最新浙江版高考数学一轮复习(讲练测)： 专题8.7 立体几何中的向量方法测

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1、 第07节 立体几何中的向量方法班级_ 姓名_ 学号_ 得分_一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1. 已知平面的法向量为，点不在内，则直线与平面的位置关系为ABC与相交不垂直D【答案】D【解析】，而点不在内，故2.【浙江省杭州市萧山区第一中学月考】若，且，则的值是（ ）A. 0 B. 1 C. -2 D. 2【答案】C3.【河南省信阳市期末】设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】因为，所以，即或.故选D.4.【福建省数学基地校】二面角的棱上有、两点，直线、分别在这个二面角的两个半

2、平面内，且都垂直于.已知， ， ， ，则该二面角的大小为()(A) (B) (C) (D) 【答案】C【解析】由条件知， ， .， ，二面角的大小为；故选C.5. 如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE.则M点的坐标为()A(1，1，1) B.C. D.【答案】C6. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1，AD2，P为C1D1的中点，M为BC的中点则AM与PM的位置关系为 ()A平行 B异面C垂直 D以上都不对【答案】C7. 已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A

3、. B.C. D.【答案】D【解析】因为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，所以(1,1,0)，(1,0,1)经验证，当n时，n00，n00，故选D.8. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1EA1D，AFAC，则()AEF至多与A1D，AC之一垂直BEFA1D，EFACCEF与BD1相交DEF与BD1异面【答案】B9. 已知长方体，下列向量的数量积一定不为的是 （ ）BACDA1B1C1D1A B C D【答案】D【解析】当侧面是正方形时可得=0，所以排除A.当底面ABCD是正方形时AC垂直于对角面.所以排除B.显然排除C.由图可得与B

4、C所成的角小于.故选D.10. 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为()Aa2 B.a2 C.a2 D.a2【答案】C11【20xx学山东省烟台市期末】在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，.若分别是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】以 为原点, 为 轴,在平面 中过作 的垂线为 轴,为 轴,建立空间直角坐标系, 在三棱柱 中,底面为正三角形,侧棱垂直底面,分别是棱上的点,且, ,设异面直线与所成角所成角为 ,则 .所以异面直线与所成角的余弦值为 .故选D.12.【甘肃西北师大附

5、中高三11月月考】已知等差数列的前n项和为，且，则过点和的直线的一个方向向量的坐标可以是（ ）A B(2，4) C D.（-1，-1）【答案】A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。）13【河北省定州中学高三上第二次月考】已知点在正方体的对角线上，在上，则与所成角的大小为_.【答案】14在三棱柱中，侧棱底面， ， ， ，若直线与直线的夹角的余弦值是，则棱的长度是_【答案】 【解析】如图建立坐标系设 ，则 15【河北省衡水中学押题卷】如图所示，在棱长为2的正方体中， ， 分别是， 的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于_【答案】16.【浙江省名校协作体高三上

6、学期考试】如图，棱长为的正方体的顶点在平面内，三条棱, , 都在平面的同侧. 若顶点, 到平面的距离分别为,，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为_【答案】【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设平面 的一个法向量为 ，设 令 可得 设， 解得 ； 则的法向量为由 得， ，平面 的法向量为，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）【贵州省黔东南州高三上第一次联考】如图所示，在四棱锥中，四边形为菱形， 为正三角形，且分别为的中点， 平面， 平面（1）求证： 平面；（2）求与平面所成角的正弦值【

7、答案】（1）见解析；（2）.试题解析：（1）证明：因为平面， 平面，所以，又平面平面，所以平面，由四边形菱形，得，所以平面（2）解：以为原点， 分别为轴建立空间直角坐标系，不妨设菱形的边长为2，则，则点，设平面的法向量为，则由，解得，不妨令，得；又，所以与平面所成角的正弦值为18（本小题满分12分）【湖北省部分重点中学高三起点】在如图所示的多面体中，四边形为正方形，底面为直角梯形， 为直角， ， ，平面平面.（）求证： ；（）若，求二面角的余弦值.【答案】()证明见解析；() .设，以所在直线分别为轴建立如图坐标系，则， ， ， ， ， ，.（2）由（1）知是平面的一个法向量，设是平面的法向量

8、， ， ，由，得，由，得，令，得，故是平面的一个法向量，即二面角的余弦值为.19. （本小题满分12分）【20xx课标3，理19】如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值.【答案】(1)证明略；(2) .【解析】（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则 由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面

9、ABC的距离的，即E为DB的中点，得 .故 20. （本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PA底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点（）求证：EF平面PAD；（）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角QAPD的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由【答案】（）见解析；（）满足条件的Q存在，是EF中点（）结论：满足条件的Q存在，是EF中点理由如下：如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，0），F（，1），由题易知平面PAD的法向量为=（0，1，0），假设存在Q满足条件

10、：设，0，1，设平面PAQ的法向量为，由，可得，由已知：，解得：，所以满足条件的Q存在，是EF中点21.（本小题满分12分）【20xx高考天津理数】如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.（I）求证：EG平面ADF；（II）求二面角O-EF-C的正弦值；（III）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.【答案】（）详见解析（）（）.（I）证明：依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以.（II）解：易证，为平面的一个法向量.依题意，.设为平面的法向量，

11、则，即 .不妨设，可得.因此有，于是，所以，二面角的正弦值为.（III）解：由，得.因为，所以，进而有，从而，因此.所以，直线和平面所成角的正弦值为.22. （本小题12分）【高考北京理数】如图，在四棱锥中，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，试题解析：（1）因为平面平面，所以平面，所以，又因为，所以平面；（2）取的中点，连结，因为，所以.又因为平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为，所以.如图建立空间直角坐标系，由题意得，.设平面的法向量为，则即令，则.所以.又，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）设是棱上一点，则存在使得.因此点.因为平面，所以平面当且仅当，即，解得.所以在棱上存在点使得平面，此时.