2016年湖南省衡阳四中高三上学期10月月考数学试卷（文科）

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1、2015-2016学年湖南省衡阳四中高三（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分1设集合A=x|x210，B=x|x+20，则AB=（）Ax|1x1Bx|x2Cx|2x1Dx|1x22已知实数x，y满足axay（0a1），则下列关系式恒成立的是（）Ax3y3BsinxsinyCln（x2+1）ln（y2+1）D3函数y=+的定义域为（）Ax|x0B（1，1）C1，1D1，0）（ 0，14设集合M=x|2x3，P=x|x1，那么“xM或xP”是“xMP”的（）A 必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D 既不充分也不必要条件5设a=log2，b=log

2、，c=2，则（）AabcBbacCacbDcba6为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位7函数的单调减区间为（）A（kZ）B（kZ）C（kZ）D（kZ）8已知函数f（x）=，若f（a）=，则a的值为（）A2或BC2D9已知函数，g（x）=ex，则函数F（x）=f（x）g（x）的图象大致为（）ABCD10已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）mxm在（1，1内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A（，2（0，B（，2（0，C（，2（0，D（，2（0，11已知曲线y=x4+ax2

3、+1在点（1，a+2）处切线的斜率为8，a=（）A9B6C9D612若函数y=logax（a0，且a1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（）ABCD二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共0分13（）+log3+log3=14曲线y=5ex+3在点（0，2）处的切线方程为15函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为16函数f（x）=的零点个数是三、解答题17已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）（）求f（）的值；（）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间18在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2=b2+c2+bc（）求A；（）设a=，S为ABC的面积，求

4、S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值19设定义在（0，+）上的函数f（x）=ax+b（a0）（）求f（x）的最小值；（）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=，求a，b的值20已知函数f（x）=x32tx2x+1（tR）且f（1）=0（）求函数f（x）的解析式；（）求函数f（x）的极值21已知函数f（x）=2x33x（）求f（x）在区间2，1上的最大值；（）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（）问过点A（1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）22已知函数f（x）=+lnx，其

5、中aR，且曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于直线y=x（）求a的值；（）求函数f（x）的单调区间与极值2015-2016学年湖南省衡阳四中高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分1设集合A=x|x210，B=x|x+20，则AB=（）Ax|1x1Bx|x2Cx|2x1Dx|1x2【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x1）0，解得：1x1，即A=x|1x1，由B中不等式解得：x2，即B=x|x2，则AB=x|1

6、x1，故选：A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2已知实数x，y满足axay（0a1），则下列关系式恒成立的是（）Ax3y3BsinxsinyCln（x2+1）ln（y2+1）D【考点】指数函数的图像与性质【专题】函数的性质及应用【分析】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键【解答】解：实数x，y满足axay（0a1），xy，A当xy时，x3y3，恒成立，B当x=，y=时，满足xy，但sinxsiny不成立C若ln（x2+1）ln（y2+1），则等价为x2y2成立，当x=1，y=1时，满足xy，但x2y2不成立D若，则等价为x2+1y

7、2+1，即x2y2，当x=1，y=1时，满足xy，但x2y2不成立故选：A【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键3函数y=+的定义域为（）Ax|x0B（1，1）C1，1D1，0）（ 0，1【考点】函数的定义域及其求法【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】要使函数y=+有意义，则，然后解不等式组即可得答案【解答】解：要使函数y=+有意义，则，解得：1x1且x0函数y=+的定义域为：1，0）（0，1故选：D【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了一元二次不等式的解法，是基础题4设集合M=x|2x3，P=x|x1，

8、那么“xM或xP”是“xMP”的（）A 必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D 既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】阅读型；集合思想；分析法；简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合集合的基本运算进行判断即可【解答】解：M=x|2x3，P=x|x1，MP=x|x3，MP=x|2x1，则MPMP，即“xM或xP”是“xMP”的必要不充分条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件判断，根据集合的交集和并集进行运算是解决本题的关键，属于基础题5设a=log2，b=log，c=2，则（）AabcBbacCacbDcba【考点】对数值大小的比较【专

9、题】函数的性质及应用【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论【解答】解：log21，log0，021，即a1，b0，0c1，acb，故选：C【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础6为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可【解答】解：函数y

10、=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x=的图象向右平移个单位，得到y=的图象故选：A【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查7函数的单调减区间为（）A（kZ）B（kZ）C（kZ）D（kZ）【考点】复合三角函数的单调性【专题】计算题【分析】观察可知函数是由，t=sin（2x+）构成的复合函数，由复合函数的单调性，只要求得t=sin（2x+）增区间中的大于部分即可【解答】解：令：，t=sin（2x+）2k2x+2k+kxk+由复合函数的单调性可知：函数的单调减区间为（kZ）故选B【点评】本题主要查复合函数的单调性，结论是同增异减，一定要注意定

11、义域，如本题在真数位置要大于零8已知函数f（x）=，若f（a）=，则a的值为（）A2或BC2D【考点】函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】由f（a）=得到关于a 的两个等式，在自变量范围内求值【解答】解：因为f（a）=，所以，或者，解得a=或者a=2；故选B【点评】本题考查了分段函数的函数值；只要由f（a）=得到两个方程，分别解之即可；注意解得的自变量要在对应的自变量范围内9已知函数，g（x）=ex，则函数F（x）=f（x）g（x）的图象大致为（）ABCD【考点】函数的图象【专题】数形结合【分析】利用函数f（x），g（x）的图象性质去判断【解答】解：方法1：因为为奇函数，g（x）=ex，为

12、非奇非偶函数，所以F（x）为非奇非偶函数，所以图象不关于原点对称，所以排除A，B当x0时，f（x）=1，所以此时F（x）=ex，为递增的指数函数，所以排除D，选C方法2：因为F（x）=，所以对应的图象为C故选C【点评】本题主要考查函数图象的识别，函数的图象识别一般是通过函数的性质来确定的，要充分利用好函数自身的性质，如定义域，单调性和奇偶性以及特殊点的特殊值来进行判断10已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）mxm在（1，1内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A（，2（0，B（，2（0，C（，2（0，D（，2（0，【考点】分段函数的应用【专题】函数的性质及应用【分析】由g（x）

13、=f（x）mxm=0，即f（x）=m（x+1），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论【解答】解：由g（x）=f（x）mxm=0，即f（x）=m（x+1），分别作出函数f（x）和y=h（x）=m（x+1）的图象如图：由图象可知f（1）=1，h（x）表示过定点A（1，0）的直线，当h（x）过（1，1）时，m=此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是0m，当h（x）过（0，2）时，h（0）=2，解得m=2，此时两个函数有两个交点，当h（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，此时，即m（x+1）2+3（x+1）1=0，当m=0时，x=，只有1解，当m0，由=9+4m=0得m=

14、，此时直线和f（x）相切，要使函数有两个零点，则m2或0m，故选：A【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法11已知曲线y=x4+ax2+1在点（1，a+2）处切线的斜率为8，a=（）A9B6C9D6【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】先求导函数，再利用导数的几何意义，建立方程，即可求得a的值【解答】解：y=x4+ax2+1，y=4x3+2ax，曲线y=x4+ax2+1在点（1，a+2）处切线的斜率为8，42a=8a=6故选：D【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题12若函数y=logax（a0，且a1）的

15、图象如图所示，则下列函数正确的是（）ABCD【考点】函数的图象【专题】综合题；函数的性质及应用【分析】根据对数函数的图象所过的特殊点求出a的值，再研究四个选项中函数与图象是否对应即可得出正确选项【解答】解：由对数函数的图象知，此函数图象过点（3，1），故有y=loga3=1，解得a=3，对于A，由于y=ax是一个减函数故图象与函数不对应，A错；对于B，由于幂函数y=xa是一个增函数，且是一个奇函数，图象过原点，且关于原点对称，图象与函数的性质对应，故B正确；对于C，由于a=3，所以y=（x）a是一个减函数，图象与函数的性质不对应，C错；对于D，由于y=loga（x）与y=logax的图象关于y

16、轴对称，所给的图象不满足这一特征，故D错故选B【点评】本题考查函数的性质与函数图象的对应，熟练掌握各类函数的性质是快速准确解答此类题的关键二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共0分13（）+log3+log3=【考点】对数的运算性质【专题】函数的性质及应用【分析】直接利用分数指数幂的运算法则，对数的运算法则求解即可【解答】解：（）+log3+log3=故答案为：【点评】本题考查分数指数幂的运算法则，对数的运算法则，考查计算能力14曲线y=5ex+3在点（0，2）处的切线方程为5x+y+2=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率

17、即可【解答】解：y=5ex，y|x=0=5因此所求的切线方程为：y+2=5x，即5x+y+2=0故答案为：5x+y+2=0【点评】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程，属于基础题15函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法【专题】三角函数的图像与性质【分析】利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期【解答】解：函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数的最小正周期的最小正周期为 =，故答案为：【点评】本题主要考查两角和的正弦

18、公式、二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题16函数f（x）=的零点个数是2【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数零点的定义，直接解方程即可得到结论【解答】解：当x0时，由f（x）=0得x22=0，解得x=或x=（舍去），当x0时，由f（x）=0得2x6+lnx=0，即lnx=62x，作出函数y=lnx和y=62x在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有1个零点，故函数f（x）的零点个数为2，故答案为：2【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，对于比较好求的函数，直接解方程f（x）=0即可，对于比较复杂的函数，由利用数形结合进行求解三、解答题17已

19、知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）（）求f（）的值；（）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间【考点】二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法【专题】三角函数的求值【分析】（）利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+）+1，从而求得f（）的值（）根据函数f（x）=sin（2x+）+1，求得它的最小正周期令2k2x+2k+，kZ，求得x的范围，可得函数的单调递增区间【解答】解：（）函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+1，f（）=sin（+）+1=sin+1=+1=2（）函数f（x）=sin（2

20、x+）+1，故它的最小正周期为=令2k2x+2k+，kZ，求得kxk+，故函数的单调递增区间为k，k+，kZ【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和单调性，属于中档题18在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2=b2+c2+bc（）求A；（）设a=，S为ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值【考点】余弦定理；正弦定理【专题】三角函数的求值【分析】（）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式代入计算求出cosA的值，即可确定出A的度数；（）利用正弦定理列出关系式，将a与sinA的值代入表示出b与csinA，利用三角形面积公式表示出S，代入

21、所求式子中，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据余弦函数的性质即可确定出最大值以及此时B的值【解答】解：（）a2=b2+c2+ab，即b2+c2a2=bc，cosA=，则A=；（）a=，sinA=，由正弦定理=得：b=，csinA=asinC，S=bcsinA=asinC=3sinBsinC，S+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos（BC），当BC=0，即B=C=时，S+3cosBcosC取得最大值为3【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键19设定义在（0，+）上的函数f（x）=ax+b（a0）（）求f（x）的

22、最小值；（）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=，求a，b的值【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式【专题】计算题【分析】（）根据a0，x0，利用基本不等式，可求f（x）的最小值；（）根据曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=，建立方程组，即可求得a，b的值【解答】解：（）f（x）=ax+b2+b=b+2当且仅当ax=1（x=）时，f（x）的最小值为b+2（）由题意，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=，可得：f（1）=，a+b=f（x）=a，f（1）=a=由得：a=2，b=1【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及

23、基本不等式的应用，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于中档题20已知函数f（x）=x32tx2x+1（tR）且f（1）=0（）求函数f（x）的解析式；（）求函数f（x）的极值【考点】利用导数研究函数的极值【专题】导数的综合应用【分析】（1）先求导，根据f（1）=0，求出t的值，继而求出f（x）的解析式；（2）根据导数和函数的极值的关系即可求出【解答】解：（） y=f（x）=3x24tx1，f（1）=34t1=0，即f（x）=x3x2x+1；（）令f（x）=3x22x1=（3x+1）（x1）=0，解得，x2=1，x（，）（，0）1（1，+）f（x）+00+f（x）极大值极小值0当时有极大值，

24、当x=1时有极小值f（1）=0【点评】本题主要考查函数、导数等基本知识考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、数形结合思想，属于基础题21已知函数f（x）=2x33x（）求f（x）在区间2，1上的最大值；（）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（）问过点A（1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】（）利用导数求得极值点比较f（2），f（），f（），f（1）的大小即得结论；（）利用导数的几何意义

25、得出切线方程46+t+3=0，设g（x）=4x36x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”利用导数判断函数的单调性进而得出函数的零点情况，得出结论；（）利用（）的结论写出即可【解答】解：（）由f（x）=2x33x得f（x）=6x23，令f（x）=0得，x=或x=，f（2）=10，f（）=，f（）=，f（1）=1，f（x）在区间2，1上的最大值为（）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y0），则y0=23x0，且切线斜率为k=63，切线方程为yy0=（63）（xx0），ty0=（63）（1x0），即46+t+

26、3=0，设g（x）=4x36x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”g（x）=12x212x=12x（x1），g（x）与g（x）变化情况如下： x（，0） 0 （0，1） 1（1，+） g（x）+ 0 0+ g（x） t+3 t+1g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值当g（0）=t+30，即t3时，g（x）在区间（，1和（1，+）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点当g（1）=t+10，即t1时，g（x）在区间（，0和（0，+）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点当g（0）0

27、且g（1）0，即3t1时，g（1）=t70，g（2）=t+110，g（x）分别在区间1，0），0，1）和1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（，0）和1，+）上单调，故g（x）分别在区间（，0）和1，+）上恰有1个零点综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（3，1）（）过点A（1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切【点评】本题主要考查利用导数求切线方程及判断函数的单调性求最值等知识，考查转化划归思想及分类讨论思想的运用能力和运算能力，

28、属难题22已知函数f（x）=+lnx，其中aR，且曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于直线y=x（）求a的值；（）求函数f（x）的单调区间与极值【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【专题】导数的综合应用【分析】（）由曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于直线y=x可得f（1）=2，可求出a的值；（）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f（x）的单调区间与极值【解答】解：（）f（x）=+lnx，f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于直线y=xf（1）=a1=2，解得：a=（）由（）知：f（x）=+lnx，f（x）=（x0），令f（x）=0，解得x=5，或x=1（舍），当x（0，5）时，f（x）0，当x（5，+）时，f（x）0，故函数f（x）的单调递增区间为（5，+）；单调递减区间为（0，5）；当x=5时，函数取极小值ln5【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数的综合应用，难度中档