小学数学比和比例问题知识汇总

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1、小学数学知识总结之比与比例应用题【求比得问题】例 1 两个同样容器中各装满盐水。第一个容器中盐与水得比就是 23，第二个容器中盐与水得比就是 3 4，把这两个容器中得盐水混合起来，则混合溶液中盐与水得比就是_。邝緝侪毀呗浑兖。（无锡市小学数学竞赛试题）则混合溶液中，盐与水得比就是：某电子产品去年按定价得80出售，能获利 20，由于今年买入价降（1994 年全国小学数学奥林匹克决赛试题）即：【比例问题】例 1 甲、乙两包糖得重量比就是 4 1，如果从甲包取出 10 克放入乙包后，甲、乙两包糖得重量比变为 75 那么两包糖重量得总与就是 _克。 閡濃瀠懶赁鈺浔。（1989 年全国小学数学奥林匹克初

2、赛试题）例 2 甲容器中有纯酒精 11 升，乙容器中有水 15 升，第一次将甲容器中得一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合。第二次将乙容器中得一部分混合液倒入甲容器。这样甲容器中纯酒精含量为 62、5，乙容器中纯酒精含量为 25，那么，第二次从乙容器倒入甲容器得混合液就是 _升。 怼岘盐鲱捞幀義。（1991 年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：因为现在乙容器中纯酒精含量为 25，所以，乙容器中酒精与水得比为 25（1-25 ） =13第一次从甲容器中倒5 升纯酒精到乙容器，才使得乙容器中纯酒精与水得比恰好就是 5 15=1 3又甲容器中纯酒精含量为62、5，则甲容器中酒精与水得比为62、5

3、（ 1-62 、5） =53第二次倒后，要使甲容器中纯酒精与水得比为53，不妨把从甲容器中倒入乙容器得混合液中纯酒精作1 份，水作 3 份。那么甲容器中剩下得纯酒精便就是11-5=6（升）轄赂滟則紡鉍欢。6 升算作4 份，这样可恰好配成53。而第二次从乙容器倒入甲容器得混合液共为13=4（份），所以也应就是6 升。一、比得意义与性质（1）比得意义两个数相除又叫做两个数得比。“：”就是比号，读作“比” 。比号前面得数叫做比得前项，比号后面得数叫做比得后项。比得前项除以后项所得得商，叫做比值。同除法比较，比得前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。鍾绝謎败窜鄭濤。比值通常用分数表示， 也可

4、以用小数表示，有时也可能就是整数。 比得后项不能就是零。根据分数与除法得关系，可知比得前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值（2）比得性质比得前项与后项同时乘上或者除以相同得数（ 0 除外），比值不变，这叫做比得基本性质。（3） 求比值与化简比求比值得方法：用比得前项除以后项，它得结果就是一个数值可以就是整数，也可以就是小数或分数。根据比得基本性质可以把比化成最简单得整数比。它得结果必须就是一个最简比，即前、后项就是互质得数。（4）比例尺图上距离：实际距离 =比例尺要求会求比例尺； 已知图上距离与比例尺求实际距离；已知实际距离与比例尺求图上距离。线段比例尺：在图上附有一条注有数目得线

5、段，用来表示与地面上相对应得实际距离。（5）按比例分配在农业生产与日常生活中，常常需要把一个数量按照一定得比来进行分配。这种分配得方法通常叫做按比例分配。方法：首先求出各部分占总量得几分之几，然后求出总数得几分之几就是多少。2 比例得意义与性质（1） 比例得意义表示两个比相等得式子叫做比例。组成比例得四个数，叫做比例得项。两端得两项叫做外项，中间得两项叫做内项。（2）比例得性质在比例里，两个外项得积等于两个两个内向得积。这叫做比例得基本性质。（3）解比例根据比例得基本性质，如果已知比例中得任何三项，就可以求出这个数比例中得另外一个未知项。求比例中得未知项，叫做解比例。3 正比例与反比例（1）

6、成正比例得量两种相关联得量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应得两个数得比值（也就就是商）一定，这两种量就叫做成正比例得量，她们得关系叫做正比例关系。用字母表示 y/x=k( 一定）（2）成反比例得量两种相关联得量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应得两个数得积一定，这两种量就叫做成反比例得量，她们得关系叫做反比例关系。用字母表示 xy=k( 一定 )樺洶镬潴苧駝雛。二 正反比例问题【含义】 两种相关联得量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应得两个数得比得比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例得量，它们得关系叫做正比例关系。正比例

7、应用题就是正比例意义与解比例等知识得综合运用。铑诖煙课諄垦鈷。两种相关联得量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应得两个数得积一定，这两种量就叫做成反比例得量，它们得关系叫做反比例关系。反比例应用题就是反比例得意义与解比例等知识得综合运用。 鲒渍渑龍鈴擬煬。【数量关系】 判断正比例或反比例关系就是解这类应用题得关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。 举骖浹囱壳櫓鈿。【解题思路与方法】 解决这类问题得重要方法就是：把分率（倍数）转化为比，应用比与比例得性质去解应用题。例 1 修一条公路，已修得就是未修得1/3 ，再修 300 米后，已修得变成未修得1/

8、2 ，求这条公路总长就是多少米？ 赶銬蹰态赖讷勢。例 2 张晗做 4 道应用题用了 28 分钟，照这样计算， 91 分钟可以做几道应用题？关键：做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系例 3 孙亮瞧十万个为什么这本书，每天瞧24 页， 15 天瞧完，如果每天瞧36 页，几天就可以瞧完？三 按比例分配问题【含义】 所谓按比例分配，就就是把一个数按照一定得比分成若干份。这类题得已知条件一般有两种形式：一就是用比或连比得形式反映各部分占总数量得份数，另一种就是直接给出份数。園硤虑讷垒锾蓽。【数量关系】从条件瞧，已知总量与几个部分量得比；从问题瞧，求几个部分量各就是多少。总份数比得前后项之与【解题

9、思路与方法】 先把各部分量得比转化为各占总量得几分之几，把比得前后项相加求出总份数，再求各部分占总量得几分之几（以总份数作分母，比得前后项分别作分子），再按照求一个数得几分之几就是多少得计算方法，分别求出各部分量得值。餡晔鱘無炜躊廈。例 1 学校把植树 560 棵得任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47 人，二班有 48人，三班有 45 人，三个班各植树多少棵？嗇軀蚕胇蝎窯尧。例 2 用 60 厘米长得铁丝围成一个三角形，三角形三条边得比就是3 4 5。三条边得长各就是多少厘米？例 3 从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17 只羊分给三个儿子，大儿子分总数得1/2 ，二儿子分总数得1/3

10、 ，三儿子分总数得 1/9 ，并规定不许把羊宰割分， 求三个儿子各分多少只羊。掺議譏維噸荆縭。例 4 某工厂第一、二、三车间人数之比为 8 1221，第一车间比第二车间少 80 人，三个车间共多少人？四 列方程例 1 甲乙两班共 90 人，甲班比乙班人数得 2 倍少 30 人，求两班各有多少人？例 2 仓库里有化肥 940 袋，两辆汽车 4 次可以运完，已知甲汽车每次运 125 袋，乙汽车每次运多少袋？智趣题学校买了 4 张办公桌与 1 把椅子，共用去 510 元，后又买来 6 张办公桌与 1 把椅子共用去 750 元。求每张办公桌与每把椅子各多少元？ 骆膃铗關亩鯁龅。作业1一台拖拉机第一天上

11、午3 小时平均每小时耕地7、8 公亩，下午 4 小时平均每小时耕地公亩，第二天用了5 小时耕地 38、4 公亩，正好完成任务。这台拖拉机平均每天耕地多少公亩8、 1 ?渾嫻雠酝鹨刭瘧。2王、张两人各带同样多得钱去商店买花布，同种得花布小王买了9 米，小张买了张借了 12 元，两人得钱刚好用完。这种花布每米多少元?怆覦韜硤亚鯽县。比得应用练习题6 米。王向1、两个相同得瓶子都装满了酒精溶液，一个瓶中酒精与水得体积比就是 3 ：1，另一个瓶中酒精与水得体积比就是 4 ：1。如果把这两个瓶中酒精溶液混合，混合溶液中酒精与水得比就是（ ）。2、五角人民币与贰角人民币得张数比为12 ：35，那么伍角与贰

12、角得总钱数比为（）。3、甲、乙、丙三个数得平均数就是 60。甲、乙、丙三个数得比就是 3 ：2 ：1。甲、乙、丙三个数各就是多少？4、一个直角三角形得两个锐角度数得比就是2 ： 1，这两个锐角分别就是多少度？5、大、小两瓶油共重2、7 千克，大瓶得油用去0、2 千克后，剩下得油与小瓶内油得重量比就是 3 ：2。求大、小瓶里各装油多少千克？6、甲、乙、丙三位同学共有图书108 本，乙比甲多 18 本，乙与丙得图书数之比就是5 ：4，求甲、乙、丙三人各有图书多少本？7、一个直角三角形得三条边总与就是60 厘米，已知三条边得比就是3 ：4：5、这个直角三角形得面积就是多少平方厘米？8、一个直角三角形

13、得周长为 36 厘米，三条边得长度比就是 3 ：4 ：5，这个三角形得面积就是多少平方厘米？9、一瓶盐水，盐与水得重量比就是1 ：24，如果再放入 75 克水，这时盐与水得重量比就是1 ：27，原来瓶内盐水重多少千克？10、盒子里有三种颜色得球，黄球个数与红球个数得比就是2 ：3，红球个数与白球个数得比就是 4 ：5。已知三种颜色得球共175 个，红球有多少个？11、王老师用 100 元去买了 20 支圆珠笔与 10 支钢笔，每支钢笔得价钱与每支圆珠笔得价钱得比就是 3 ：1。问买圆珠笔与钢笔各花了多少元？12、甲、乙两包糖果得重量得比就是4 ：1，如果从甲包取出10 克放入乙包后，甲、乙两包

14、糖果重量得比变为7 ：5。那么两包糖果重量得总与就是多少？13、某小学男、女生人数之比就是16 ：13，后来有几位女生转学到这所学校，男、女生人数之比变成为 6 ：5，这时全体学生共有880 人，问转学来得女生有多少人？14、小明读一本书，已读得与末读得页数比就是数之比为 3 ：5。这本书共有多少页？1 ： 5。如果再读30 页，则已读得与末读得页15、运输队要运一批货物，已经运走得与剩下得比就是剩下得比为 3 ： 7。这批货物共多少吨？1 ：4。如果再运走4 吨，那么运走得与16、甲、乙、丙三人得彩球数得比例为9： 4： 2，甲给了丙 30 个彩球，乙也给了丙一些彩球，比例变为 2 ：1 ：

15、1。乙给了丙多少个彩球？楨缚挤鐔凛選撿。溶液问题一碗糖水中有多少糖，这就要用百分比浓度来衡量、放多少水与放多少糖能配成某一浓度得糖水，这就就是配比问题、在考虑浓度与配比时，百分数得计算扮演了重要得角色，并产生形形色色得计算问题，这就是小学数学应用题中得一个重要内容、獺郓龕鐐裤贅硕。从一些基本问题开始讨论、例 15 基本问题一（1）浓度为 10，重量为 80 克得糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8得糖水？（2）浓度为 20得糖水 40 克，要把它变成浓度为40得糖水，需加多少克糖？解：（ 1）浓度 10，含糖 80 10 8 （克），有水 80-8 72（克）、如果要变成浓度为8，含糖 8 克

16、，糖与水得总重量就是8 8 100（克），其中有水100-8 92（克）、还要加入水 92- 72 20 （克）、（2）浓度为 20，含糖 4020 8（克），有水 40- 8 32 （克）、如果要变成浓度为 40， 32 克水中，要加糖 x 克，就有x32 40（ 1-40 ），例 16 基本问题二20得食盐水与 5得食盐水混合， 要配成 15得食盐水 900 克、问：20与 5食盐水各需要多少克？解： 20 比 15多（ 20-15 ）， 5 比 15少（ 15-5 ），多得含盐量（20-15 ） 20所需数量要恰好能弥补少得含盐量（15-5 ） 5所需数量、也就就是画出示意图：相差得百分

17、数之比与所需数量之比恰好就是反比例关系、答：需要浓度 20 得 600 克，浓度 5 得 300 克、这一例题得方法极为重要，在解许多配比问题时都要用到、现在用这一方法来解几个配比得问题、例 17 某人到商品买红、蓝两种笔，红笔定价 5 元，蓝笔定价 9 元、由于买得数量较多，商店就给打折扣、红笔按定价 85 出售，蓝笔按定价 80 出售、结果她付得钱就少了 18、已知她买了蓝笔 30 支，问红笔买了几支？ 矚瀘錟赖拥幗脏。解：相当于把两种折扣得百分数配比，成为1-18 82、（ 85%-82）（ 82%-80） 3 2、按照基本问题二，她买红、蓝两种笔得钱数之比就是 23、设买红笔就是 x

18、支，可列出比例式5x930 2 3答：红笔买了 36 支、配比问题不光就是溶液得浓度才有得，有百分数与比，都可能存在配比、要提请注意，例 17 中就是钱数配比，而不就是两种笔得支数配比，千万不要搞错、 煬酽砗囅繰攖編。例 18 甲种酒精纯酒精含量为 72，乙种酒精纯酒精含量为 58，混合后纯酒精含量为 62 、如果每种酒精取得数量比原来都多取 15 升，混合后纯酒精含量为 63、25、问第一次混合时，甲、乙两种酒精各取多少升？ 赶脓擞絕獎緬猎。解：利用例 16 得方法，原来混合时甲、乙数量之比就是后一次混合，甲、乙数量之比就是这与上一讲例 14 就是同一问题、都加15，比例变了，但两数之差却没

19、有变、5 与 2 相差 3，5 与 3 相差 2、前者 3 份与后者 2 份就是相等得、把 25 中前、后两项都乘 2，35 中前、后两项都乘3，就把比得份额统一了，即蒇恸簫剄錁鯫給。现在两个比得前项之差与后项之差都就是5、15 就是 5 份，每份就是 3、原来这答：第一次混合时，取甲酒精12 升，乙酒精 30 升、例 19 甲容器中有 8得食盐水 300 克，乙容器中有 12、5得食盐水 120 克、往甲、乙两个容器分别倒入等量得水，使两个容器得食盐水浓度一样、问倒入多少克水？ 眯籴鲦荜畢爍灯。解：要使两个容器中食盐水浓度一样，两容器中食盐水重量之比，要与所含得食盐重量之比一样、甲中含盐量：

20、乙中含盐量= 300 8 120 12、5= 8 5、现在要使（ 300 克+倒入水）（ 120 克+倒入水） 8 5、把“ 300 克+ 倒入水”算作 8 份，“ 120 克+ 倒入水”算作 5 份，每份就是（300-120 ）（ 8-5 ）= 60 （克）、倒入水量就是 60 8-300 180 （克）、答：每一容器中倒入180 克水、例 20 甲容器有浓度为 2得盐水 180 克，乙容器中有浓度为 9 得盐水若干克， 从乙取出 240克盐水倒入甲、再往乙倒入水，使两个容器中有一样多同样浓度得盐水、问：墊饭資绢谅膩娲。（1）现在甲容器中食盐水浓度就是多少？（2）再往乙容器倒入水多少克？解：

21、（ 1）现在甲容器中盐水含盐量就是1802 240 9 25 、2（克）、浓度就是25、2（ 180 240 ） 100 = 6 、（2）“两个容器中有一样多同样浓度得盐水”，也就就是两个容器中含盐量一样多、在乙中也含有 25、 2 克盐、因为后来倒入得就是水，所以盐只在原有得盐水中、在倒出盐水 240 克后，乙得浓度仍就是 9 ，要含有 25 、2 克盐，乙容器还剩下盐水 25、29 280（克）， 赐穢簡墊彻塹錐。还要倒入水 420-280 140（克）、答：（ 1）甲容器中盐水浓度就是6；（2）乙容器再要倒入140 克水、例 21 甲、乙两种含金样品熔成合金、如甲得重量就是乙得一半，得到含乙两种含金样品中含金得百分数、解：因为甲重量增加，合金中含金百分数下降，所以甲比乙含金少、用例 17 方法，画出如下示意图、因为甲与乙得数量之比就是12，所以（68 - 甲百分数）（乙百分数-68 ）21 6 3、注意： 6+3279、那么每段就是因此乙得含金百分数就是甲得含金百分数就是答：甲含金 60 ，乙含金 72 、用这种方法解题，一定要先弄清楚，甲与乙分别在示意图线段上哪一端，也就就是甲与乙哪个含金百分数大、