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1、数系的数系的扩充和扩充和复数的复数的引入引入1.1.理解复数的基本概念理解复数的基本概念, ,理解复数相等的理解复数相等的充要条件充要条件. . 2.2.了解复数的代数表示法及其几何意义；了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示量表示, ,并能将复平面上的点或向量所对并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示应的复数用代数形式表示. .3.3.能进行复数代数形式的四则运算能进行复数代数形式的四则运算, ,了解了解两个具体复数相加、相减的几何意义两个具体复数相加、相减的几何意义. . 返回目录返回目录 1.复数的有关
2、概念是复数运算、复数应用的基础，高复数的有关概念是复数运算、复数应用的基础，高考中重点考查的概念有虚数、纯虚数、共轭复数、两考中重点考查的概念有虚数、纯虚数、共轭复数、两复数相等及复数几何意义以及解答涉及这些概念的复复数相等及复数几何意义以及解答涉及这些概念的复数运算，多以选择题、填空题的形式出现数运算，多以选择题、填空题的形式出现.2.以选择题或填空题的形式考查复数的四则运算，特以选择题或填空题的形式考查复数的四则运算，特别是乘法和除法运算，与其他知识相结合考查运算能别是乘法和除法运算，与其他知识相结合考查运算能力和推理能力力和推理能力.返回目录返回目录 1.（1）若）若i为虚数单位，规定为
3、虚数单位，规定i2= ;实数可以与实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算律仍然成立的加、乘法运算律仍然成立. （2）形如）形如a+bi(a,bR)的数叫做复数，的数叫做复数，a ,b 分别分别叫做复数的叫做复数的 . 若若b=0,则复数则复数a+bi为为 ； 若若b0，则复数，则复数a+bi为为 ； -1 实部、虚部实部、虚部 实数实数 虚数虚数 返回目录返回目录 （3）若）若a,b,c,dR，则，则a+bi=c+di的充要条件的充要条件 是是 . （4）若）若a,b,c,dR，则，则a+bi与与c+di为共轭复数的充为共轭复数的充 要条
4、件是要条件是 . 2.（1）建立直角坐标系来表示复数的平面）建立直角坐标系来表示复数的平面叫叫 ， 叫做实轴，叫做实轴， 叫做虚轴叫做虚轴. （2）复数）复数z=a+bi(a,bR)与复平面内的点建立了与复平面内的点建立了 关系关系.一一对应一一对应 a=c且且b=d a=c且且b=-d 复平面复平面 x轴轴 y轴轴 若若b0，且，且a=0时，则复数时，则复数a+bi为为 .纯虚数纯虚数 返回目录返回目录 3.3.运算法则运算法则设设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR).（1）z1 z2= (a+bi)(c+di)= .（2） z1z2 = (a+bi)(c+di)= .（3）
5、= .(ac)+(bd)i (ac-bd)+(ad+bc)i didi+ +c cbibi+ +a a2 22 2d dc cad)iad)i- -bd)(bcbd)(bc(ac(ac= =z zz z2 21 1（4）zmzn= ,(zm)n= ,(z1z2)n= （其中（其中m,nZ）;n n+ +m mz zzmn n n2 2n n1 1zzz z返回目录返回目录 （6）求）求a+bi的平方根的平方根. x2-y2=a , 4.4.常见的运算规律常见的运算规律（1）i的周期性：的周期性：i4n+1= ,i4n+2= ,i4n+3= ,i4n= (nZ);（2）(a+bi)(a-bi)=
6、 ;（3）（）（1i）2= ；求出求出x,y.设设(x+yi)2=a+bi，由，由 2xy=b i -1 -i 1 a2+b2 2i 返回目录返回目录 （4） = , = ;（5） = ;（6）b-ai=(a+bi)(-i),-b+ai=(a+bi)i.i i- -1 1i i+ +1 1i i+ +1 1i i- -1 12 2) )2 2i i1 1( (i i -i 返回目录返回目录 复数复数z= +(m2-2m-15)i，求实数，求实数m，使得（，使得（1）z是实数；（是实数；（2）z是纯虚数；（是纯虚数；（3）z所对应的点在复所对应的点在复平面的第二象限；（平面的第二象限；（4）z是
7、复数是复数.根据复数的有关概念的定义，把此复数的根据复数的有关概念的定义，把此复数的实部与虚部分离开，转化为实部与虚部分别满足定义的实部与虚部分离开，转化为实部与虚部分别满足定义的条件这一实数问题去求解条件这一实数问题去求解.3 3+ +m m6 6- -m m- -m m2 2返回目录返回目录 实部为实部为 = ,虚部为虚部为m2-2m-15=(m+3)(m-5). (m+3)(m-5)=0 m+30， m=-3或或m=5 m-3. 当当m=5时，时，z是实数是实数.3 3+ +m m6 6- -m m- -m m2 23 3+ +m m3 3) )- -2 2) )( (m m+ +( (
8、m m(1)要使要使z为实数，则为实数，则 即即 返回目录返回目录 =0 (m+3)(m-5)0, m=-2或或m=3 m-3且且m5, 当当m=-2或或m=3时，时，z是纯虚数是纯虚数.3 3+ +m m3 3) )- -2 2) )( (m m+ +( (m m （2）要使）要使z为纯虚数，则为纯虚数，则 即即返回目录返回目录 （3）由复数）由复数z所对应的点在复平面上第二象限的充要条所对应的点在复平面上第二象限的充要条件知件知 0, m-3或或-2m5或或m-3. 当当m-3时，时，z所对应的点在第二象限所对应的点在第二象限. R (m+3)(m-5)R,当当m-3时，时，z为复数为复数
9、.3 3+ +m m3)3)- -2)(m2)(m+ +(m(m即即 m0 m2-2m-80 得得-2m1或或2m0且且m2-3m-30,m= .)15150 0= =3 3) )- -( (m m3 3) )- -3 3m m- -2 2( (m m2 22 215151515返回目录返回目录 计算：计算：（1）（2）1+in+i2n+i2 000n (nN). （1）利用）利用(1i)2=2i这一特点进行运这一特点进行运算算;（2）利用）利用in的周期性计算的周期性计算.; ;i i- -3 3i i+ +1 1+ +) )i i+ +1 12 2( (+ +i i3 32 2+ +1 1
10、i i+ +3 32 2- -0 00 00 0 2 2返回目录返回目录 （1）原式）原式= （2）当）当n=4k(kN)时，时， 原式原式=1+1+1 =2 001； 当当n4k(kN)时，时， 原式原式=i i5 57 7+ +5 56 6= =i i5 52 2+ +5 51 1+ +1 1+ +i i= =i i- -3 3i i+ +1 1+ +) )-i-i( (+ +i)i)+ +3 3i(-2i(-2- -i i+ +3 32 2- -000000 1 12 001个个1 1= =i i- -1 1i i- -1 1= =i i- -1 1i ii i- -1 1= =i i-
11、 -1 1i i- -1 1n nn nn nn n0 00 00 0n n 2 2n n0 00 01 1n n 2 2返回目录返回目录 （1）在计算过程中常出现一些比较有特）在计算过程中常出现一些比较有特点的式子点的式子.如（如（1i）2=2i, , 等，等，要抓住这一特点快速运算要抓住这一特点快速运算. （2）in的运算具有周期性的运算具有周期性.i i= =i i- -1 1i i+ +1 1-i-i= =i i+ +1 1i i- -1 1返回目录返回目录 1.2010年高考课标全国卷年高考课标全国卷已知复数已知复数z=3+i(1-3i)2,z是是z的共轭复数的共轭复数,则则zz=
12、( )A. B. C.1 D.24121返回目录返回目录 【解析【解析】 故应选故应选A.41161163i)41-43(-i)4143- (zzi,4143-8-2i-32i)3-i)(132(1-i)3-i)(13(i)32(1-i3i 32-2-i3i)3-(1i3z2 返回目录返回目录 2.2010年高考大纲全国卷年高考大纲全国卷复数复数 = ( )A.I B.-I C.12-13i D.12+13i【答案【答案】A【解析【解析】故应选故应选A.3i-22i3 i.133i)2i)(2(33i-22i3 返回目录返回目录 2010年高考辽宁卷年高考辽宁卷设设a,b为实数，若复数为实数，
13、若复数 =1+i,则则 （ ）A.a= ,b= B.a=3,b=1C.a= ,b= D.a=1,b=3【分析【分析】以方程为载体以方程为载体,利用复数相等的条件建立方程利用复数相等的条件建立方程,再再求解求解.bia2i1 21232123返回目录返回目录 【解析【解析】 =1+i,a+bi= 故应选故应选A.bia2i1 .21b,23a,2i3i)-i)(1(1i)-2i)(1(1i12i1 返回目录返回目录 返回目录返回目录 利用复数相等实现复数问题向实数问题的转化利用复数相等实现复数问题向实数问题的转化,体现了转化思想体现了转化思想.2010年高考山东卷年高考山东卷已知已知 =b+i(a,bR),其中其中i为为虚数单位，则虚数单位，则a+b= ( )A.-1 B.1 C.2 D.3【答案【答案】B【解析【解析】 2-ai=b+i,由复数相等得由复数相等得b=2,a=-1,则则a+b=1.故应选故应选B.i2ia 2i2i)i(ai2ia返回目录返回目录 返回目录返回目录
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