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1、-圆锥曲线的几何性质*yoF11F2AB一、椭圆的几何性质以+=1ab0为例1、ABF2的周长为4a(定值)证明：由椭圆的定义即2、焦点PF1F2中：*yoF1F22P1SPF1F2=2SPF1F2ma*= bc3当P在短轴上时，F1PF2最大证明：1在中2SPF1F2ma* =3 *yoF1F2PM当=0时 有最小值 即F1PF2最大3、 过点F1作PF1F2的P的外角平分线的垂线，垂足为M ，则M 的轨迹是*2+y2=a2证明：延长交于，连接由有 为中点=所以M的轨迹方程为 *yoF1F2P 4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆*2+y2=a2切证明：取的中点，连接。令圆的直径，半径为
2、= 圆与圆切 以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆*2+y2=a2切*yoF1F2PIIIR5、任一焦点PF1F2的切圆圆心为I，连结PI延长交长轴于R，则 IR：IP=e证明：证明：连接由三角形角角平分线性质有 y*oF1F2AB6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。证明：令到准线的距离为以为直径的圆的圆心为到准线的距离为。以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离7、A为椭圆一定点，P在椭圆上，则：PA+PF2ma* =2a+AF1PA+PF2min =2a-AF1*yoF1F2PPA证明：连接 PA+PF2ma* =2a+AF1PA+PF2min =2a-AF1*yoFA8、A 为椭圆一定
3、点，P是椭圆上的动点，则PA+min = A到右准线的距离证明：设到右准线的距离d,由椭圆的第二定义有PA+min = = A到右准线的距离.9、焦点PF1F2的旁心在直线 *=a 上。证明：令I与PF1F2三边所在的直线相切于M、N、A*yoF1F2PNIIA2IM 即为椭圆顶点。焦点PF1F2的旁心在直线 *=a 上10、P是椭圆上任意一点，PF2的延长线交右准线于E，K是准线上另一任意点，连结PK交椭圆于Q，则KF2平分EF2Q*yoF1F2EKQP证明：令P,Q到准线的距离为由三角形外角平分线性质定理有KF2平分EF2Q*yoFBA11、证明：令当的斜率存在时，设直线方程为=当的斜率存
4、在时，*yoFBAP12、AB是椭圆的任意一弦，P是AB中点，则定值证明：令 ，则，13、椭圆的短轴端点为B1、B2，P是椭圆上任一点，连结B1P、B2P分别交长轴于N、M两点，则有OM*ON =a2证明：*yoNMB2PB1 由于、共线 由于、N共线*yoFNA2PA1M14、椭圆的长轴端点为A1、A 2，P是椭圆上任一点，连结A1P、A2P并延长，交一准线于N、M两点，则M、N与对应准线的焦点角为900证明：令， 由于、共线 由于共线 M、N与对应准线的焦点角为900y*oM1F2AB15、过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦AB过该准线对应的焦点。证明：设则的方程为即 必过点16、椭圆
5、的光学性质：过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。证明：设，则过点的切线：，直线的法线交轴于直线的法向量为：y*oF1F2Plm同理 同理即过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。1F1F2P二、双曲线的几何性质均以 为例：1焦点三角形面积：F1F2PM*y2(2)、过作F1PF2的角平行线的重线垂足M的轨迹是F1F2Py*(3)(3)、以焦半径为直径作圆长的焦半径为直径作圆与切，小的圆与外切。F1F2Ay*(4)B(4)、以焦点为直径作圆与该焦点对应准线相交F1F2Py*(5)I(5)、焦点PF1F2的切圆心横生标为a即与实轴的切点一定是实轴端点6焦点弦为直径的圆被相应准线截得圆弧所对的圆
6、心角为定值M2arccosF1F2By*(6)CAMNF1F2Py*(7)A(7)、A为双曲线一定点P为双曲线上动点=+2aF1F2Py*(8)AB(8)、如图：A为双曲线一定点，P是双曲线上的动点，等于A到右准线的距离F1F2Py*(9)9、焦点到渐近线的距离等于bF1F2Py*(10)AB (10)、双曲线上的任上点到两渐近线的距离之积等于定值F1F2Py*(11)ABO11、P是弦AB中点KK定值12、P为双线上任一点过P点作两渐近线的平行线与渐近线围成的平行四边形面积等于定值abF1F2Py*(12)MONyF1F2PM*1312 (13)、过P的切线平分F1PF2光学性质即经过一焦点
7、的光线被双曲线反射，反射光线的下长线过另一焦点F1F2y*(14)14双曲线与渐近线把平面分成5局部双曲线上的点 渐近线上的点区域的点 区域的点区域的点过渐近线上的点除中心只能作一条切线，过中心无切线，没有与两支都相切的切线过区域的点作切线分别在两支上，过区域的点作切线切点在同一支上，过区域的点没切线，双曲线的切线斜率，区域、的点可作弦的中点，中心是任意过中心的弦的中点，渐近线上除中心，双曲线上，区域的点不可能是弦中点F1F2y*(15)ABDC15直线L与双曲线的渐近线交于A、B两点，与双曲线交于C、D两点，则AC=BD三、抛物线的几何性质均以抛物线*=-P/2Fy*AP(1) 如图：A为抛物线一定点，P是抛物线上的动点，等于A到准线的距离(2) 过抛物线焦点F作弦AB，其中A*1,y1,B*2,y2则有：*=-P/2Fy*AB以AB为直径的圆与准线相切3过抛物线顶点作任意互相垂直的弦OA、OB，则弦AB必过定点2p,0；反之亦成立，即过定点2p,0作直线交抛物线于A、B两点，则有OA垂直OBy*ABFy*PQR4过抛物线焦点F作直线交抛物线于P、Q两点，弦PQ的垂直平分线交抛物线的对称轴于R，则5过抛物线H上任一点P*0,Y0的切线方程为. z
圆锥曲线几何性质总汇
