线性代数08课xm2-3逆矩阵

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1、第二章 第三节逆矩阵线性变换111 11221221 122221 1221122,nnnnnnnnnnnnya xa xa xya xa xa xya xa xa xxyxyXYxyYAX逆运算*|1|YAXA YA AXA YA XBAAXBY从Y变换成X逆矩阵v定义7：A、B都是n阶矩阵 A是可逆的，B称为A的逆矩阵。（简称“逆”）()() ()() YA BYYABEXB AXXABABAEBABBAE逆矩阵是唯一的v假设B、C都是A的逆矩阵。vA的逆矩阵记作 ()()BBEB ACBA CECC1A1ABBAEBA13434,2323ABABEBAEBA可逆 则 行列式非零v定理1：

2、若矩阵A可逆，则 证： A可逆，| 0A 11| | 1|0AAEAAEA不可逆矩阵（奇异）10002211123456789ABC行列式非零 则 可逆v定理2： 则矩阵A可逆，且证： |0A 1*1|AAA*1*|11|1|AAA AA EAAAAEAAAAA奇异矩阵v奇异矩阵，不可逆矩阵。v非奇异矩阵，可逆矩阵。v推论：A是方阵， 则 证明：A可逆 | 0A | 0A ()ABEBAE或者1BAAB=E | B| | 1AE1111()()BEBA A BAABA EA111111111,()()11(3 )()3331(3 )3TTABEBAABABAAAAAAAEAA逆矩阵性质v（i）

3、v（ii)v(iii)A ,B 都可逆： 证： 11()AA0,111()AA111()ABB A111111111()()()()AB B AA BBAAEAAAEABB A转置与逆矩阵v（iv） （两个符号可换） 证：回忆转置矩阵的性质：比较逆矩阵性质：11()()TTAA11()()TTTTAAA AEE()TTTABB A111()ABB A1111111111111*1*1111() ) )() ) )()()| 11|1| | | |TTnTTnAAAAABCC B AAAEAAAAAAAAAA AAAAA方阵的整数次幂01,(),(),kkAE AAA AAAA 23132( )

4、(46)2624f xxf AAxxAAE二阶矩阵求逆*1*| 011|abAcdAadbcdbAcaAdbAAcaAadbc*167910|3107961071963AAAA 三阶示例111213212223313233112131*1222321322331*123221343| 202,3,2,6,6,2,4,5,22643652221321353|22111AAMMMMMMMMMMMMAMMMMMMAAA 矩阵方程11111111111231321221 ,20533433113231353,522211113213113135320522231111ABCAXBCA AXBBA CB

5、XA CBABXA CB 2131021045202104111211211|00|0|00BAxyxACABA CBCBACBbAbbAAbABOABA OOBAOBOy方阵高次幂计算11211211221210,1402421|2,112,1010101010,020202020210104210202112nnnnnnnPAPPAPPAP PAP P P PPPAPPA 求1211221142121112 124222222112 42222221nnnnnnnnnn多项式0101( )( )mmmmxaa xa xAa Ea Aa A,klAA 可交换2323( ) ( )( ) (

6、)()(2)2()33A f Af AAEAEAEAAEAEAAA多项式计算1101111011121201112201,( )( )(,)(,)( )111kkmmmmnkkkknmmmmmmnnAP PAPPAa Ea Aa APa EPPaPPaPPPdiagdiaga Eaaaaa 12()()()n 示例32111*1111102,2,1113( )23| 6, ( )( ).(1)0, (2)10, ( 3)0, ( )(0,10,0)11101( )( ).10210|1110010100006010PAPPAAAAPAP PAPPdiagAPPPP ，1121311121311222321323331323331222325000,3121111,3,111112101( )5 000101AAAAAAAAAAAAAAAAAAA