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1、2018届江西省莲塘一中、临川二中高三上学期第一次联考数学（文）试题一、单选题1设全集，集合，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】求解函数的值域可得： ，求解一元二次不等式可得： ，结合交集的定义可得： .本题选择C选项.2已知，且，则向量与向量的夹角为 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由向量垂直的充要条件可得： ，则： ,则： ，据此可得向量与向量的夹角为，可得向量与向量的夹角为，本题选择D选项.3已知集合，若，则实数的值是 （ ）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】由题意可得，集合B表示直线，即上的点除去点之外的点组成的集合，结合题意分类讨论：直线与
2、直线平行，则；直线过点，即： ；综上可得：实数的值是或.本题选择D选项.4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图所示，在棱长为的正方体中，点为棱的中点，则三视图对应的几何体为图中的四棱锥，则该几何体的体积为：.本题选择C选项.点睛： (1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解5九章算术有这样一个问题；今有女子善织，日增等尺，七日织三十五尺，第二日、第五日、第八
3、日所织之和为十八尺，问第六日所织尺数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得，该女子织布的尺数组成等差数列，且： ，利用等差数列的性质有： ，即，联立可得： ，则第六日所织尺数为.本题选择B选项.6在锐角中，角所对的边分别为，若，则的值为（ ）A. 或 B. C. D. 【答案】C【解析】由同角三角函数基本关系结合ABC为锐角三角形可得： ，结合余弦定理： ，结合三角形面积公式可得： ，代入式有： ，则： ，由可得，据此联立可得：.本题选择C选项.7已知定义域为R的偶函数的导函数为，当时， ，若，则的大小关系 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】构造新函数： ，
4、则： ，即函数在上单调递减，利用偶函数的性质可得：函数在上单调递增，结合： 可得： ，利用偶函数的性质有： ，即.本题选择B选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。8设函数，对任
5、意，若，则下列式子成立的是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】结合函数的解析式可得： ，且当， ，则：据此可得函数是区间上的偶函数，且在区间上单调递增，据此可得： .本题选择B选项.9已知，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得： ，据此结合均值不等式有：当且仅当时等号成立.综上可得： 的最小值是 .本题选择C选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误10若函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析
6、】结合可得函数单调递减，令，结合复合函数的单调性可得，函数单调递增，则，且在区间上恒成立，结合函数的单调性可得，当时： ，则，综上可得的取值范围是 .本题选择D选项.11已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】考查不等式，当时： ，则，当时： ，综上可得： ，则原问题等价于恒成立，令，则： 恒成立，分离参数有： ,结合二次函数的性质可得，当时， ，据此可得： 的取值范围是 .本题选择A选项.12已知函数 ，若方程在上有两个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】绘制分段函数的图象如图所示，原问题等价于该函数图象与过
7、原点的直线恰好有2个不同的实数根。考查临界条件：当直线过点时，直线的斜率为；当直线与曲线相切于点时，直线的斜率为；当直线过点时，直线的斜率为；据此可得：实数的取值范围是 .本题选择D选项.点睛： (1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求二、填空题13函数 的最大值是_.【答案】【解析】整理函数的解析式：据此可得，当时，函数取得最大值.14已知三棱锥的各顶点在一个表面积为的球面上，球心在上， 平面， ,则三棱锥的体积为_.【答案】【解析】如图所示,设球的半径为r,则，解得r=1.O
8、C2+OA2=2=AC2，OCOA.球心O在AB上，SO平面ABC，则三棱锥的底面积： ，三棱锥的体积： .故答案为： .点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.15在中，若，且，则_.【答案】【解析】由题意结合可知点O是ABC的垂心，则： ，设边AB的中点为D，如图所示，由于，则，结合平面向量数量积的定义有：.16已知函数，对不等式恒成立，则实数的取值范
9、围是_.【答案】【解析】由题意可得， ，则原问题即不等式恒成立，即函数的图象恒在过定点的直线非下方，绘制函数图象如图所示，考查临界条件：当时，直线恰好为函数的切线，由函数的解析式可得，则，结合图象可得实数的取值范围是.三、解答题17若函数的定义域不是，求实数的取值范围.【答案】.【解析】试题分析：原问题等价于：存在，使得成立，据此分类讨论三种情况可得实数的取值范围是.试题解析：要使得函数有意义，则存在，使得成立，当时等价于： 满足题意，即；当时， ，即；当时， ，即,综上所述： .18已知数列为单调等差数列，其中.（1）求数列的通项公式；（2）记，设的前项和为，求证：对任意恒成立.【答案】(1
10、) ；(2)证明见解析。【解析】试题分析：(1)由题意可得，结合题意得到关于公差的方程，解方程有，则数列的通项公式为；(2)结合(1)中求得的通项公式有： ，裂项求和有.试题解析：（1）由题意可得： ，设等差数列的公差为，则： ，即： ，解得： ，结合数列为单调数列可得： ，则数列的通项公式为： ，综上可得： ；（2）因为，据此裂项求和：.19在中，角所对的边分别为，满足：的外心在三角形内部（不包括边）；.（1）求的大小；（2）求代数式的取值范围.【答案】(1) .(2) .【解析】试题分析：(1)由题意利用余弦定理有，代入式整理可得,结合特殊角的三角函数可得.(2)由题意结合正弦定理和(1)
11、中的结论可得，结合锐角三角形的性质可得,结合三角函数的性质可得.试题解析：（1）因为的外心在三角形内部（不包括边），所以为锐角三角形，由余弦定理得： ，移项： ，代入可得 ，所以，即,因为为锐角三角形，所以，则有，所以.（2）由正弦定理得： ,因为，且，所以代入上式化简得：，又为锐角三角形，则有,所以，则有，即.20如图，四棱锥中, 分别为和的中点， 平面.（1）求证： 平面；（2）设经过点的平面与直线交于点，且满足平面平面，求的值.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析：(1)建立空间直角坐标系，结合平面向量数量积的运算结果可得， ，利用线面垂直的判断定理即可证得平面.(2)由
12、题意可得： 平面.求得平面的一个法向量.设，据此得到关于的方程，解方程可得.即.试题解析：（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，所以中点，则，则，所以，又平面，所以，由，所以平面.（2）由平面平面可得： 平面.设，则，则，设平面的一个法向量为， ，则：，则，令可得： .设，则：，若平面，则，解得： .即.21二次函数的图象过原点，对，恒有成立，设数列满足 .（1）求证：对，恒有成立；（2）求函数的表达式；（3）设数列前项和为，求的值.【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3)2018.【解析】试题分析：(1)左右两侧做差，结合代数式的性质可证得，即对，恒有： 成立；(2)由已知条件可设，
13、给定特殊值，令，从而可得： ，则， ，从而有恒成立，据此可知，则.(3)结合(1)(2)的结论整理计算可得： ，据此分组求和有： .试题解析：（1）（仅当时，取“=”）所以恒有： 成立；（2）由已知条件可设，则中，令，从而可得： ，所以，即，又因为恒成立，即恒成立，当时， ，不合题意舍去，当时，即，所以，所以.（3），所以，即.22已知函数 为定义在上的奇函数.（1）求函数的值域；（2）当时，不等式恒成立，求实数的最小值.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：(1)由题意结合奇函数的性质可得，据此函数的解析式为： ，(2)结合题意可得时， 仍然是奇函数，由题意可知在上单调递增，整理变形
14、后构造函数，问题转化为在上单调递减，结合均值不等式的结论可得实数的最小值为.试题解析：（1）因为的定义域为R上的奇函数，所以，即， ，（2）当时， 仍然是奇函数，则有： ，求导： 恒成立， 在上单调递增，令，则等价于：对任意恒成立，不妨设，则有，即，所以，构造函数，现只需在上单调递减，所以，即，因为，所以，当时，即时，取“=”，则有，所以实数的最小值为.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用
2018届江西省莲塘一中、临川二中高三上学期第一次联考数学（文）试题（解析版）
