2018年湖南师大附中高三上学期月考试卷（三）（11月） 数学（文）

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1、湖南师大附中2018届高三月考试卷(三)数学(文科) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。第卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 (1)设i是虚数单位，则1ii2i3i4i100(C)(A)1 (B) 0 (C)1 (D)i选C.(2)给出命题p：直线ax3y10与直线2x(a1)y10互相垂直的充要条件是a；命题q：若平面内不共线的三点到平面的距离相等，则.下列结论中正确的是(D)(A)“pq”为真命题 (B)“pq”为假命题(C)“p綈q”为假命题 (D)“p綈q”为真命

2、题选D.(3)如果f(x)ax2(2a)x1在区间上为减函数，则a的取值范围是(C)(A) (0，1 (B)0，1) (C)0，1 (D) (0，1)(4)计算机执行如图所示的程序，则输出的S值为(C)i6S1DOSS*iii1LOOP UNTIL i3PRINTSEND(A)30 (B)120 (C)360 (D)720【解析】执行循环体依次得S6，i5；S30，i4；S120，i3；S360，i2，此时满足条件i3，所以输出的S360，故答案选C.(5)在等差数列an中，a12016，其前n项和为Sn，若2017S20162016S201720162017，则S2016的值等于(C)(A)

3、2018 (B)2017 (C)2016 (D)2015【解析】利用等差数列性质：为等差数列(6)在ABC中，若，则ABC的形状是(D)(A)等腰三角形 (B)直角三角形(C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形【解析】由已知，所以或0.即C90或.由正弦定理，得，所以，即sin Ccos Csin Bcos B，即sin 2Csin 2B.因为B、C均为ABC的内角，所以2C2B或2C2B180，所以BC或BC90，所以ABC为等腰三角形或直角三角形故答案选D.(7)已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为(C)(A)2 (B)4 (C) (D)【解析】由已知的三视图可得：

4、该几何体是一个底面为直角边为2的等腰直角三角形，高为1的三棱锥，故该几何体的体积为V，故答案为C.(8)已知半径为4的圆O是ABC的外接圆，且满足0，则在上的投影为(A)(A)2 (B)2 (C)4 (D)4【解析】0，()()0，0，所以O为ABC的重心，又O为ABC的外心，所以ABC为正三角形设ABC的边长为a，则a4，a4.所以在上的投影为4cos2，故答案选A.(9)在区间0，4上随机地选择一个数p，则方程x2px3p80有两个正根的概率为(A)(A) (B) (C) (D)【解析】方程x2px3p80有两个正根，则有即解得p8或p4，又p0，4，则所求概率为p，故答案选A.(10)在

5、直角坐标系中，若不等式表示一个三角形区域，则实数a的取值范围是(D)(A)a0 (B)a0 (C)a2 (D)a2(11)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e21的取值范围是(B)(A) (B)(C) (D)【解析】由三角形PF1F2三边关系可知，c，因此e1e21的取值范围是，故答案选B.(12)已知函数f(x)(xR)满足f1，且f的导数f(x)，则不等式f.F(x)f(x)0，即函数F(x)在R上单调递增f(x2)，f(x2)f(1

6、)，F(x2)F(1)而函数F(x)在R上单调递增，x21，1x0)的焦点F与椭圆：y21的一个焦点重合，点M(x0，2)在抛物线上，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点()求抛物线C的方程以及|MF|的值；()记抛物线C的准线与x轴交于点H，试问是否存在常数R，使得且|HA|2|HB|2都成立？若存在，求出实数的值； 若不存在，请说明理由【解析】()依题意，椭圆：y21中，a22，b21，故c2a2b21，故F，故1，则2p4，故抛物线C的方程为y24x，将M代入y24x，解得x01，故12.4分()(法一)依题意，F，设l：xty1，设A，B，联立方程，消去x，得y24ty40. 且，又

7、则，即y1y2，代入得，6分消去y2得4t22，且H，8分则|HA|2|HB|2yyxx22yy22yy4t84t4t816t440t216.由16t440t216，10分解得t2或t2(舍)，故2或.12分(法二)若设直线斜率为k，讨论k存在与不存在，酌情给分(21)(本小题满分12分)已知函数f(x)ax2(a2b)xaln x(a，bR)()当b1时，求函数f(x)的单调区间；()当a1，b0时，证明：f(x)exx2x1(其中e为自然对数的底数)【解析】()当b1时，f(x)ax2(1a2)xaln x，f(x)ax(1a2).1分讨论：1当a0时，xa0，0，ax10f(x)0时，令

8、f(x)0x或a，当a(a0)，即a1时， 此时f(x)0(x0)，此时函数f(x)单调递增区间为(0，)，无单调递减区间；3分当01时，此时在和(a，)上函数f(x)0，在上函数f(x)0，此时函数f(x)单调递增区间为和(a，)；单调递减区间为；4分当0a，即0ax2x1，只需证明：exln x10，设g(x)exln x1(x0)，问题转化为证明x0，g(x)0.令g(x)ex， g(x)ex0，g(x)ex为(0，)上的增函数，且g20，8分存在惟一的x0，使得g(x0)0，ex0，g(x)在(0，x0)上递减，在(x0，)上递增.10分g(x)ming(x0)ex0ln x01x01

9、211，g(x)min0不等式得证.12分(法二)先证：x1ln x(x0)令h(x)x1ln x(x0)，h(x)10x1，h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增h(x)minh(1)0，h(x)h(1)x1ln x8分1ln x1x1xln(1x)x，eln(1x)ex，10分exx1x1ln x，ex1ln x，故exln x10，证毕.12分请考生在第(22)(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。(22)(本小题满分10分)选修44：极坐标与参数方程已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，曲线C：(为参数)，在以平面直角坐标系的

10、原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线l：sin1.()求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；()曲线C上恰好存在三个不同的点到直线l的距离相等，分别求出这三个点的极坐标【解析】()曲线，可得：曲线C的普通方程：x2y24.3分直线l：sin1sin cos ，直线l的直角坐标方程：xy20.5分()圆C的圆心(0，0)半径为2，圆心C到直线的距离为1，这三个点在平行直线l1与 l2上，如图：直线l1与 l2与l的距离为1.l1：xy0，l2：xy40.，可得两个交点(，1)、(，1)；解得(1，)，8分这三个点的极坐标分别为：、.10分(23)(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数f(x)，g(x)af(x)|x1|.()当a0时，若g(x)|x2|b对任意x(0，)恒成立，求实数b的取值范围；()当a1时，求g(x)的最大值【解析】()当a0时，g(x)bb1b1，b15分()当a1时，g(x)6分可知g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)单调递减8分g(x)maxg(1)1.10分第8页