第7章第5节

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1、第七章第五节1(2014宝鸡质检)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10，这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16，这样的数称为“正方形数”如图，可以发现，任何一个大于1的“正方 形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是()13310；25916；361521；491831；642836.ABCD解析：选C这些“三角形数”依次是1,3,6,10,15,21,28,36,45，且“正方形数”是“三角形数”中相邻两数之和，很容易得到：152136,283664，因此只有正确故选C. 2给出下列三个类比结论：(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(

2、ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay与sin()类比，则有sin()sin sin ；(ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22abb2. 其中结论正确的个数是()A0B1C2D3解析：选B由条件知只有正确故选B. 3已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则f2 014(x)()Asin xcos xBsin xcos xCsin xcos xDsin xcos x解析：选C列举f2(x)f1(x)cos xsin x；f3(x)f2(x)sin

3、xcos x；f4(x)f3(x)cos xsin x；f5(x)f4(x)sin xcos x；由此归纳得其周期为4，即fn(x)fn4(x)，所以f2 014(x)f2(x)sin xcos x，故选C. 4在下图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么xyz的值为()cos 02sintanxyzA1B2C3D4解析：选A先算出三角函数值，然后根据每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，填表可得：1231xyz所以xyz1，故选A. 5(2012江西高考)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A28B

4、76C123D199解析：选C利用归纳法：ab1，a2b23，a3b3431，a4b4437，a5b57411，a6b611718，a7b7181129，a8b8291847，a9b9472976，a10b107647123.规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和故选C.6(2014长沙模拟)定义两个实数间的一种新运算“*”：x*ylg(10x10y)，x，yR.对于任意实数a，b，c，给出如下结论：(a*b)*ca*(b*c)；a*bb*a；(a*b)c(ac)*(bc)其中正确结论的个数是()A0B1C2D3解析：选D因为a*blg(10a10b)，故(a*b)*clg(10a10b)

5、*clg(10lg(10a10b)10c)lg(10a10b10c)，同理a*(b*c)a*(lg(10b10c)lg(10a10lg(10b10c)lg(10a10b10c)，故“*”运算满足结合律；据定义易知运算符合交换律；(a*b)clg(10a10b)clg(10a10b)lg10clg(10a10b)10clg(10ac10bc)(ac)*(bc)，故结论成立；综上可知均为真命题，故选D. 7观察下列不等式：1；，请写出第n个不等式_解析：由归纳知第n个式子为8(2014黄冈中学月考)在等差数列an中，若a10，s，t是互不相等的正整数，则有等式(s1)at(t1)as0成立类比上述

6、性质，相应地，在等比数列bn中，若b11，s，t是互不相等的正整数，则有等式_成立解析： 1通过类比，等比数列的商对等差数列的差，故等式应是1.9(2014宝鸡质检)已知222，332，442，若992(a，b为正整数)，则ab_.解析：89观察分数的分子规律得b9，则ab2180.故ab89. 10(2014龙岩质检)已知函数f(x)(x0)，如下定义一列函数：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，fn(x)f(fn1(x)，nN*，那么由归纳推理可得函数fn(x)的解析式是fn(x)_.解析：(x0)依题意得，f1(x)，f2(x)，f3(x)，由此归纳可

7、得fn(x)(x0)11(2014莱芜模拟)凸函数的性质定理：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，xn，有f，已知函数ysin x在区间(0，)上是凸函数，则在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值为_解析：因为f(x)sin x在区间(0，)上是凸函数，且A，B，C(0，)，所以ff，所以sin Asin Bsin C3sin，故sin Asin Bsin C的最大值为.12已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数yax(a1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论a成立运用类比思想方法

8、可知，若点A(x1，sin x1)B(x2，sin x2)是函数ysin x(x(0，)的图象上的不同两点，则类似地有_成立解析：sin运用类比思想与数形结合思想，可知ysin x(x(0，)的图象是上凸的，因此线段AB的中点的纵坐标总是小于函数ysin x(x(0，)图象上点的纵坐标，所以sin成立13平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S底高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的；请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面

9、积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V底面积高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的. 14(2012福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解：(1

10、)方法一：选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2 cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.方法二：(1)同方法一(2)三角恒等式为sin2 cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin (cos 30cos sin 30sin

11、 )cos 2(cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos sin2 cos 2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.1对于命题：若O是线段AB上一点，则有|0.将它类比到平面的情形是：若O是ABC内一点，则有SOBCSOCASOBA0，将它类比到空间情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有_解析：VOBCDVOACDVOABDVOABC0将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知若O为四面体ABCD内一点，则有VOBCDVOACDVOABDVOABC0. 2(2014福建质检)观察下

12、列等式：1；12；39；则当mn且m，nN时，_(最后结果用m，n表示)解析：n2m2据已知可得422212，同理825239，据此规律可得n2m2. 3(2013安徽高考)如图，互不相同的点A1，A2，An，和B1，B2，Bn，分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn1An1的面积均相等设OAnan.若a11，a22，则数列an的通项公式是_解析：an设SOA1B1S，a11，a22，OAnan，OA11，OA22.又易知OA1B1OA2B2，2.S梯形A1B1B2A23SOA1B13S.所有梯形AnBnBn1An1的面积均相等，且OA1B1OAnBn，.，an.4

13、对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导数，f (x)是f(x)的导数，若方程f (x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心若f(x)x3x23x，请你根据这一发现，(1)求函数f(x)x3x23x的对称中心；(2)计算fffff的值解：(1)f(x)x2x3，f (x)2x1，由f (x)0，即2x10，解得x.f3231.由题中给出的结论，可知函数f(x)x3x23x的对称中心为.(2)由(1)，知函数f(x)x3x23x的对称中心为，所以ff2，即f(x)f(1x)2.故ff2，ff2，ff2，ff2.所以fffff22 0132 013.