广义积分的概念与计算实用教案

《广义积分的概念与计算实用教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广义积分的概念与计算实用教案（25页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 1、给出了反常积分(jfn)的概念。2、给出了反常(fnchng)积分的计算。3、给出了反常积分的敛散性判别(pnbi)方法。教学内容：教学重点:反常积分的概念；反常积分的判敛方法。要求:1、理解反常积分的概念。2、熟练掌握求反常积分的判敛方法，并会计算反常积分。本章内容、要求及重点第1页/共24页第一页，共25页。第一节 反常积分的概念(ginin)与计算1 无穷限的广义（反常(fnchng)）积分2 无界函数的广义（反常(fnchng)）积分3 小结第2页/共24页第二页，共25页。定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在区间在区间), a上连续，取上连续，取ab ，如果极限，如果极限

2、babdxxf)(lim存在，则称此极存在，则称此极限为函数限为函数)(xf在无穷区间在无穷区间), a上的广义积上的广义积分，记作分，记作 adxxf)(. . adxxf)( babdxxf)(lim当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散时，称广义积分发散. .一、无穷限的广义(gungy)积分第3页/共24页第三页，共25页。类似地，设函数类似地，设函数)(xf在区间在区间,(b上连续，取上连续，取ba ，如果极限，如果极限 baadxxf)(lim存在，则称此极存在，则称此极限为函数限为函数)(xf在无穷区间在无穷区间,(

3、b上的广义积上的广义积分，记作分，记作 bdxxf)(. . bdxxf)( baadxxf)(lim当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. .第4页/共24页第四页，共25页。 设函数设函数)(xf在区间在区间),(上连续上连续, ,如果如果广义积分广义积分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都收敛，则都收敛，则称上述两广义积分之和为函数称上述两广义积分之和为函数)(xf在无穷区间在无穷区间),(上的广义积分，记作上的广义积分，记作 dxxf)(. . dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaa

4、dxxf bbdxxf0)(lim极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散. .第5页/共24页第五页，共25页。例例1 1 计算计算(j sun)(j sun)广义积分广义积分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 第6页/共24页第六页，共25页。例例2 2 计算广义计算广义(gungy)(gungy)积分积分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx

5、211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 第7页/共24页第七页，共25页。例例 3 3 证证明明广广义义积积分分 11dxxp当当1 p时时收收敛敛，当当1 p时时发发散散.证证, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因此当因此当1 p时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为11 p；当当1 p时广义积分发散时广义积分发散.第8页/共24页第八页，共25页。例例 4 4 证证明明广广义义积积分分 apxdxe当当0 p时时收收敛敛，当当0

6、p时时发发散散.证证 apxdxe bapxbdxelimbapxbpe lim pepepbpablim 0,0,pppeap即即当当0 p时时收收敛敛，当当0 p时时发发散散.第9页/共24页第九页，共25页。定义定义 2 2 设函数设函数)(xf在区间在区间,(ba上连续，而在上连续，而在点点a的右邻域内无界取的右邻域内无界取0 ，如果极限，如果极限 badxxf )(lim0存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数)(xf在区间在区间,(ba上的广义积分，记作上的广义积分，记作 badxxf)(. . badxxf)( badxxf )(lim0当当极极限限存存在在时时，称称广广义

7、义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. .二、无界函数的广义(gungy)积分第10页/共24页第十页，共25页。类似地，设函数类似地，设函数)(xf在区间在区间),ba上连续，上连续，而在点而在点b的左邻域内无界的左邻域内无界. .取取0 ，如果极限，如果极限 badxxf)(lim0存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数)(xf在区间在区间),ba上的广义积分，上的广义积分，记作记作 badxxf)( badxxf)(lim0. .当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散

8、散. .第11页/共24页第十一页，共25页。设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上除除点点)(bcac 外外连连续续，而而在在点点c的的邻邻域域内内无无界界. .如如果果两两个个广广义义积积分分 cadxxf)(和和 bcdxxf)(都都收收敛敛，则则定定义义 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0否否则则，就就称称广广义义积积分分 badxxf)(发发散散. .定义中C为瑕点，以上积分(jfn)称为瑕积分(jfn).第12页/共24页第十二页，共25页。例例5 5 计算计算(j sun)(j sun)广义积分广义积分解

9、解).0(022 axadxa,1lim220 xaaxax 为为被被积积函函数数的的无无穷穷间间断断点点. axadx022 axadx0220lim aax00arcsinlim 0arcsinlim0aa .2 第13页/共24页第十三页，共25页。例例 6 6 证证明明广广义义积积分分 101dxxq当当1 q时时收收敛敛，当当1 q时时发发散散.证证, 1)1( q 101dxx 10ln x , , 1)2( q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq因此当因此当1 q时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为q 11；当当1 q时广义积分发散时广义积分发散. 101

10、dxxq第14页/共24页第十四页，共25页。例例7 7 计算广义计算广义(gungy)(gungy)积分积分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx 210lnlim xxdx 210ln)(lnlim xxd 210)ln(lnlim x )1ln(ln()2ln(lnlim0 . 故原广义积分(jfn)发散.第15页/共24页第十五页，共25页。例例8 8 计算广义计算广义(gungy)(gungy)积分积分解解.)1(3032 xdx1 x瑕点 3032)1(xdx 103132)1()(xdx 1032)1(xdx 10032)1(limxdx3 3132)1(xdx 31032

11、)1(lim xdx, 233 3032)1(xdx).21(33 第16页/共24页第十六页，共25页。无界函数的广义(gungy)积分（瑕积分）无穷限的广义(gungy)积分 dxxf)( bdxxf)( adxxf)( cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(（注意：不能忽略(hl)内部的瑕点） badxxf)(三、小结 作业：作业：P368 2 ;3(3)(6)(8);4(1)(2)(5); 6(1)(4);12. 第17页/共24页第十七页，共25页。思考题思考题积分(jfn) 的瑕点是哪几点？ 101lndxxx第18页/共24页第十八页，共25页。思考题解答思考题解答(j

12、id)积分(jfn) 可能的瑕点是 101lndxxx1, 0 xx1lnlim1 xxx, 11lim1 xx1 x不是(b shi)瑕点, 101lndxxx的瑕点是. 0 x第19页/共24页第十九页，共25页。一、一、 填空题：填空题：1 1、 广义积分广义积分 1pxdx当当_时收敛；当时收敛；当_时时发散；发散；2 2、 广义积分广义积分 10qxdx当当_时收敛；当时收敛；当_时发时发散；散；3 3、 广义积分广义积分 2)(lnkxxdx在在_时收敛； 在时收敛； 在_ 时发散；时发散； 4 4、广广义义积积分分 dxxx21= =_ _ _ _ _；练练 习习 题题第20页/

13、共24页第二十页，共25页。5 5、 广广义义积积分分 1021xxdx_ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、 广广义义积积分分 xdttf)(的的几几何何意意义义是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、 判判别别下下列列各各广广义义积积分分的的收收敛敛性性，如如果果收收敛敛，则则计计算算广广义义积积分分的的值值：1 1、 0coshtdtept )1( p； 2 2、 222xxdx ；3 3、 0dxexxn（为为自自然然数数n） ；4 4、 202)

14、1(xdx；第21页/共24页第二十一页，共25页。5 5、 211xxdx； 6 6、 022)1(lndxxxx；7 7、 10ln xdxn. .三、三、 求当求当为何值时为何值时k，广义积分，广义积分)()(abaxdxbak 收敛？又收敛？又为何值时为何值时k，这广义积分发散？，这广义积分发散？四、四、 已知已知 xxxxxf2,120,210,0)(，试用分段函数表示，试用分段函数表示 xdttf)(. .第22页/共24页第二十二页，共25页。一、一、1 1、1, 1 pp；2 2、1,1 qq； 3 3、1,1 kk；4 4、发散；、发散； 5 5、1 1； 6 6、过点、过点

15、轴轴平行于平行于 yx的直的直线左边线左边, ,曲线曲线)(xfy 轴轴和和 x所围图形的面积所围图形的面积 . .二、二、1 1、12 pp； 2 2、 ； 3 3、!n； 4 4、发散；、发散； 5 5、322； 6 6、0 0； 7 7、!)1(nn . .三、当三、当1 k时收敛于时收敛于kabk 1)(11； 当当1 k时发散时发散. .四、四、 xxxxxdttfx2,120,410,0)(2. .练习题答案练习题答案(d n)第23页/共24页第二十三页，共25页。感谢您的欣赏(xnshng)第24页/共24页第二十四页，共25页。NoImage内容(nirng)总结1、给出了反常积分的概念。第一节 反常积分的概念与计算。1 无穷限的广义（反常）积分。2 无界函数的广义（反常）积分。3 小结。第3页/共24页。定义中C为瑕点，以上积分称为(chn wi)瑕积分.。例8 计算广义积分。3(3)(6)(8)。4(1)(2)(5)。6(1)(4)。积分 的瑕点是哪几点。积分 可能的瑕点是。练 习 题。第23页/共24页第二十五页，共25页。