2017-2018学年高中数学 考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例（含2017年高考试题）新人教A版

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1、考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、 填空题1.(2017全国乙卷理科T16)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,DBC,ECA,FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.【命题意图】对于三棱锥最值问题,肯定需要用到函数的思想进行解决,本题解决的关键是设好未知量,利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数

2、的性质进行解决,当变量是高次时需要用到求导方式进行解决.【解析】连接OB,连接OD,交BC于点G,由题意得,ODBC,OG=BC,设OG=x,则BC=2x,DG=5-x,三棱锥的高h=,SABC=2x3x=3x2,则V=SABCh=x2=,令f=25x4-10x5,x,f=100x3-50x4,令f0,即x4-2x30,x2,则ff=80,则V=4所以体积最大值为4cm3.答案:4cm32.(2017天津高考文科T10)已知aR,设函数f(x)=ax-lnx的图象在点(1,f(1)处的切线为l,则l在y轴上的截距为.【命题意图】考查用导数求曲线切线的方法.【解析】f(1)=a,切点为(1,a)

3、,f(x)=a-,则切线的斜率为f(1)=a-1,切线方程为y-a=(a-1)(x-1),令x=0得出y=1,l在y轴的截距为1.答案:1二、 解答题3.(2017全国乙卷理科T21)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性.(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.【命题意图】本题主要考查含有参数问题的函数单调性问题及利用函数的零点确定参数的取值范围.【解析】(1)由于f=ae2x+ex-x,故f=2ae2x+ex-1=, a0时,aex-10.从而f0时,令f=0,从而aex-1=0,得x=-lna.x(-,-lna)- lna(-lna,+)f-0+f

4、单调减极小值单调增综上,当a0时,f(x)在R上单调递减;当a0时,f(x)在(-,-lna)上单调递减,在(-lna,+)上单调递增.(2)由(1)知,当a0时,f在R上单调减,故f在R上至多一个零点,不满足条件.当a0时,f(x)min=f(-lna)=1-+lna.令g=1-+lna,则g=+0.从而g在上单调增,而g=0.故当0a1时,g1时g0.若a1,则f(x)min=1-+lna=g0,故f0恒成立,从而f无零点,不满足条件.若a=1,则f(x)min=1-+lna=0,故f=0仅有一个实根x=-lna=0,不满足条件.若0a1,则f(x)min=1-+lna0.f=+1-0.故

5、f在上有一个实根,而又ln=-lna.且f=-ln=-ln=-ln0.故f在上有一个实根.又f在上单调减,在单调增,故f在R上至多两个实根.又f在及上均至少有一个实数根,故f在R上恰有两个实根.综上,a的取值范围为.4.(2017全国乙卷文科T21)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.(1)讨论f(x)的单调性.(2)若f(x)0,求a的取值范围.【命题意图】本题主要考查利用导数解决函数的单调性及利用函数的单调性求参数的取值范围问题,主要考查考生解决问题的综合能力.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a),若a=0,则

6、f(x)=e2x,在(-,+)单调递增.若a0,则由f(x)=0得x=lna.当x(-,lna)时,f(x)0,所以f(x)在(-,lna)单调递减,在(lna,+)单调递增.若a0,则由f(x)=0得x=ln.当x时,f(x)0,故f(x)在单调递减,在单调递增.(2)若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)0.若a0,则由(1)得,当x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=-a2lna.从而当且仅当-a2lna0,即0a1时,f(x)0.若aa-2时f(x)0.综上,a的取值范围为.5.(2017全国甲卷理科T21)(12分)已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx,且f

7、(x)0.(1)求a.(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2f(x0)2-2.【命题意图】导数在研究函数的单调性和最值中的应用,函数的极值,意在考查学生的推理论证能力和分类讨论的思想方法.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+),设g(x)=ax-a-lnx,则f(x)=xg(x),f(x)0等价于g(x)0,因为g(1)=0,g(x)0,故g(1)=0,而g(x)=a-,g(1)=a-1,得a=1.若a=1,则g(x)=1-.当0x1时,g(x)1时,g(x)0,g(x)单调递增.所以x=1是g(x)的极小值点,故g(x)g(1)=0.综上,a=1.(2)由(1)知f(x)=

8、x2-x-xlnx,f(x)=2x-2-lnx,设h(x)=2x-2-lnx,h(x)=2-,当x时,h(x)0,所以h(x)在上单调递减,在上单调递增.又h(e-2)0,h0;当x(x0,1)时,h(x)0.因为f(x)=h(x),所以x=x0是f(x)的唯一极大值点,由f(x0)=0得lnx0=2(x0-1),故f(x0)=x0(1-x0),由x0得f(x0)f(e-1)=e-2,所以e-2f(x0)2-2.6.(2017全国甲卷文T21)(12分)设函数f(x)=(1-x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性.(2)当x0时,f(x)ax+1,求a的取值范围.【命题意图】导数的计算,利用导

9、数研究函数的单调性、极值、最值,导数在研究函数中的应用,意在考查学生的转化、化归思想和求解运算能力.【解析】(1)f(x)=(1-2x-x2)ex,另f(x)=0得x=-1,当x(-,-1-)时,f(x)0;当x(-1+,+)时,f(x)0;所以f(x)在(-,-1-),(-1+,+)上单调递减;在(-1-,-1+)上单调递增.(2)令g(x)=f(x)-ax-1=(1-x2)ex-(ax+1),令x=0,可得g(0)=0,g(x)=(1-x2-2x)ex-a,令h(x)=(1-x2-2x)ex-a,h(x)=-(x2+4x+1)ex,当x0时,h(x)0,h(x)单调递减,故h(x)h(0)

10、=1-a,即g(x)1-a,要使f(x)-ax-10在x0时恒成立,需要1-a0,即a1,此时g(x)g(0)=0,故a1,综上所述,a的取值范围是1,+)7.(2017天津高考理科T20)设aZ,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.(1)求g(x)的单调区间.(2)设m1,x0)(x0,2,函数h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),求证:h(m)h(x0)0,故当x1,x0)时,H1(x)0,H1(x)单调递增.因此,当x1,x0)(x0,2时,H1(x)H1(x0)=-f(x0)=0,可得H1(m)

11、0,即h(m)0.令函数H2(x)=g(x0)(x-x0)-f(x),则H2(x)=g(x0)-g(x).由(1)知,g(x)在1,2上单调递增,故当x1,x0)时,H2(x)0,H2(x)单调递增;当x(x0,2时,H2(x)0,H2(x)单调递减.因此,当x1,x0)(x0,2时,H2(x)H2(x0)=0,可得H2(m)0,即h(x0)0.所以,h(m)h(x0)0.(3)对于任意的正整数p,q,且1,x0)(x0,2,令m=,函数h(x)=g(x)(m-x0)-f(m).由(2)知,当m1,x0)时,h(x)在区间(m,x0)内有零点;当m(x0,2时,h(x)在区间(x0,m)内有零

12、点.所以h(x)在(1,2)内至少有一个零点,不妨设为x1,则h(x1)=g(x1)-f=0.由(1)知g(x)在1,2上单调递增,故0g(1)g(x1)0,故f(x)在1,2上单调递增,所以f(x)在区间1,2上除x0外没有其他的零点,而x0,故f0.又因为p,q,a均为整数,所以|2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|是正整数,从而|2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|1.所以.所以,只要取A=g(2),就有.8.(2017天津高考理科T19)设a,bR,|a|1.已知函数f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x).(1)求f(x)的单调区间

13、.(2)已知函数y=g(x)和y=ex的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,求证:f(x)在x=x0处的导数等于0;若关于x的不等式g(x)ex在区间x0-1,x0+1上恒成立,求b的取值范围.【命题意图】本题考查利用导数求函数的单调区间以及以函数为背景利用导数解决某些恒成立问题,主要考查导数的综合应用.考查综合应用能力及运算求解能力.【解析】(1)由f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,可得f(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)(x-(4-a),令f(x)=0,解得x=a,或x=4-a,由|a|1,得a0,可得f(x)1.又因为f(x0)=1,f(x0)=0,故

14、x0为f(x)的极大值点,由(1)知x0=a.另一方面,由于|a|1,故a+10恒成立,此时h(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增;0a1时,令ex-a=0得x=lna1时,令ex-a=0得x=lna0,此时h(x)在(-,0)上单调递增,在(0,lna)上单调递减,在(lna,+)上单调递增.综上,a0时,有极小值h(0)=-1-2a;0a1时,有极小值h(lna)=-acos(lna)-asin(lna)+2alna-2a-aln2a,极大值h(0)=-1-2a.10.(2017山东高考文科T20)已知函数f(x)=x3-ax2,aR,(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在

15、点(3,f(3)处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【命题意图】本题考查应用导数求曲线的切线,应用导数研究函数的单调性与极值问题,意在考查考生运算求解能力、分析问题解决问题的能力.【解析】(1)由题意f(x)=x2-ax,所以当a=2时,f(3)=0,f(x)=x2-2x,所以f(3)=3,因此曲线y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,所以g(x)=f(x)+cosx-(x-a)sinx-cosx=

16、x(x-a)-(x-a)sinx=(x-a)(x-sinx),令h(x)=x-sinx,则h(x)=1-cosx0,所以h(x)在R上单调递增,因为h(0)=0,所以当x0时,h(x)0;当x0时,h(x)0.当a0时,g(x)=(x-a)(x-sinx),当x(-,a)时,x-a0,g(x)单调递增;当x(a,0)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增.所以当x=a时g(x)取到极大值,极大值是g(a)=-a3-sina,当x=0时g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.当a=0时,g(x)=x(x-sinx),当x(-,+)时,g(x)0,所以g(x)在(-,+)上单调

17、递增,g(x)无极大值也无极小值.当a0时,g(x)=(x-a)(x-sinx),当x(-,0)时,x-a0,g(x)单调递增;当x(0,a)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增.所以当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a;当x=a时g(x)取到极小值,极小值是g(a)=-a3-sina;综上所述:当a0时,函数g(x)在(-,0)和(a,+)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=-a,极小值是g(a)=-a3-sina.11.(2017江苏高考T 20)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a0,bR)有极值,且

18、导函数f(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域.(2)证明:b23a.(3)若f(x),f(x)这两个函数的所有极值之和不小于-,求a的取值范围.【命题意图】利用导数研究函数单调性、极值及零点,并与不等式巧妙结合,考查函数的综合应用问题.【解析】(1)由f(x)=x3+ax2+bx+1,得f(x)=3x2+2ax+b=3+b-.当x=-时,f(x)有极小值b-.因为f(x)的极值点是f(x)的零点.所以f=-+-+1=0,又a0,故b=+.因为f(x)有极值,故f(x)=0有实根,从而b-=(27-a3)0,即a3.

19、a=3时,f(x)0(x-1),故f(x)在R上是增函数,f(x)没有极值;a3时,f(x)=0有两个相异的实根x1=,x2=.列表如下x(-,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)+0-0+f(x)增极大值减极小值增故f(x)的极值点是x1,x2.从而a3,因此b=+,定义域为(3,+).(2)由(1)知,=+.设g(t)=+,则g(t)=-=.当t时,g(t)0,从而g(t)在上单调递增,因为a3,所以a3,故g(a)g(3)=,即.因此b23a.(3)由(1)知,f(x)的极值点是x1,x2,且x1+x2=-a,+=.从而f(x1)+f(x2)=+a+bx1+1+a+bx2+1

20、=(3+2ax1+b)+(3+2ax2+b)+a(+)+b(x1+x2)+2=-+2=0,记f(x),f(x)所有极值之和为h(a),因为f(x)的极值为b-=-a2+,所以h(a)=-a2+,a3.因为h(a)=-a-0,于是h(a)在(3,+)上单调递减.因为h(6)=-,于是h(a)h(6),故a6.因此a的取值范围为(3,6.【反思总结】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题,一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况,归根到底还是研究函数的性质,如单调性、极值,然后通过数形结合的思想找到解题的思路.12.(2017浙江高考T20)已知函数f= .(1)求f的导函数.(2)求f在区间上的取值范围.【命题意图】本题主要考查函数的最大(小)值,导数的运算及其应用,同时考查分析问题和解决问题的能力.【解析】(1)因为(x-)=1-,(e-x)=-e-x,所以f(x)=e-x-(x-)e-x=.(2)由f(x)=0,解得x=1或x=.因为x1f(x)-0+0-f(x)0又f(x)= ( -1)2e-x0,所以f(x)在区间上的取值范围是.12