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1、高中课程数学选修高中课程数学选修4-1 （考试全部内容（考试全部内容）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。同弧或等弧所对的圆周角相等同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等相等的圆周角所对的弧也相等.半半 圆圆(或直径或直径)所对的圆周角是直角所对的圆周角是直角; 90的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径.圆上一条弧所对的圆上一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角的一半圆心角的一半。圆周角定理圆周角定理圆心角定理圆心角定理推论推论1推论推论2一。一。圆周角定理圆周角定理二二.圆内接四边形的性质与判
2、定定理圆内接四边形的性质与判定定理ABCDOABCDADBCDABC性质定理性质定理1 圆内接多边形的对角互补圆内接多边形的对角互补性质定理性质定理2 圆内接多边形的外角等于它的内角的对角圆内接多边形的外角等于它的内角的对角如果一个四边形的对角互补如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆那么它的四个顶点共圆. 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，如果四边形的一个外角等于它的内角的对角， 那么它的四个顶点共圆那么它的四个顶点共圆. 性质定理性质定理1 圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补性质定理性质定理2 圆内接边形的外角等于它的内角的对角。圆内接边形的外角等于它的内角的对角。
3、如果一个四边形的对角互补如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆那么它的四个顶点共圆. 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆那么它的四个顶点共圆. 例：假设例：假设：四边形：四边形ABCD中，中，B+D=180求证求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）在同一圆周上（简称四点共圆）.CABDEOABCDEO证明：证明：(1)如果点如果点D在在 O外部。则外部。则（1）（2）AEC+B=180因因B+D=180得得 D=AEC与与“三角形外角大于任意三角形外角大于任意不相邻的内角不相邻的内角”矛盾。故点矛盾。故点D不可
4、能在圆外。不可能在圆外。(2)如果点如果点D在在 O内部。则内部。则B+E=180B+ADC=180E=ADC同样矛盾。同样矛盾。点点D不可能在不可能在 O内。内。综上所述，点综上所述，点D只能在圆周上，四点共圆。只能在圆周上，四点共圆。圆内接四边形判定定理圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互补如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆那么它的四个顶点共圆. 当问题的结论存在多种情形时当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种通过对每一种情形分别论证情形分别论证,最后获证结论的方法最后获证结论的方法-穷举法穷举法推论推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，如果四边形的一个外角等
5、于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆那么它的四个顶点共圆. DABCE例例 如图，如图， 都经过都经过A,B两点。经过点两点。经过点A的的直线直线CD与与 交于点交于点C,与与 交与点经过点交与点经过点B的直的直线线EF与与 交于点交于点E,与与 交与点交与点F.12OO 与与1O 2O 1O 2O ACDEBF1O2O证明证明：连接：连接ABBAD=E. BAD+F=180 E+F=180 CE/DF . 求证：求证：CE/DF.四边形四边形ABEC是是 的内的内接四边形。接四边形。 1O 四边形四边形ADFB是是 的内的内接四边形。接四边形。 2O 习题习题1.AD,BE是是ABC的两条
6、高，的两条高，求证：求证：CED=ABC.2.求证：对角线互相垂直的四边形中，各边中点在同求证：对角线互相垂直的四边形中，各边中点在同一个圆周上。一个圆周上。CABEDo三三. 圆的切线的性质及判定定理圆的切线的性质及判定定理圆与直线的位置关系圆与直线的位置关系:相交相交-有两个公共点有两个公共点相切相切-只有一个公共点只有一个公共点相离相离-没有公共点没有公共点切线的性质定理切线的性质定理:OlM推论推论1: 经过经过圆心圆心且垂直于切线的直线必经过且垂直于切线的直线必经过切点切点.推论推论2: 经过经过切点切点且垂直于切线的直线必经过且垂直于切线的直线必经过圆心圆心.圆的切线垂直于经过切点
7、的半径圆的切线垂直于经过切点的半径A切线的判定定理切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.AOlB.直线与圆只有一个公共点,是切线.在直线上任取异于A的点B.连OB.则在RtABO中OBOA=r故B在圆外例例 如图如图,AB是是 O的直径的直径, O过过BC的中点的中点D,DEAC.求证求证:DE是是 O是切线是切线.证明证明:连接连接OD. BD=CD,OA=OB,OD是是ABC的中位线的中位线,OD/AC.又又DEC=90ODE=90又又D在圆周上在圆周上,DE是是 O是切线是切线.AOBDCE习题习题如图如图,AB
8、C为等腰三角形为等腰三角形,O是底边是底边BC的中点的中点, O与腰与腰AB相切于点相切于点D.ABOCD求证求证:AC与与 O相切相切.E2.已知已知:OA和和OB是是 O的半径的半径,并且并且OAOB,P是是OA上任意一点上任意一点,BP的延长线交的延长线交 O于于Q.过过Q作作 O的切的切线交线交OA的的延长线于延长线于R,.求证求证:RP=RQBOPARQAQO= APQBC与与AD的度数差的一半等于的度数差的一半等于APD的度数的度数.DACBPAD的度数与的度数与BC的度数和的一半等于的度数和的一半等于APD的度数的度数.DACBPEAB与与CD相交于圆内一点相交于圆内一点P.证明
9、证明: ACD= AD21 P= BAC- ACP即即APD的度数等于的度数等于 BC与与AD度数的一半度数的一半.圆内角定理圆内角定理:且且BAC= P+ ACPCAB= BC21 1.弦切角弦切角:顶点在圆上，一边与圆相交，另顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角一边与圆相切的角叫做弦切角四。弦切角性质2.弦切角定理弦切角定理切角等于它所夹的弧所对的圆周角切角等于它所夹的弧所对的圆周角D弦切角性质 例例.如图已知如图已知AB是是 O的直径的直径,AC是弦是弦,直线直线CE和和 O切于点切于点C,ADCE,垂足为垂足为D.求证求证:AC平分平分BAD.解：五。与圆有关的相关线
10、段 1.相交弦定理相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。分成的两条线段长的积相等。ABCDPPAPB=PCPD与圆有关的相关线段 2.切，割线定理割线定理 从圆外一点引圆的两条割从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等线段长的积相等.PAPB=PCPDABCDPPE=PCPDE与圆有关的相关线段 4.切线长定理切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长它们的切线长相等相等,圆心和这一点的连线平圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角分两条切线的夹角PA=PCPAC与圆有关的相关线段例例.如图如图,AB是是 O的直径的直径,过过A,B引两条弦引两条弦AD和和BE,相交于点相交于点C,求证求证:ACAD+BCBE=AB.证明：练习1.如图，经过圆上的点如图，经过圆上的点T的切线和弦的切线和弦AB的延长线的延长线相交于点相交于点C。求证：求证：ATC=TBC2.如图，如图， O和和 O都经过都经过A,B两点，两点，AC是是 O的切线，交的切线，交 O于点于点C,AD是是 O的切线，交的切线，交 O于点于点D,求证：求证：AB=BCBD个人观点供参考，欢迎讨论
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