高中数学讲义圆锥曲线概述

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1、高中数学讲义圆锥曲线圆锥曲线圆锥曲线应用【方法点拨】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和 曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强， 但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。1 . 一要重视定义，这是学好圆锥曲

2、线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程 组理论，又关注图形的几何性质 .2 .着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后， 往往因为运算不过关导致半途而废， 因此要寻求合理的运算 方案，探究简化运算的基本途径与方法， 并在克服困难的过程中， 增强解决复杂问题的信心， 提高运算能力.3 .突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程， 其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.4 .重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，

3、达到优化解题思维、 简化解题过程第1课椭圆A【考点导读】1 .掌握椭圆的第一定义和几何图形，掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程，掌握椭圆简单的几何性质；2 . 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.【基础练习】2X 21 .已知 ABC的顶点B、C在椭圆 + y =1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另3外一个焦点在BC边上，则 ABC的周长是 2 .椭圆x2 +4y2 =1的离心率为3 .已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(2J3, 0),且长轴长是短轴长的 2倍，则该椭圆的标准方程是x2y214 .已知椭圆 +=1的离心率e=

4、一,则k的值为k 8 92【范例导析】3 5o o例1. (1)求经过点( ，一)，且9x2+4y2 =45与椭圆有共同焦点的椭圆方程。2 2(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点P (3,0)在该椭圆上，求椭圆的方程。【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：定位，即确定椭圆的焦点在哪轴上；定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得 a、b的值;写出方程2 2解：(1)二椭圆焦点在 y轴上，故设椭圆的标准方程为 4+Xr=1( ab0), a2 b2由椭圆的定义知，3 2523 2523 1 2a =(2)2十(2+2)2 +(2)2+(22)2 =

5、3%+鼻布=2%，222，a=10,又= c=2,，b =a -c =10-4 = 6,22所以，椭圆的标准方程为 L +工=1。10622(2)方法一：若焦点在 x轴上，设方程为 与+卫2=1(a b0),a b92点P(3,0)在该椭圆上，2 =1即a2 =9又a =3b a2，一 .、 一-. b =1 椭圆的方程为2 X 2,y = 1.922若焦点在y轴上，设方程为 4+t=1(ab 0), a b92一点 P (3,0)在该椭圆 上=1即b2 =9又a =3b , b22_ 、 一 . a =81 椭圆的方程为22y x / 二1819方法二：设椭圆方程为Ax2+By2=1(A0,

6、B0,A#B). 点P(3,0)在该椭圆上，9A=1,rr 1,、12.一 ,、一X2即A=,又a=3b-. B=1或一，a2 =81 椭圆的方程为 一十y98192=1 或 L +812=1.9【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法，若焦点在x轴上设方程为22勺+yy =1 (a Ab 0 ),若焦点在 a b22y轴上，设方程为 4+2 = 1(ab0)a b有时为了运算方便，也可设为 Ax2 +By2 =1,其中A 0,B 0, A = B .例2.点A、B分别是椭圆22人工3620=1长轴的左、右端点，点 F是椭圆的右焦点，点 P在椭圆上，且位于X轴上方,(1)求点P的坐标；PA _

7、L PF。(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于| MB | ,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值。【分析】列方程组求得P坐标；解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解,要注意椭圆上点坐标的范围.解：(1)由已知可得点 A(6,0),F(0,4)TT-22L上=136 20(x 6)(x-4) y2 =0设点 P(x, y),则 AP= ( x+6, y),FP=(x 4, y),由已知可得23-则 2X+9X-18=0, X=a 或 X=-6.由于y 0,只能x= 3，于2是 y = 12.点 P的坐标是（,9上3 ）222(2)直线AP的方程是x J3 y +6=0.

8、设点M( m ,0)，则M到直线AP的距离是于是m2 = m -6，又6m & 6军得m =2.椭圆上的点(x, y)到点M的距离d有d2 = (x 一 2)2 y2 = x2 4x 4 20 - -x2 = (x - -)2 15 , 9929由于一6wmw6,.当x=5时,d取得最小值v15点拨：本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题，通常转化为二次函数值域问题 【反馈练习】.一 2.21 .如果x +ky =2表木焦点在y轴上的椭圆，那么实数 k的取值范围是 2 .设椭圆的两个焦点分别为Fi、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若 F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率

9、是 223.椭圆 + -=1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上.如果线段PFi的中点在y轴上，那么|PFi|1234.若椭圆22X + y = 1的离心率5 m, 10e =,则m的值为5是|PF2|的 倍25.椭圆+ y =1的右焦点到直线y = 居的距离为322_6.与椭圆 二+L=1具有相同的离心率且过点(2, - J3)的椭圆的标准方程是43227 .椭圆 +匕=1上的点到直线x + 2y - J2 = 0的最大距离是 164 ,_ 一一4.5 . 25.8 .已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和上2,过33P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆

10、方程.第2课椭圆B【考点导读】1 .掌握椭圆的第二定义，能熟练运用两个定义解决椭圆的有关问题2 .能解决椭圆有关的综合性问题 .【基础练习】21.曲线2.上6 -m2 x= 1(m6)与曲线5-n2+-y =1(5n b0)的二个焦点 F1(- c, 0), F2(c, 0), M 是椭圆上一点，且b2F1M F2M =0。求离心率e的取值范围.分析：离心率与椭圆的基本量a、b、c有关，所以本题可以用基本量表示椭圆上点的坐标,再借助椭圆椭圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式，从而确定离心率的范围解：设点 M的坐标为(x , y),则FM =(x+c,y) , F2M =(xc,y)。由FM

11、fIm =0得 x2-c2+y2=0,即 x2-c2=-y2。(T又由点M在椭圆上，得y2=b2byx2 a,代入，得x2-c 2 = 22a222x -b，即 x22, 2a b1o20 a2. 2a b 0c22a - c即 0 一2ce0,b 0)； a b丁点P,P2在双曲线上，点 P,P2的坐标适合方程。(-4.2)2将(3, -472),( 9,5)分别代入方程中，得方程组:411I=.11 一 ， ， . - a2 16将一2和2看着整体，解得 ,ab11 -b29ia2 =162 x2. 4即双曲线的标准方程为 L-工=1。b2=916 9点评：本题只要解得a2, b2即可得到

12、双曲线的方程，没有必要求出 a, b的值；在求解的 过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。22(2)解法一：双曲线2-L=1的渐近线方程为:16922当焦点在X轴时，设所求双曲线方程为-y-=y(a0,b0)a2 b233, 二 ，= b = ab 44 A(2|PA|, x = -6805, y =680石，即 P(-68045680。5,故PO =680/而例2答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心680寸彳0m处.例3.双曲线2,2ab= 1（a 1,b 0）的焦距为2c,直线l过点（a, 0）和（00）到直线l的距离与点（一、一 4 _，1, 0）到直线l的距离之和s之c.求双

13、曲线的离心率 e的取值5范围.解：直线l的方程为X + y=1,即 bx +ay ab = 0.由点到直线的距离公式，且a 1 ,得到点（1,0）到直线l的距离d1b(a-1)同理得到点（一1,0）到直线l的距离d2b(a 1)-a2 b2s =d1 d22ab 2ab- a2 b2,4 /曰 2ab由s之一c,得4c一 c,5即 5a c2 - a2 一 2c2.于是得 5 ,e2 -1 _2e2,即4e4 - 25e2 25 0,所以e的取值范围是.5 .一-e - 5.25解不等式，得一e2E5.4点拨：本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力【反馈练习】 221

14、 .双曲线L 一匕=_1的渐近线方程为 242 .已知双曲线的离心率为 2,焦点是(4,0), (4,0),则双曲线方程为 3 .已知双曲线的两个焦点为 Fi (J5,0) , F2 (J5,0)下是此双曲线上的一点，且PFi 1 PF2 ,| PF1 |,|PF2 | = 2,则该双曲线的方程是 224 .设P是双曲线、一y_=i上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x 2y=0, F1、F2分 a2912别是双曲线左右焦点，若 PF1 =3，则PF2 =225 .与椭圆 +L=1共焦点且过点(3，2, J2)的双曲线的方程2556 . (1)求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点 P(1,-3

15、)且离心率为 J2的双曲线标准方程.(2)求以曲线2x2 +y2 4x-10 = 0和y2 = 2x-2的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程.22x y,7 .设双曲线 二22 =1 (0 a b)的半焦距为c,直线l过(a,0)、(0,b)两点，且原点到 a b直线l的距离为 c,求双曲线的离心率.4分析：由两点式得直线 l的方程，再由双曲线中 a、b、c的关系及原点到直线l的距离建 立等式，从而解出 c的值.a8 .已知双曲线的中心在原点，焦点F1,F2在坐标轴上，离心率为 J2,且过点(4,-J10).-1 -1(1)求双曲线方程；(2)若点M (3,m )在双曲

16、线上，求证：MF1 ,MF2=0;(3)对于(2)中的点M ,求色弓乂52的面积.第4课抛物线【考点导读】1 .了解抛物线的定义，掌握抛物线标准方程的四种形式和抛物线的简单几何性质2 .会用抛物线的标准方程和几何性质解决简单的实际问题【基础练习】1 .焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线的标准方程是 2 22.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆 今+工=1的右焦点重合，则 p的值为623 .抛物线y2 =4ax(a 0, P是抛物线上的一点，且| PA | =d，试求d 的最小值.解：设 P (%, V。)(%0),则 y02=2x0, d= PA = J(x a)2 +y2= 3(x0 -a)

17、2 +2x0 = v;x0 +(1 -a)2 +2a-1 .,. a0, x00,(1)当 0vav 1 时，1 a0,此时有 x0=0 时，dmin= d(1 a)2 +2a 1 =a.(2)当 a 1 时，1 aW0,此时有x0=a1时， dmin= J2a 1 .例2.如图所示，直线11和l2相交于点M , l1，l2,点N w l1 ,以A、B为端点的曲线段C上的任一点到 的距离与到点 N的距离相等，若4 AMN为锐角三角形,AN=3,且BN=6,建立适当的坐标系，求曲线段 C的方程.分析：因为曲线段C上的任一点是以点 N为焦点，以12为准线的抛物线的一段，所以本题 关键是建立适当坐标

18、系，确定C所满足的抛物线方程.解：以li为x轴，MN的中点为坐标原点 O,建立直角坐标系.由题意，曲线段C是N为焦点，以12为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点.，设曲线段C满足的抛物线方程为：y2 = 2px( p a 0)(xA三x E xB, y 0),其中xA、xB为 A、B的横坐标令 MN|= p,则 M (,0), N成,0), v AM =a/17,|AN =3由两点间的距离公式，得方程组:2pxA =172pxA =9P = 4或1xA =1xa =2, AMN为锐角三角形， pxa,则p=4, xA=12又B在曲线段C上，:xB = BN E=62=42则曲线

19、段C的方程为y2 =8x(1 x0).【反馈练习】21.抛物线x =匕 的准线方程是822 .抛物线y =ax(a#0)的焦点到其准线的距离是 23 .设O为坐标原点，F为抛物线y = 4x的焦点，A为抛物线上的一点，若 OA AF = -4 ,则点A的坐标为4 .抛物线y = -x2上的点到直线4x+3y -8 = 0距离的最小值是 5 .若直线l过抛物线y =ax2 (a 0)的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4,贝U a=6 .某抛物线形拱桥跨度是 20米，拱高4米，在建桥时每隔 4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长7 .已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴，

20、且过点 P (2,2),过F的直线交抛物线于A, B两点.(1)求抛物线的方程；(2)设直线l是抛物线的准线，求证：以 AB为直径的圆与直线l相切.分析：可设抛物线方程为 y2 =2px(p 0),用待定系数法求得方程，对于第二问的证明只AB须证明 =MMi ,则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切第5课圆锥曲线的统一定义【考点导读】1 . 了解圆锥曲线的第二定义.2 .能用第二定义解决简单的圆锥曲线问题.【基础练习】21.抛物线y =6x的焦点的坐标是 ,准线方程是1.1. 果双曲线的两个焦点分别为Fi(3,0)、F2(3,0), 一条渐近线方程为y = “2x,那么它的两条准线间的距离是

21、x20 1一3 .若双曲线 -y2 =1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的一，则m =m34 .点M与点F(4,0)的距离比它到直线：x+5=0的距离小1,则点M的轨迹方程是 【范例导析】例1.已知双曲线的渐近线方程为 3x2y =0 ,两条准线间的距离为 16 J3 ,求双曲线标准 13方程.分析：(可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双曲线标准方程.解：双曲线渐近线方程为y=2x, .设双曲线方程为 322十卷二17若九0 ,则a2 =4儿，b2 =9%2，准线方程为：x=9- = X3九， c 13若九0，则a2 = 9九，b2 = -4九，准线方程为：y =士

22、田=19 -13c 138.13 16,1313- 1318,-13，16.13.64=，九=131381，所求双曲线方程为:22-22xy9y81x一工=1或_16 3664256点拨：求圆锥曲线方程时， 一般先由条件设出所求方程, 解方程组得出结果.然后再根据条件列出基本的方程组2例2.已知点A(3,0), F(2,0 )，在双曲线yx-L 31=1上求一点P ,使PA + -|PF的值取小.解：- a =1 , b = V3 , c = 2 , e = 2一 ,PF设点P到与焦点F (2,0心目应准线的距离为 d则 =2 d1. 1 PF =d21，. PA +1|PF| = PA +d

23、至此，将问题转化成在双曲线上求一点P使P到定点A的距离与到准线距离和最小.即到定点A的距离与准线距离和最小为直线PA垂直于准线时,点拨：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简单.学中应着重培养学生灵活运用知识的能力.【反馈练习】x 2 I q,1,1 .若双曲线x y2 =1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的,，则m=m32 .在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为22 ,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为x233 .已知双曲线 -y2 =1 (a 0)的一条准线为 x=,则该双曲线的离心率为 a22224 双曲线 A 匕=1右支点上的一点 P到右

24、焦点的距离为 2,则P点到左准线的距离为169第6课圆锥曲线综合【考点导读】1 .在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几何性质的基础上，把握有关圆锥曲线的知识内在联系，灵活地运用解析几何的常用方法解决问题.2 .通过问题的解决，理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想3 .能够抓住实际问题的本质建立圆锥曲线的数学模型，实现实际问题向数学问题的转化，并运用圆锥曲线知识解决实际问题.【基础练习】1.给出下列四个结论：当a为任意实数时，直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过定点P,则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是 x2 =f y ；3已知双曲线的右焦点为(5, 0), 一条渐近线

25、方程为 2x-y = 0,则双曲线的标准方程是5202 1抛物线y = ax (a o 0)的准线方程为y = -； 4a22已知双曲线x +y =1 ,其离心率ew (1,2),则m的取值范围是(一12, 0)。4 m其中所有正确结论的个数是 222 .设双曲线以椭圆 =1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的259渐近线的斜率为3 .如果椭圆 +y =1的弦被点（4 , 2）平分，则这条弦所在的直线方程是 369【范例导析】2V八、例1.已知抛物线x =4y的焦点为F, A、B是热线上的两动点，且 AF =，“FB（九A0）.过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为MoI（

26、i）证明FM.AB为定值；（II）设 MBM的面积为S,写出S = f （九）的表达式，并求 S的最小值。B点的坐标为2、 X2X2, 丁4 J/2、解：（1） F点的坐标为（0,1）设A点的坐标为x1,14 J0).可得 一%,1 -2 Xi4 J2X24X2,-1422因此1 一卜吟一1）2过A点的切线方程为y =%（X X1）（1）422过B点的切线方程为y-X2=2（X-X2）（2）42解（1）（ 2）构成的方程组可得点M的坐标，从而得到=0即为定值FM(2)=0可得FM _L所以S = f）=彘三角形面积AB =(、，FM UAB2fm Lab2当且仅当九=1时取等号点拨：本题主要考

27、察共线向量的关系，曲线的切线方程，直线的交点以及向量的数量积等知识占八、涉及均值不等式，计算较复杂.难度很大【反馈练习】1.已知双曲线的中心在原点，离心率为J3.若它的一条准线与抛物线 y2=4x的准线重合,则该双曲线与抛物线y2=4x的交点到原点的距离是2 .设F1, F2分别是双曲线x2+-=1的左、右焦点.若点p在双曲线上，且3FfPF2=0 9则 PF1 +PF2 =223 .设P是椭圆x- + L=1上一点，F1、94F2是椭圆的两个焦点，则cos/ F1PF2的最小值是4 .已知以F1 (2,0), F2 (2,0)为焦点的椭圆与直线x + J3y + 4 = 0有且仅有一个交点，

28、则椭圆的长轴长为2 . 7225 .双曲线C与椭圆 二+匕=1的焦点相同，离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线的方程49 242X6.已知椭圆十25922X=1与双曲线-=1在第一象限内的交点为P,则点P到椭圆右焦点的距离等了22x y7 .如图，点A是椭圆C： =1(a Ab A0)的短轴位于x轴下万的端点，过 A作斜率 a b为1的直线交椭圆于 B点，点P在y轴上，且BP/x轴，AB，AP = 9,若点P的坐标为(0,1),求椭圆C的方程.8 .在平面直角坐标系 xoy中，已知圆心在第二象限、半径为2J2的圆C与直线y = x相切22x y 于坐标原点O .椭圆_2 +，=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10 .求圆Ca29的方程.9.已知动圆过定点 Eq),且与直线x = -B相切，其中p 0,求动圆圆心C的轨迹的方 (2、2-程.解：如图，设M为动圆圆心， 悦,0 i为记为F , 2过点M作直线x 的垂线，垂足为 N ,由题 2意知：|MF| = MN |即动点M到定点F与定直线px = -的距离相等 2由抛物线的定义知，点 M的轨迹为抛物线，其中F -,0 为焦点，x = E为准线 22所以轨迹方程为y2 = 2 px(P a 0)；2