集合的含义与表示

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1、集合的含义与表示学案 (1)学习目标：（1） 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征；（2） 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系；（3） 掌握常用数集及其记法；学习内容：（一）集合的有关概念1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。2. 一般地，我们把研究对象统称为 元素（ element ），一些元素组成的总体叫集合（ set ），也简称集。3. 关于集合的元素的特征（1）确定性：设 A 是一个给定的集合， x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是 A 的元素，两种情况必有一种且只有

2、一种成立。（2）互异性：一个给定集合中的元素， 指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。（4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。4. 思考 1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1） 大于 3 小于 11 的偶数；（2） 我国的小河流；（3） 非负奇数；（4） 方程 x2 1 0的解；（5） 某校 2007 级新生；（6） 血压很高的人；（7） 著名的数学家；（8） 平面直角坐标系内所有第三象限的点（9） 全班成绩好的学生。5. 元素与集合的关系；（1）如果 a 是集合 A 的元素，就说

3、a 属于（ belong to ）A，记作： a A （2）如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于（ not belong to ）A，记作： a A例如，我们 A表示“ 120 以内的所有质数”组成的集合，则有 3 A4 A，等等。6集合与元素的字母表示：集合通常用大写的拉丁字母A，B，C 表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c, 表示。常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集） ，记作 N；*整数集，记作 Z；有理数集，记作Q；实数集，记作 R；（二）相关例题：例 1用“”或“”符号填空：（1）8 N ；（2）0 N ；（3）-3 Z；（4）2 Q；（5）设 A 为所有亚洲国

4、家组成的集合，则中国A ，美国A ，印度A，英国A。例 2已知集合 P 的元素为 1,m, m23m3 ,若 3P 且 -1P，求实数 m的值。集合的含义与表示学案 (2)学习目标：（1）了解集合的表示方法；（2）能正确选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；学习过程：一、复习回顾：集合和元素的定义；元素的三个特性；元素与集合的关系；常用的数集及表示。集合 1,2 、(1,2) 、(2,1) 、2,1 的元素分别是什么？有何关系二、新课学习（一）集合的表示方法我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还

5、常用列举法和描述法来表示集合。(1)列举法： 把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。如： 1 ，2， 3， 4， 5 ，x 2，3x+2，5y3-x ，x2 +y2 ， ；说明： 1集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。2各个元素之间要用逗号隔开；3元素不能重复；4 集合中的元素可以数，点，代数式等；5对于含有较多元素的集合， 用列举法表示时， 必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集用列举法表示为1,2,3,4,5,.例 1（课本例 1）用列举法表示下列集合：（1）小于 10 的所有自然数组成的集合；（2）方程 x2=

6、x 的所有实数根组成的集合；（3）由 1 到 20 以内的所有质数组成的集合；（4）方程组x2y0; 的解组成的集合。2xy0.思考 2：（课本 P4 的思考题）得出描述法的定义：（2）描述法： 把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号 内。具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般格式：xA p(x)如： x|x-32，(x,y)|y=x说明：1课本 P5 最后一段话；2+1 ，x 直角三角形 ， ；22描述法表示集合应注意集合的代表元素 ，如(x,y)|y=x +3x+2与 y|y=x2+3x

7、+2 是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如： x 整数 ，即代表整数集Z。辨析：这里的 已包含“所有”的意思，所以不必写 全体整数 。下列写法 实数集 ， R 也是错误的。例 2（课本例 2）试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程 x22=0 的所有实数根组成的集合；（2）由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合；（3）方程组xy3; 的解。xy1.说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（二）相关练习：用适当的方法表示集合：大于0 的所有奇数2集合A x|4Z，xN，

8、则它的元素是。x33已知集合Ax|-3x3，xZ ，B (x,y)|yx 2 +1，xA，则集合 B 用列举法表示是第一章集合集合的含义与表示一、选择题1下列各组对象接近于 0 的数的全体；比较小的正整数全体；平面上到点O的距离等于1 的点的全体；正三角形的全体； 2 的近似值的全体其中能构成集合的组数有( )A2 组B3 组C4 组D5 组2设集合 M 大于 0小于 1 的有理数 ，N 小于 1050的正整数 ，P 定圆 C的内接三角形 ，Q 所有能被 7 整除的数 ，其中无限集是 ( )A M、N、 PBM、P、 QC N、P、 QDM、N、 Q3下列命题中正确的是( )A x x2 2

9、0 在实数范围内无意义B (1 ， 2) 与 (2 ， 1) 表示同一个集合C 4 ， 5 与 5 ， 4 表示相同的集合D 4 ， 5 与 5 ， 4 表示不同的集合4直角坐标平面内， 集合 M ( x，y) xy 0，x R，y R 的元素所对应的点是()A第一象限内的点B第三象限内的点C第一或第三象限内的点D非第二、第四象限内的点5已知 M m m 2k，k Z ，X x x 2k 1， k Z ， Y y y 4k 1，k Z ，则( )A xy MB x y XC x y YD xyM6下列各选项中的M与 P 表示同一个集合的是()22A M x R x 0 ， P x x 0B M

10、( x， y) y x2 1， x R ，P ( x， y) x y21， xR C M y y t 21， t R ， P t t ( y1) 2 1， yRD M x x 2k， k Z ， P x x 4k 2， k Z二、填空题7由实数 x， x， x所组成的集合，其元素最多有_个8集合 3 ， x，x2 2x 中， x 应满足的条件是 _9对于集合 2 ， 4，6 ，若 ，则 6 ，那么a的值是 _Aa AaA10用符号或填空： 1_N， 0_N 3_Q，2 _R 1 _R，5 _Q， 3|_ N，3 _Z211若方程x2 mx n 0( m， n R) 的解集为 2， 1 ，则 m

11、_， n _12若集合 x2 (1)x0 中，仅有一个元素a，则a _， _A xabbxy113方程组 yz2 的解集为 _zx3集合14已知集合P 0 ， 1，2， 3， 4 ， Q x x ab，a， b P， a b ，用列举法表示Q _15用描述法表示下列各集合： 2 ，4， 6， 8， 10， 12_ 2 ，3， 4_ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 _ 3456716已知集合A 2， 1， 0， 1 ，集合 B x x y， y A ，则 B _三、解答题17集合A 有长度为1 的边及40的内角的等腰三角形 中有多少个元素？试画出这些元素来18设 A 表示集合 2 ， 3，

12、a2 2a 3 ， B 表示集合 a 3， 2 ，若已知 5 A，且 5 B，求实数 a 的值19实数集 A 满足条件： 1A，若 a A，则1A 1a(1) 若 2 A，求 A；(2) 集合 A 能否为单元素集？若能，求出A；若不能，说明理由；(3) 求证： 11A a20已知集合 xax23x 2 0 ，其中a为常数，且a RA若 A是空集，求 a 的范围；若 A中只有一个元素，求a 的值；若 A中至多只有一个元素，求a 的范围21用列举法把下列集合表示出来： A= xN |9N;99 x B=N | xN;9 x C y y x2 6， xN， y N ； D ( x， y) y x26， x N，y N ； E x |px, pq5, pN , qN*q22已知集合 px2 2( 1)x1 0， R ，求集合 y 2x 1， ApxByxA