历年高考理科数列真题汇编含答案解析

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1、WORD格式高考数列选择题局部2021全国 I 3等差数列 an前 9 项的和为 27，a10=8，那么 a100 =A100B 99C98D 972021*无穷等比数列an的公比为，前 n 项和为Sn，且n以下条qlim SS .n件中，使得 2SnS nN恒成立的是A a10,0.6q0.7 Ba10,0.7q0.6Ca10,0.7q0.8 Da10,0.8q0.72021*5.【题设】某公司为鼓励创新，方案逐年加大研发资金投入.假设该公司2021 年全年投入研发资金130 万元，在此根底上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，那么该公司全年投入的研发资金开场超过200 万元的年份是参考

2、数据： lg 1.12 0.05， lg 1.3 0.11， lg20.30（ A2021年 B2021年 C2021年 D2021 年5设 an是首项为正数的等比数列，公比为q，那么“q0是“对任意的正整2021*数 n， a2n- 1+a2n a1，那么G ( A)；学 .科网来源 学科网 3证明：假设数列A 满足an - an11 n=2,3,N,那么G ( A)的元素个数不小于aN- a1 .（ 2021*19.【题设】本小题总分值12分数列 an 的首项为1，Sn为数列 an 的前 n 项和，Sn 1qSn 1 ，其中q0，n N *.I 假设2a , a , a22 成等差数列，求

3、an的通项公式；23专业资料整理WORD格式(ii) 设双曲线x2y21 的离心率为 en，且e25，证明： e1e2en4n3nan233n 1.2021*(18) an是各项均为正数的等差数列，公差为 d ，对任意的nN,b n是 an和 an 1的等比中项.( )设cnbn21 bn2 ,nN *，求证：cn是等差数列；2nnn112 .( )设a1d ,Tnbn2 , n N* ，求证：1k 1k1 Tk2d（ 2021*18本小题总分值12分数列 an的前 n 项和 Sn=3n2+8 n，bn是等差数列，且 an bn bn 1.求数列 bn的通项公式；令 cn(an1)n 1. 求

4、数列cn的前 n 项和 Tn.(b2)nn（ 2021*20. 本小题总分值 16 分记 U1,2,，100 .对数列annN *和 U 的子集T，假设T, 定义ST0 ;假设Tt1 ,t2 ,，tk，定义STat1at2+atk.例 如 ：T = 1,3,66时 ，STa1 a3 +a66.现设annN *是公比为 3 的等比数列，且当T = 2,4时，ST =30 . 1求数列an的通项公式； 2对任意正整数k 1k100 ，假设 T1,2, ，k ，求证： STak 1；3设CU , DU ,SCSD ,求证：SCSC D2SD.2021*20.此题总分值15 分设数列n满足 anan

5、11， na2I 证明：an2n 1a1 2， n；专业资料整理WORD格式nII 假设an3，证明： an2 ，n， n210. 【2021 *高考， 20】本小题总分值 16 分设 a1 ,a2 , a3, a4是各项为正数且公差为d ( d0) 的等差数列（ 1证明：2a1,2a2,2a3, 2a4依次成等比数列；（ 2是否存在a1, d，使得a1, a22, a33, a44依次成等比数列，并说明理由；（ 3是否存在a1, d及正整数n,k，使得a1n, a2n k, a3n 2k, a4n 3k依次成等比数列，并说明理由 .11. 【2021 高考*，理20】数列a满足 a =1且

6、a= a -2 nN*n12n 1nan1证明： 1an2 n N *；an12设数列an2的前n项和为Sn，证明1Sn1 nN*.2(n 2)n2(n 1)12.【2021 高考*，理18】设数列an的前 n 项和为Sn.2Sn3n3 . I 求an的通项公式； II 假设数列bn满足anbnlog3an，求bn的前 n 项和Tn .13. 【2021 高考*，理18】设nN *，xn是曲线y x2n 21在点 (1，2) 处的切线与x轴交点的横坐标 .求数列 xn 的通项公式；记 Tn x12 x32x22n 1，证明 Tn1 .4n14.【2021 高考*，理18】本小题总分值13 分数

7、列 an满足an 2 qan (q为实数，且 q1)， nN *, a1 1,a22 ，且a2 + a3 , a3 +a4 , a4 +a5成等差数列.(I)求q的值和 an的通项公式；专业资料整理WORD格式(II)设bnlog 2 a2n, nN *，求数列bn的前n项和.a2 n 115.【2021 高考*，理22】在数列an中， a1 3,an 1 anan 1an20 nN 1假设0,2, 求数列an的通项公式； 2假设1k0N , k0 2 ,1, 证明： 211ak01211k03k02k016.【2021 高考*，理16】设数列 an的前n项和Sn2ana1，且 a1, a21

8、,a3成等差数列 . 1求数列 an的通项公式； 2记数列1的前 n 项和T，求得 |T 1|1成立的 n 的最小值 .nn1000an17. 【2021 高考*，理 18】设等差数列 an的公差为 d，前n项和为Sn，等比数列 bn的公比为 q b1a1，b22 ， qd ， S10100 求数列 an ， bn 的通项公式；当 d 1时，记 cnan，求数列 cn 的前n项和 Tnbn18. 【2021 高考*， 理 21】本小题总分值12 分设fnx是等比数列1，x，x2， ，xn的各项和，其中 x 0 ，n， n2 I 证 明 ： 函 数Fnxf n x2在1,1内 有 且 仅 有 一

9、 个 零 点 记 为 xn， 且2xn11 xnn 1；22 II设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别一样的等差数列，其各项和为gn x ，比较 fnx与 gn x 的大小，并加以证明19.【2021 高考新课标1，理 17】S为数列 a 的前n项和 . a 0，2an=4S 3.nnnann求 an 的通项公式；设 bn1, 求数列 bn 的前n项和 .an an 1专业资料整理WORD格式20.【2021 高考*，理21】数列an满足 a12a2nan4n n12 nN*，2(1)求 a3的值；(2)求数列an前 n 项和 Tn；(3)令 b1a1，bnTn 11111an n2，

10、证明：数列bn的前 n 项n23n和 Sn满足 Sn2 2 ln n 【2021 高考*，理22】数列an与 bn满足 an 1an2 bn1bn， n.1假设b3n 5 ，且a1 ，求数列an的通项公式；n12设a的第 n 项是最大项，即an0ann，求证：数列b的第 n 项是最大n0n0项； 3设a0 ，bnn n，求的取值X围，使得a有最大值与最小1n值 m ，且2, 2.m8. 【2021年*卷理20】( 本小题总分值13 分)数列 an 满足a11，| an1an |pn， nN * . 1假设 an是递增数列，且a1， 2a2，3a3成等差数列，求p 的值； 2假设p1，且 a2

11、n 1 是递增数列，是 a2n 递减数列，求数列 an 的通项公式.29. 【2021年全国大纲卷 18】本小题总分值 12 分等差数列 an 的前n项和为 Sn， a110 ， a2为整数，且 SnS4.1求 an的通项公式；2设bn1 的前n项和Tn.，求数列 bnanan 110. 【2021年*卷理 19】 ( 本小题总分值 12 分等差数列 an 的公差为2，前n项和为 S，且S， S， S成等比数列。n124I 求数列 an的通项公式；II 令bn = ( 1)n 14n , 求数列 bn 的前n项和 Tn。anan 1专业资料整理WORD格式11. 【2021年全国新课标理 17

12、】 ( 本小题总分值 12 分 ) 数列 an 的前n项和为Sn，专业资料整理WORD格式a1=1， an0 ， anan 1Sn1，其中为常数 .专业资料整理WORD格式( ) 证明：an 2an；专业资料整理WORD格式是否存在，使得 an 为等差数列？并说明理由.专业资料整理WORD格式高考数列选择题局部2021全国 1【答案】 C【解析】9a136d27试题分析：由，9d, 所以a18a1 1, d 1, a100 a1 99d199 98, 应选C.考点：等差数列及其运算2021*【答案】B（ 2021*答案】B（ 2021*【答案】C【解析】试题分析：由题意得，a2 n 1a2n0

13、a1 (q2n 2q2n 1 )0q2( n 1) (q1)0q(, 1) ，故是必要不充分条件，应选C.2021*【答案】A专业资料整理WORD格式【解析】 Sn表示点An到对面直线的距离设为hn乘以 Bn Bn 1长度一半，即Sn1Bn Bn 1，由题目中条件可知 Bn Bn 1的长度为定值， 那么我们需要知道hn的关系hn2式，过 A1作垂直得到初始距离h1，那么 A1 , An和两个垂足构成了等腰梯形，那么hnh1AnAn 1tan，其中为两条线的夹角，即为定值，那么Sn1 ( h1A1A ntan) Bn Bn 1， Sn 11 ( h1 A1 A n 1 tan) BnBn 1，作

14、差后：221Sn 1 Sn( An A n 1 tan ) Bn Bn 1，都为定值，所以Sn 1Sn为定值应选 A21. 【2021 高考*，理 2】 【答案】B【解析】由等差数列的性质得a62a4a22240 ，选B.2. 【2021 高考*，理 8】 【答案】 D【解析】由韦达定理得a bp ， a bq ，那么 a0, b0 ，当 a, b,2 适当排序后成等比数列时，2 必为等比中项，故a b q4， b42 必当适当排序后成等差数列时，4a4 是等差中项时，不是等差中项， 当 a 是等差中项时，2a2，解得a1，b 4 ；当aa82 ，解得a4， b1，综上所述，ab p5 ，所以

15、pq9，选Daa3. 【2021 高考，理 6】 【答案】 C【解析】先分析四个答案支，A 举一反例a12, a21, a34 ，a1a20 而a2 a30 ，A 错误，B 举同样反例a12, a21, a34 ，a1a30，而 a1a20 ，B 错误，下面针对C进展研究，an是等差数列，假设012，那么a0,设公差为d，aa1那么 d0 ，数列各项均为正，由于a22a1a5( a1d )2a1( a12d)a22d2a22d20 ，那么a2a aaa a ，选C.ada d11311111134. 【2021 高考*，理3】 【答案】 B.专业资料整理WORD格式1. 【2021年*卷理 0

16、2】 【答案】D【解析】设 an 公比为q，因为a6q3 ,a9q3，所以a3,a6, a9成等比数列，选择Da3a62. 【2021年全国大纲卷 10】 【答案】 C【解析】等比数列a n 中 a4=2，a5=5， a4a5=2 5=10，数列 lga n 的前 8 项和 S=lga 1+lga 2+ +lga 8=lg a1a2 a8 =lg a4a54 =4lg a4a5 =4lg10=4 应选： C5. 【2021年*卷理 03】 【答案】C【解析】由题意可得S3 a1 a2 a33a212，解得 a24，公差 d a2 a1422， a6 a15d25212，应选： C（ 2021全

17、国 I 【答案】64（ 2021*答案】4【解析】试题分析：要满足数列中的条件，涉及最多的项的数列可以为2,1, 1,0,0,0,，所以最多由4 个不同的数组成 .（ 2021【答案】6【解析】试题分析： a 是等差数列， aa2a0，a0，aa 3d6 ，d2 ，n354441 S6 6a1 15d6615(2)6 ，故填：6（ 2021*【答案】20.【解析】由 S510 得 a32 ，因此 22d(2d)23d3,a923620.专业资料整理WORD格式2021*【答案】11215. 【2021 高考*，理14】 答案】2n1【解析】由题意，a1a49，解得 a11,a48 或者 a18

18、,a41，而数列 an a2a3a1 a48是递增的等比数列，所以 a11,a48 ，即q3a48 ，所以 q2，因而数列 an的a1前 n 项和Sna1 (1qn )12nn1 .1q1226. 【2021 高考新课标2，理 16】【答案】1n【解析】由得 an 1Sn1SnSn 1Sn，两边同时除以 Sn 1Sn11，得Sn 11，Sn故数列1是以1为首项，1为公差的等差数列，那么11(n1)n ，所以SnSnSn1 n7. 【2021 高考*，理 10】【答案】10【解析】因为an是 等 差 数 列 ， 所 以 a3a7a4a6 a2 a8 2 a5，a3 a4 a5 a6 a75a5

19、25 即 a5 5 ，所以 a2 a82a510，故应填入 10 8. 【2021 高考*，理 13】【答案】 5【解析】设数列的首项为a1，那么 a12021 2 10102021，所以 a15 ，故该数列的首项为 5 ，所以答案应填：5 9. 【2021 *高考， 11】 【答案】20专业资料整理WORD格式11专业资料整理WORD格式3. 【2021年*卷理13】【答案】 50【解析】由题意得，a10 a11a9 a12a1a20e5，又an0 ， ln a1ln a2ln a20= ln( a1a2a20 ) = ln(a1a20 )10=10ln e5=50.4. 【2021年*卷理

20、07】【答案】 4【解析】根据等比数列的定义，a8a2q6 , a6a2 q4 , a4a2 q 2，所以由 a8a62a2得a2 q6a2q 42a2 q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q 2 ) 2q220 ，解得q22 ，a6a2 q41 2246. 【2021年*卷理11】【答案】-121【解析】依题意得 S222= a1(4a1- 6)，解得 a1 = -= S1S4，所以(2a1 - 1).27. 【2021年卷理12】【答案】 8【解析】由等差数列的性质可得a +a +a =3a 0， a 0，又 a +a =a +a 0， a 0，78988710899等差数列

21、a n 的前 8 项为正数，从第9 项开场为负数，等差数列a n 的前 8 项和最大，故答案为： 8高考数列简答题（ 2021全国 II 【答案】 b10 ， b111 ， b1012 ；1893.专业资料整理WORD格式考点：等差数列的的性质，前n 项和公式，对数的运算.（ 2021全国 III 【答案】 an1()n 1；1 11【解析】专业资料整理WORD格式考点： 1、数列通项an与前n项和为Sn关系； 2、等比数列的定义与通项及前n 项和为Sn（ 2021【答案】 1G ( A)的元素为2和5； 2详见解析； 3详见解析 .如果 Gi，取 mimin Gi，那么对任何 1k mi ,

22、 ak ani ami.从而 miG( A) 且 mini 1.又因为 n p是G ( A)中的最大元素，所以 Gp.专业资料整理WORD格式考点：数列、对新定义的理解.（ 2021*【答案】 an =qn - 1；详见解析.试题解析：由，Sn +1 = qSn + 1,Sn + 2 = qSn +1 + 1, 两式相减得到an+ 2 = qan+ 1 ,n 1.又由 S2 = qS1 + 1 得到 a2 = qa1，故an+ 1= qan对所有 n 3 1 都成立 .所以，数列 an 是首项为1，公比为q 的等比数列.从而 an =qn- 1.由 2a2，a3， a2 +2 成等比数列，可得

23、2a3 =3a2 + 2 ，即2q2=3q + 2,，那么 (2q + 1)(q -2)= 0，由 , q 0 ，故 q =2 .所以 an = 2n- 1 (n N* ) .由可知，an = qn- 1.2所以双曲线 x2 -y2 = 1的离心率en =1+ an2 =1+ q2( n- 1) .an由 q = 1 + q 2 = 5解得q =4 .332( k- 1)2( k - 1)2( k - 1) qk- 1*因为 1+q q，所以 1+q k N.专业资料整理WORD格式于是 e1 + e2 + 鬃en 1+q + 鬃qn - 1 =qn- 1，q - 1故 e1 + e2 + 鬃

24、 e34n- 3nn- 1.3考点：数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式.（ 2021*(18)【答案】详见解析详见解析考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和（ 2021*【答案】 bn3n1；Tn3n 2n 2.专业资料整理WORD格式由知c(6n6)n 13(n 1) 2n 1，n(3n3)n又 Tnc1 c2c3cn，得 Tn32223 234 24(n 1) 2n 1 ，2Tn32233 244 25(n 1) 2n 2 ，两式作差，得Tn3 22223242n 1(n1)2n 2 4(2n1)1) 2n 23 4(n213n 2n 2所以 Tn3n 2n 2考

25、点：数列前n 项和与第 n 项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法来源:学. 科 .网（ 2021*专业资料整理WORD格式【答案】 1an3n 12详见解析3详见解析来源:专业资料整理WORD格式3下面分三种情况证明.专业资料整理WORD格式假设D 是C的子集，那么SCSC DSCSDSDSD2SD.专业资料整理WORD格式假设C 是D的子集，那么SCSC DSCSC2SC2SD.专业资料整理WORD格式假设 D不是C的子集，且C不是D的子集.专业资料整理WORD格式考点：等比数列的通项公式、求和2021*【试题分析】 I 先利用三角形不等式得an1anan 11，再用an 11 ，变形为2n 12n22na1an1，进而可证 an2n 1a1 2； II 由 I 可得anam1，累加法可得2n2n2m2n 12m进而可得 an 232n，再利用m的任意性可证an 2 4专业资料整理WORD格式II任取 n，由 I 知，对于任意mn ，anamanan 1an 1an 2am 1am2n2m2n2n 12n 12n 22m 12m1112n2n 12m 11，2n 1故an1am2n2n 12m