函数图象过，则函数的图象一定过10设等比数列an的前n项和为Sn，若S5、S4、S6成等差数列，则数列an的公比q的值等于11已知不等式对于任意xy0恒成立，求正实数a的范围12将正整数排成如图所示：其中第i行，第j列的那个数记为aij，则数表中的2015应记为13若偶函数y=f（x）（xR）满足f（1+x）=f（1x），且当x1，0时，f（x）=x2，则函数g（x）=f（x）|lgx|的零点个数为个14若数列an满足“对任意正整数n，恒成立”，则称数列an为“差非增数列”给出下列数列an，nN*：an=2n+1，an=n2+1，an=2n+1，an=ln，an=2n+其中是

3、“差非增数列”的有（写出所有满足条件的数列的序号）二、选择题（每题5分，共20分）15若a、bR，则“ab0”是“a2b2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件16已知角的终边经过点P（x，3）（x0）且cos=x，则x等于（）A1BC3D17已知函数f（x）的定义域为R当x0时，f（x）=x31；当1x1时，f（x）=f（x）；当x时，f（x+）=f（x）则f（6）=（）A2B1C0D218已知a0且a1，函数在区间（，+）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=loga|x|b|的图象是（）ABCD三、简答题（共74分）19已知ABC的内角A，B，C的对边

4、分别为a，b，c，且有a2+b2c2=4SABC（1）求角C的大小；（2）若c=，求ab的取值范围20已知数列an 的前n项和，bn是等差数列，且an=bn+bn+1；（1）求数列bn的通项公式；（2）求的最大项的值，并指出是第几项21某生产旅游纪念品的工厂，拟在2017年度进行系列促销活动经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x（单位：万件）与年促销费用t（单位：万元）之间满足3x与t+1成反比例（若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件）；已知工厂2017年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元当工厂把每件纪念品的售价定为“年平均每件生产成本的1.5倍”与“年

5、平均每件所占促销费的一半”之和时，则当年的产量和销量相等（利润=收入生产成本促销费用）；（1）请把该工厂2017年的年利润y（单位：万元）表示成促销费t（单位：万元）的函数；（2）试问：当2017的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？22已知函数f（x）=x2x|xa|3a，a0（1）若a=1，求f（x）的单调区间；（2）求函数在x0，3上的最值；（3）当a（0，3）时，若函数f（x）恰有两个不同的零点x1，x2，求的取值范围23已知数列an的前n项和为Sn，a1=0，a1+a2+a3+an+n=an+1，nN*（）求证：数列an+1是等比数列；（）设数列bn的前n项和为Tn，b1=1，

6、点（Tn+1，Tn）在直线上，若不等式对于nN*恒成立，求实数m的最大值2016-2017学年上海市金山中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共56分）1已知集合A=x|log2（x1）2，B=x|2x6，且AB=（2，4）【考点】交集及其运算【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可【解答】解：log2（x1）2，解得1x4，A=（1，4），B=x|2x6=（2，6），AB=（2，4），故答案为：（2，4）2已知不等式ax2+5x+b0的解集是x|2x3，则不等式bx25x+a0的解集是（，）【考点】一元二次不等式的解法【分析】根据不等式ax2+5

7、x+b0的解集求出a与b的值，再化简不等式bx25x+a0，求出解集即可【解答】解：不等式ax2+5x+b0的解集是x|2x3，则ax2+5x+b=0的实数根是3和2，由根与系数的关系，得3+2=，32=，解得a=1，b=6，不等式bx25x+a0可化为6x25x10，即6x2+5x+10，即（2x+1）（3x+1）0，解得x，不等式的解集是（，），故答案为：（，）3若tan（+）=sin2+cos2，（，），则tan（）=3【考点】三角函数的化简求值【分析】由两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知可得=，整理即可解得tan的值，结合的范围及诱导公式即可计算得解【解答】解：tan

8、（+）=sin2+cos2，=，整理可得：tan2（3+tan）=0，解得：tan=0，或3，（，），可得：tan0，tan=3，tan（）=tan=3故答案为：34在等差数列an中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的通项公式及前n项和公式列出方程组，能求出公差【解答】解：在等差数列an中，a7=8，前7项和S7=42，解得a1=4，d=故答案为：5 =【考点】极限及其运算【分析】利用裂项求和，再求极限，可得结论【解答】解： =（1+）=，故答案为6若将函数y=cos（2x）的图象向左平移个单位长度，则平移后的函数对称轴为【考点】函数y=A

9、sin（x+）的图象变换【分析】根据三角函数平移的性质，将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度可得：y=cos2（x+）=cos（2x+），根据余弦函数的性质可得：对称轴方程为：2x+=k，（kZ）化简即可得到对称轴方程【解答】解：由题意，函数y=cos（2x的）图象向左平移个单位长度，可得：y=cos2（x+）=cos（2x+），由2x+=k（kZ），解得：x=（kZ），故答案为：7在ABC中，a=5，b=8，C=60，则的值为20【考点】平面向量数量积的运算【分析】在ABC中，a=5，b=8，C=60中=120然后用数量积求值即可【解答】解： =故答案为：208关于x的方程k4xk

10、2x+1+6（k5）=0在区间0，1上有解，则实数k的取值范围是5，6【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】换元：令t=2x，则t1，2，原方程化为kt22kt+6（k5）=0，根据题意，问题转化为此方程在1，2上有零点，根据二次函数零点的判定方法即可求得结论【解答】解：令t=2x，则t1，2，方程k4xk2x+1+6（k5）=0，化为：kt22kt+6（k5）=0，根据题意，此关于t的一元二次方程在1，2上有零点，整理，得：方程k（t22t+6）=30，当t1，2时存在实数解，当t1，2时存在实数解t22t+6=（t1）2+55，6故答案为5，69若函数y=f（x）存在反函数y=f1（x）

11、，且函数图象过，则函数的图象一定过【考点】反函数【分析】由函数y=f（x）的反函数为y=f1（x），且函数的图象过点，代入计算出函数y=f（x）的图象过哪一个点，根据原函数与反函数图象的关系，我们易得函数y=f（x）的反函数y=f1（x）过什么点，进而得到函数的图象过的定点【解答】解：函数的图象过点，=tanf（2），即f（2）=，即函数y=f（x）的图象过点（2，），则函数y=f（x）的反函数y=f1（x）过（，2）点，函数的图象一定过点（，2），故答案为：10设等比数列an的前n项和为Sn，若S5、S4、S6成等差数列，则数列an的公比q的值等于2【考点】等比数列的前n项和【分析】根据题意

12、，由S5、S4、S6成等差数列，可得2S4=S5+S6，分2种情况讨论：q=1、q1，分别代入等比数列的前n项和公式，计算可得q的值，即可得答案【解答】解：根据题意，S5、S4、S6成等差数列，则2S4=S5+S6成等差数列，、当q=1时，Sn=na1，则S5=5a1，S4=4a1，S6=6a1，S5、S4、S6成等差数列不成立，故舍去、当q1时，有2=+，变形可得：0=2a5+a6，a5（2+q）=0，解得q=2则数列an的公比为q=2，故答案为：211已知不等式对于任意xy0恒成立，求正实数a的范围a4【考点】基本不等式【分析】首先分析题目已知不等式对任意x、y的正实数恒成立故对不等式左边

13、展开后，利用基本不等式得恒成立的满足条件（+1）29，然后解不等式，可求a值【解答】解：因为（x+y）（+）=1+a+1+a+2=1+a+2=（+1）2，a0，要使原不等式恒成立，则只需（+1）29，即+13，解得a4，故答案为：a412将正整数排成如图所示：其中第i行，第j列的那个数记为aij，则数表中的2015应记为a4579【考点】归纳推理【分析】本题考查的是归纳推理，解题思路为：分析各行数的排列规律，猜想前N行数的个数，从而进行求解【解答】解：前1行共有：1个数前2行共有：1+3=4个数前3行共有：1+3+5=9个数前4行共有：1+3+5+7=16个数由此猜想：前N行共有N2个数，44

14、2=19362015，452=20252015，故2015应出现在第45行，又由第45行的第一个数为1937，故2015应为第79个数，故答案为：a457913若偶函数y=f（x）（xR）满足f（1+x）=f（1x），且当x1，0时，f（x）=x2，则函数g（x）=f（x）|lgx|的零点个数为10个【考点】函数零点的判定定理【分析】运用函数的对称性和奇偶性，确定函数y=f（x）的周期，构造函数y=f（x），h（x）=|lgx|，则函数g（x）=f（x）|lgx|的零点问题转化为图象的交点问题，结合图象，即可得到结论【解答】解：偶函数y=f（x）（xR）满足f（1+x）=f（1x），即函数f（

15、x）关于x=1对称，即有f（x+2）=f（x）=f（x），则函数y=f（x）的周期为2，构造函数y=f（x），h（x）=|lgx|，画出它们的图象，则函数g（x）=f（x）|lgx|的零点问题转化为图象的交点问题，由于f（x）的最大值为1，所以x10时，图象没有交点，在（0，1）上有一个交点，（1，3），（3，5），（5，7），（7，9）上各有两个交点，在（9，10）上有一个交点，故共有10个交点，即函数零点的个数为10故答案为：1014若数列an满足“对任意正整数n，恒成立”，则称数列an为“差非增数列”给出下列数列an，nN*：an=2n+1，an=n2+1，an=2n+1，an=ln，a

16、n=2n+其中是“差非增数列”的有（写出所有满足条件的数列的序号）【考点】数列递推式【分析】把恒成立化为an+an+22an+1恒成立，然后逐一验证5个数列得答案【解答】解：若an=2n+1为“差非增数列”，则恒成立，即恒成立，此式显然不正确，不是“差非增数列”；若an=n2+1为“差非增数列”，则n2+1+（n+2）2+12（n+1）2+2，即20恒成立，此式显然不正确，不是“差非增数列”；若an=2n+1为“差非增数列”，则2n+1+2（n+2）+122（n+1）+1，即00恒成立，此式显然正确，是“差非增数列”；若an=ln为“差非增数列”，则ln+ln2ln，即恒成立，也就是2n+30

17、恒成立，此式显然正确，是“差非增数列”；若an=2n+为“差非增数列”，则，即20恒成立，此式显然不正确，不是“差非增数列”故答案为：二、选择题（每题5分，共20分）15若a、bR，则“ab0”是“a2b2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质【分析】利用不等式的性质判断出“ab0”则有“a2b2”，通过举反例得到“a2b2”成立推不出“ab0”成立，利用充要条件的有关定义得到结论【解答】解：若“ab0”则有“a2b2”反之则不成立，例如a=2，b=1满足“a2b2”但不满足“ab0”“ab0”是“a

18、2b2”的充分不必要条件，故选A16已知角的终边经过点P（x，3）（x0）且cos=x，则x等于（）A1BC3D【考点】任意角的三角函数的定义【分析】求出OP的距离，直接利用三角函数的定义，求出cos，列出方程，即可求出x的值【解答】解：已知角的终边经过点P（x，3）（x0）所以OP=，由三角函数的定义可知：cos=x=，x0解得x=1故选A17已知函数f（x）的定义域为R当x0时，f（x）=x31；当1x1时，f（x）=f（x）；当x时，f（x+）=f（x）则f（6）=（）A2B1C0D2【考点】抽象函数及其应用【分析】求得函数的周期为1，再利用当1x1时，f（x）=f（x），得到f（1）=

19、f（1），当x0时，f（x）=x31，得到f（1）=2，即可得出结论【解答】解：当x时，f（x+）=f（x），当x时，f（x+1）=f（x），即周期为1f（6）=f（1），当1x1时，f（x）=f（x），f（1）=f（1），当x0时，f（x）=x31，f（1）=2，f（1）=f（1）=2，f（6）=2故选：D18已知a0且a1，函数在区间（，+）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=loga|x|b|的图象是（）ABCD【考点】函数的图象；对数函数的单调性与特殊点【分析】根据函数是一个奇函数，函数在原点出有定义，得到函数的图象一定过原点，求出b的值，根据函数是一个增函数，看出底数的范围，得到

20、结果【解答】解：函数在区间（，+）上是奇函数，f（0）=0b=1，又函数在区间（，+）上是增函数，所以a1，所以g（x）=loga|x|1|定义域为x1，且当x1递增，当0x1递减，故选A三、简答题（共74分）19已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a2+b2c2=4SABC（1）求角C的大小；（2）若c=，求ab的取值范围【考点】余弦定理的应用【分析】（1）运用三角形的面积公式和余弦定理，可得cosC=sinC，由同角的商数关系和特殊角的函数值，可得角C；（2）运用正弦定理和两角差的正弦公式，结合正弦函数的单调性，即可得到所求范围【解答】解：（1）由a2+b2c2=4SAB

21、C得：a2+b2c2=4absinC=2absinC，即=sinC，即cosC=sinC，即为tanC=1，又角C为ABC的内角，所以C=45；（2）由正弦定理得： =2，可得a=2sinA，b=2sinB，所以ab=2sinAsinB=2sin Asin（A）=2sinA（cosA+sinA）=sinAcosA=sin（A），又因为0A，所以A，可得sin（A）1，所以1sin（A），故ab的取值范围是（1，）20已知数列an 的前n项和，bn是等差数列，且an=bn+bn+1；（1）求数列bn的通项公式；（2）求的最大项的值，并指出是第几项【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）运用n

22、=1，a1=S1；当n2时，an=SnSn1，可得an，再由等差数列的通项公式可得bn的通项或由n=1，n=2，解方程可得bn的通项；（2）求出cn，变形，运用n4时，cn递减，且n=1，2，3均为负的，即可得到所求最大值【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=3+8=11，当n2时，又an=6n+5对n=1也成立，所以an=6n+5又因为bn是等差数列，设首项为b1，公差为d，则由an=bn+bn+1得：6n+5=（2d）n+（2b1d），且该等式恒成立，所以：，所以，所以bn=3n+1；法二：当n=1时，2b1=11d；当n=2时，2b2=17d，相减可得d=3，所以数列bn的通项公式为

23、（2）=，由n4时，cn递减，且c4=；又c10，c20，c30，所以当n=4的时候取得最大值21某生产旅游纪念品的工厂，拟在2017年度进行系列促销活动经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x（单位：万件）与年促销费用t（单位：万元）之间满足3x与t+1成反比例（若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件）；已知工厂2017年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元当工厂把每件纪念品的售价定为“年平均每件生产成本的1.5倍”与“年平均每件所占促销费的一半”之和时，则当年的产量和销量相等（利润=收入生产成本促销费用）；（1）请把该工厂2017年的年利润y（单位：万元）

24、表示成促销费t（单位：万元）的函数；（2）试问：当2017的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）根据3x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，可求出k的值；进而通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数；（2）利用基本不等式求出最值，即可得结论【解答】解：（1）设反比例系数为k（k0），有因为当t=0时x=1，代入得k=2，所以；易得：，化简得：；（2），当且仅当t=7时取等号；所以，当2017年的促销费投入7万元时，工厂的年利润最大为42万元22已知函数f（x）=x2x|xa|3a，a

25、0（1）若a=1，求f（x）的单调区间；（2）求函数在x0，3上的最值；（3）当a（0，3）时，若函数f（x）恰有两个不同的零点x1，x2，求的取值范围【考点】二次函数的性质【分析】（1）根据二次函数以及一次函数的性质求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围求出函数的最小值和最大值即可；（3）求出f（x）的根，求的表达式，得到其范围即可【解答】解：（1）x1时，函数f（x）的对称轴是x=，开口向上，故f（x）在上单调递减，在上单调递增（2），当0a3时，f（x）=2x2ax3a的对称轴是x=1，f（x）在0，）递减，在（，3递增，而f（0）=3af（3）=0，f（x）的最小值，最大值f（

26、3）；当3a6时，对称轴x=，13，故f（x）在0，）递减，在（，3递增，f（x）的最小，最大值f（3），当6a12时，最小值，最大值f（0）当a12时，最小值f（3），最大值f（0）（3）当0a3时，令f（x）=0，可得，（因为f（a）=a23a0，所以x3a舍去）所以，在0a3上是减函数，所以23已知数列an的前n项和为Sn，a1=0，a1+a2+a3+an+n=an+1，nN*（）求证：数列an+1是等比数列；（）设数列bn的前n项和为Tn，b1=1，点（Tn+1，Tn）在直线上，若不等式对于nN*恒成立，求实数m的最大值【考点】数列的求和；等比关系的确定【分析】（）利用递推式可得：an

27、+1=2an+1，变形利用等比数列的定义即可证明；（）由（）得，由点（Tn+1，Tn）在直线上，可得，利用等差数列的通项公式可得：，利用递推式可得bn=n利用不等式，可得Rn=，利用“错位相减法”可得：对n分类讨论即可得出【解答】解：（）由a1+a2+a3+an+n=an+1，得a1+a2+a3+an1+n1=an（n2），两式相减得an+1=2an+1，变形为an+1+1=2（an+1）（n2），a1=0，a1+1=1，a2=a1+1=1，a2+1=2（a1+1），a1+1是以1为首项，公比为2的等比数列（）由（）得，点（Tn+1，Tn）在直线上，故是以为首项，为公差的等差数列，则，当n2时，b1=1满足该式，bn=n不等式，即为，令，则，两式相减得，由恒成立，即恒成立，又，故当n3时，单调递减；当n=3时，；当n4时，单调递增；当n=4时，；则的最小值为，所以实数m的最大值是2017年2月28日