2016-2017届甘肃省天水市甘谷一中高三（下）第四次月考数学试卷（理科）（解析版）

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1、2016-2017学年甘肃省天水市甘谷一中高三（下）第四次月考数学试卷（理科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1已知集合U=R（R是实数集），A=x|1x1，B=x|x22x0，则A（UB）=（）A1，0B1，2C0，1D（，12，+）2已知a，b为实数，则“a5b5”是“2a2b”的（）A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件3若复数z=（a24）+（a+2）i为纯虚数，则的值为（）A2B2iC2iDi4某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）AB1C2D45算法通宗是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍

2、加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”A3B4C5D66设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为（）A3B6C3D67已知，是非零向量且满足（2），（2），则与的夹角是（）ABCD8已知函数f（x）在（，2为增函数，且f（x+2）是R上的偶函数，若f（a）f（3），则实数a的取值范围是（）Aa1Ba3C1a3Da1或a39已知等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，若=100，则d的值为（）ABC10D2010已知函数f（x）=sin（x+）（0，|）

3、的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（）A关于点（，0）对称B关于直线x=对称C关于点（，0）对称D关于直线x=对称11已知数列an前n项和为，则S15+S22S31的值是（）A57B37C16D5712已知f（x）为函数f（x）的导函数，且，若，则方程有且仅有一个根时，a的取值范围是（）A1，+）B（，1C（0，1D（，0）1二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13若点A（1，1）在直线mx+ny3mn=0上，其中，mn0，则m+n的最小值为 14曲线在点处的切线的斜率为 15有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第

4、一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是 16已知函数f（x）=，若mn，且f（m）=f（n），则nm的取值范围是 三、解答题（本题共6道小题，第17题10分，18-22题各12分）17在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2cos2C=（1）求角C；（2）若边c=，a+b=3，求边a和b的值18已知数列an的前n项和为Sn，且（1）求数列an的通项an（2）设cn=（n+1）an，求数列cn的前n项和Tn19已

5、知函数f（x）=cos2（x+），g（x）=1+sin2x（1）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值（2）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间20已知函数f（x）=ax2（a+1）x+2（aR）（I）当a=2时，解不等式f（x）1；（）若对任意x1，3，都有f（x）0成立，求实数a的取值范围21已知数列an的前项n和为Sn，点（n，Sn）（nN*）均在函数f（x）=3x22x的图象上（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=是数列bn的前n项和，求使得2Tn2015对所有nN*都成立的实数的范围22已知函数f（x）=lnxx2+ax，（1）当x（1，+）时

6、，函数f（x）为递减函数，求a的取值范围；（2）设f（x）是函数f（x）的导函数，x1，x2是函数f（x）的两个零点，且x1x2，求证（3）证明当n2时，2016-2017学年甘肃省天水市甘谷一中高三（下）第四次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1已知集合U=R（R是实数集），A=x|1x1，B=x|x22x0，则A（UB）=（）A1，0B1，2C0，1D（，12，+）【考点】1H：交、并、补集的混合运算【分析】解不等式求出集合B，根据补集与并集的定义计算即可【解答】解：集合U=R（R是实数集），A=x|1x1，B=x|x22x0=x|0

7、x2，UB=x|x0或x2；A（UB）=x|x1或x2=（，12，+）故选：D2已知a，b为实数，则“a5b5”是“2a2b”的（）A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用函数y=x5，y=2x在R上单调递增即可得出【解答】解：由于函数y=x5，y=2x在R上单调递增，a5b5”ab“2a2b”“a5b5”是“2a2b”的充要条件故选：B3若复数z=（a24）+（a+2）i为纯虚数，则的值为（）A2B2iC2iDi【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】由复数z的实部为0且虚部不为0，求得a值，代入后利用复

8、数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：复数z=（a24）+（a+2）i为纯虚数，解得a=2=故选：C4某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）AB1C2D4【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由已知的三视图得到几何体是底面为俯视图，高为2的三棱锥，根据数据求体积【解答】解：由已知的三视图得到几何体是底面为俯视图，高为2的三棱锥，体积为=1；故选：B5算法通宗是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏

9、灯？”A3B4C5D6【考点】89：等比数列的前n项和【分析】设出塔顶灯的盏数，由题意可知灯的盏数自上而下构成等比数列，且公比为2，然后由等比数列的前7项和等于381列式计算即可【解答】解：由题意设塔顶有a盏灯，由题意由上往下数第n层就有2n1a盏灯，共有（1+2+4+8+16+32+64）a=381盏灯，即解得：a=3故选：A6设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为（）A3B6C3D6【考点】7C：简单线性规划【分析】先画出可行域，得到角点坐标再利用z的最大值为12，通过平移直线z=x+y得到最大值点A，求出k值，即可得到答案【解答】解：可行域如图：由得：A（k

10、，k），目标函数z=x+y在x=k，y=k时取最大值，即直线z=x+y在y轴上的截距z最大，此时，12=k+k，故k=6得B（12，6），目标函数z=x+y在x=12，y=6时取最小值，此时，z的最小值为z=12+6=6，故选B7已知，是非零向量且满足（2），（2），则与的夹角是（）ABCD【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角【分析】利用两个向量垂直，数量积等于0，得到=2 ，代入两个向量的夹角公式得到夹角的余弦值，进而得到夹角【解答】解：（），（），（）=2 =0，（）=2 =0， =2，设与的夹角为，则由两个向量的夹角公式得 cos=，=60，故选B8已知函数f（x）在（，2为增函数，且

11、f（x+2）是R上的偶函数，若f（a）f（3），则实数a的取值范围是（）Aa1Ba3C1a3Da1或a3【考点】3N：奇偶性与单调性的综合【分析】由f（x+2）是R上的偶函数求出图象的对称轴为x=2，从而由f（x）在（，2上是增函数，判断出f（x）在（2，+）上是减函数，由f（a）f（3），结合函数的单调性求出a的范围【解答】解：f（x+2）是R上的偶函数，f（x+2）=f（x+2）f（x）图象的对称轴为x=2，f（x）在（，2上是增函数，f（x）在（2，+）上是减函数，f（a）f（3），且f（3）=f（1），a1或a3，故选D9已知等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，若=100，则d的值

12、为（）ABC10D20【考点】8F：等差数列的性质【分析】=1000d，即可得出【解答】解：100=1000d，解得d=故选：B10已知函数f（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（）A关于点（，0）对称B关于直线x=对称C关于点（，0）对称D关于直线x=对称【考点】H2：正弦函数的图象【分析】由周期求出=2，故函数f（x）=sin（2x+），再根据图象向右平移个单位后得到的函数 y=sin（2x+是奇函数，可得=，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性【解答】解：由题意可得=，解得=2，故函数f（x）=sin（2

13、x+），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin2（x）+=sin（2x+是奇函数，又|，故=，故函数f（x）=sin（2x），故当x=时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）=sin（2x） 关于直线x=对称，故选：D11已知数列an前n项和为，则S15+S22S31的值是（）A57B37C16D57【考点】8E：数列的求和【分析】由已知直接求出S15、S22、S31的值，则答案可求【解答】解：，S15=37+（3151）=23，S22=311=33，S31=315+（3311）=47，S15+S22S31=233347=57故选：A12已知f（x）为函数f（x）的导函数，

14、且，若，则方程有且仅有一个根时，a的取值范围是（）A1，+）B（，1C（0，1D（，0）1【考点】6D：利用导数研究函数的极值；54：根的存在性及根的个数判断【分析】求导，令x=1，即可求得f（0），当x=0，代入f（x），即可求得f（1），求得f（x）的解析式，由题意可知：由函数y1=与函数y2=x+lnx图象可得，方程有且只有一个根时，则a的取值范围是a0或a=1【解答】解：由，求导f（x）=xf（0）+f（1）ex1，故f（1）=xf（0）+f（1），则f（0）=1，由f（0）=f（1）e1=1，则f（1）=e，故f（x）=x2x+ex，f（x）=x1+ex，g（x）=x2x+exx2+

15、x=ex，故方程， =x，两边取对数可得=x+lnx，由函数y1=与函数y2=x+lnx图象可得，方程有且只有一个根时，则a的取值范围是a0或a=1，当a1a时无交点，0a1时有两个交点故a的取值范围（，0）1，故选D二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13若点A（1，1）在直线mx+ny3mn=0上，其中，mn0，则m+n的最小值为【考点】7F：基本不等式【分析】点A（1，1）在直线mx+ny3mn=0上，m+n=3mn，又mn0，可得=3，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：点A（1，1）在直线mx+ny3mn=0上，m+n=3mn，又mn0， =3，m+n

16、=（m+n）=（2+）=，当且仅当n=m=取等号则m+n的最小值为故答案为：14曲线在点处的切线的斜率为【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先求出导函数，然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=处的导数，从而求出切线的斜率【解答】解：，f（x）=，x=时f（x）=故答案为15有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是丁【考点】F4：进行简单的合情推理【分析】若

17、甲猜对，则4号或5号选手得第一名，那么乙也猜对了，不符合题意，所以甲没猜对，得第一名的是1，2，3或6号，若乙猜对，则1，2或6号得了第一名，那么丙也猜对了，所以乙没有猜对，3号没有得第一，所以得第一的是3号，所以丙也没猜对，丁猜对了【解答】解：假设甲猜对，则乙也猜对了，所以假设不成立；假设乙猜对，则丙、丁中必有一人对，所以假设不成立；假设丙猜对，则乙一定对，假设不成立；假设丁猜对，则甲、乙、丙都错，假设成立，故答案为：丁16已知函数f（x）=，若mn，且f（m）=f（n），则nm的取值范围是32ln2，2）【考点】5B：分段函数的应用【分析】作出函数f（x）的图象如图：利用消元法转化为关于n

18、的函数，构造函数求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值即可得到结论【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：若mn，且f（m）=f（n），则当ln（x+1）=1时，得x+1=e，即x=e1，则满足0ne1，2m0，则ln（n+1）=m+1，即m=2ln（n+1）2，则nm=n+22ln（n+1），设h（n）=n+22ln（n+1），0ne1则h（n）=1=，当h（x）0得1ne1，当h（x）0得0n1，即当n=1时，函数h（n）取得最小值h（1）=1+22ln2=32ln2，当n=0时，h（0）=22ln1=2，当n=e1时，h（e1）=e1+22ln（e1+1）=1+e2=e12，则32

19、ln2h（n）2，即nm的取值范围是32ln2，2），故答案为：32ln2，2）三、解答题（本题共6道小题，第17题10分，18-22题各12分）17在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2cos2C=（1）求角C；（2）若边c=，a+b=3，求边a和b的值【考点】HS：余弦定理的应用【分析】（1）利用二倍角的余弦函数，以及三角形的内角和求出角C的余弦函数值（2）利用余弦定理求出a、b的方程，结合已知条件求解即可【解答】解（1）由 4sin2cos2C=，及A+B+C=180，得21cos（A+B）2cos2 C+1=，4（1+cosC）4cos2，c=5，即4cos2C4c

20、osC+1=0，（2cosC1）2=0，解得cosC=0C180，C=60（2）由余弦定理，得cosC=，cosC=， =，化简并整理，得（a+b）2c2=3ba，将c=，a+b=3代入上式，得ab=2则由，解得 或18已知数列an的前n项和为Sn，且（1）求数列an的通项an（2）设cn=（n+1）an，求数列cn的前n项和Tn【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式【分析】（1）利用数列的递推关系式通过SnSn1=an，推出数列的等比数列，然后求解通项公式（2）利用错位相减法求解数列的和即可【解答】解：（1）两式相减得SnSn1=2an2an1an=2an1，即数列an是等比数列，（2）

21、得=2n+1（n+1）2n+1=n2n+119已知函数f（x）=cos2（x+），g（x）=1+sin2x（1）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值（2）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间【考点】H6：正弦函数的对称性；H5：正弦函数的单调性【分析】（1）利用二倍角的余弦可求得f（x）= 1+cos（2x+），x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴2x0+=kg（x0）=1+sin（k），对k分k为偶数与k为奇数讨论即可求得g（2x0）的值；（2）利用三角函数间的恒等变换可求得h（x）=sin（2x+）+，再利用正弦函数的单调性，可得结论【解答】解：

22、（1）由题设知f（x）= 1+cos（2x+），x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，2x0+=k，即2x0=k（kZ），g（x0）=1+sin2x0=1+sin（k），当k为偶数时，g（x0）=1+sin（）=； 当k为奇数时，g（x0）=1+sin =（2h（x）=f（x）+g（x）= 1+cos（2x+）+1+sin2x= cos（2x+）+sin2x+=（cos2x+sin2x）+=sin（2x+）+当2k2x+2k，即kxk+（kZ），函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间是k，k+（kZ），20已知函数f（x）=ax2（a+1）x+2（aR）（I）当a=2时，解不等式

23、f（x）1；（）若对任意x1，3，都有f（x）0成立，求实数a的取值范围【考点】74：一元二次不等式的解法；3W：二次函数的性质【分析】（）a=2时，函数f（x）=2x23x+2，求不等式f（x）1的解集即可；（）讨论a=0与a0、a0时，函数f（x）在区间1，3上的最小值是什么，由此建立不等式求出a的集合即可【解答】解：（）a=2时，函数f（x）=2x23x+2，不等式f（x）1化为2x23x+10，解得x或x1；所以该不等式的解集为x|x或x1；（）由对任意x1，3，都有f（x）0成立；讨论：当a=0时，f（x）=x+2在区间1，3上是单调减函数，且f（3）=3+2=10，不满足题意；当a

24、0时，二次函数f（x）图象的对称轴为x=+，若+3，则a，函数f（x）在区间1，3上的最小值为f（+）0，即a26a+10，解得32a3+2，取a3+2；若+3，则0a，函数f（x）在区间1，3上的最小值为f（3）0，解得a，取a；当a0时，二次函数f（x）图象的对称轴为x=+，函数f（x）在区间1，3上的最小值为f（3）0，解得a，此时a不存在；综上，实数a的取值范围是a3+221已知数列an的前项n和为Sn，点（n，Sn）（nN*）均在函数f（x）=3x22x的图象上（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=是数列bn的前n项和，求使得2Tn2015对所有nN*都成立的实数的范围【考点】8

25、E：数列的求和；8I：数列与函数的综合【分析】（1）利用点（n，Sn）在函数f（x）=3x22x的图象上，得到，求出首项，判断数列是等差数列，然后求解通项公式（2）利用裂项消项法求出数列的和，然后结合不等式求出2016即可【解答】解：（1）点（n，S）在函数f（x）=3x22x的图象上，当n=1时，a1=S1=32=1当n2时， =6n5当n=1时，6n1=1符合（2），=2Tn1又2Tn2015对所有nN*都成立12015故201622已知函数f（x）=lnxx2+ax，（1）当x（1，+）时，函数f（x）为递减函数，求a的取值范围；（2）设f（x）是函数f（x）的导函数，x1，x2是函数f

26、（x）的两个零点，且x1x2，求证（3）证明当n2时，【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为即a2x恒成立，求出a的范围即可；（2）求出a，得到f（）=，问题转化为证明ln，令t=，0x1x2，0t1，即证明u（t）=+lnt0在0t1上恒成立，根据函数的单调性证明即可；（3）令a=1，得到lnxx2x，得到x1时，分别令x=2，3，4，5，n，累加即可【解答】（1）解：x（1，+）时，函数f（x）为递减函数，f（x）=2x+a0在（1，+）恒成立，即a2x恒成立，而y=2x在（1，+）递增，故2x1，故a1；（2）证

27、明：f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），方程lnxx2+ax=0的两个根为x1，x2，则 lnx1+ax1=0，lnx2+ax2=0，两式相减得a=（x1+x2），又f（x）=lnxx2+ax，f（x）=2x+a，则f（）=（x1+x2）+a=，要证0，即证明ln，令t=，0x1x2，0t1，即证明u（t）=+lnt0在0t1上恒成立，u（t）=，又0t1，u（t）0，u（t）在（0，1）上是增函数，则u（t）u（1）=0，从而知0，故f（）0成立；（3）证明：令a=1，由（1）得：f（x）在（1，+）递减，f（x）=lnxx2+xf（1）=0，故lnxx2x，x1时，分别令x=2，3，4，5，n，故+=1，+1，即左边11，得证2017年6月16日