2016-2017届云南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）（2）（解析版）

《2016-2017届云南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）（2）（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016-2017届云南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）（2）（解析版）（25页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、2016-2017学年云南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）（2）一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分）1设集合A=x|x27，Z为整数集，则集合AZ中元素的个数是（）A3B4C5D62在复平面内，复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3设xR，向量，且，则=（）ABC10D4高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教

2、室应在（）A2楼B3楼C4楼D8楼5函数的值域为（）ABC2，2D1，16如图所示的程序框图，若f（x）=logx，g（x）=lnx，输入x=2016，则输出的h（x）=（）A2016B2017Clog2016Dln20167在ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，A=，且bcosC=3ccosB，则的值为（）ABCD8函数f（x）的导函数f（x），对xR，都有f（x）f（x）成立，若f（2）=e2，则不等式f（x）ex的解是（）A（2，+）B（0，1）C（1，+）D（0，ln2）9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A50B50.5C51.5D6010用半径为R的圆铁皮

3、剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（）ABCD11设双曲线=1（a0，b0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=+（，R），=，则该双曲线的离心率为（）AB2CD12对于函数f（x）=，设f2（x）=ff（x），f3（x）=ff2（x），fn+1（x）=ffn（x），（nN*，且n2）令集合M=x|f2007（x）=x，xR，则集合M为（）A空集B实数集C单元素集D二元素集二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13若x，yR，

4、且满足则z=2x+3y的最大值等于14在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=5上有且仅有三个点到直线12x5y+c=0的距离为1，则实数c的值是15已知数列an为等比数列，Sn是它的前n项和设Tn=S1+S2+Sn，若a2a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则T6=16若，且sinsin0，则下列关系式：；+0；22；22其中正确的序号是：三、解答题（共70分）17（10分）已知数列an中，a1=4，an=an1+2n1+3（n2，nN*）（1）证明数列an2n是等差数列，并求an的通项公式；（2）设bn=，求bn的前n和Sn18（10分）如图所示的三棱台中，AA1平面ABC，AB

5、BC，AA1=1，AB=2，BC=4，ABB1=45（1）证明：AB1平面BCC1B1；（2）若点D为CC1中点，求二面角ABDC的余弦值19（10分）如图所示，小波从A街区开始向右走，在每个十字路口都会遇到红绿灯，要是遇到绿灯则小波继续往前走，遇到红灯就往回走，假设任意两个十字路口的绿灯亮或红灯亮都是相互独立的，且绿灯亮的概率都是，红灯亮的概率都是（1）求小波遇到4次红绿灯后，处于D街区的概率；（2）若小波一共遇到了3次红绿灯，设此时小波所处的街区与A街区相距的街道数为（如小波若处在A街区则相距零个街道，处在D，E街区都是相距2个街道），求的分布列和数学期望20（10分）已知抛物线C：y2=

6、2px（p0）过点A（1，m），B为抛物线的准线与x轴的交点，若|AB|=2（1）求抛物线的方程；（2）在抛物线上任取一点P（x0，y0），过点P作两条直线分别与抛物线另外相交于点M和点N，连接MN，若直线PM，PN，MN的斜率都存在且不为零，设其斜率分别为k1，k2，k3，求证：21（10分）已知函数f（x）=（x2axa）ex（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若a（0，2），对于任意x1，x24，0，都有恒成立，求m的取值范围选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知曲线C的参数方程：（为参数），曲线C上的点M（1，）对应的参数=，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建

7、立极坐标系，点P的极坐标是（，），直线l过点P，且与曲线C交于不同的两点A、B（1）求曲线C的普通方程；（2）求|PA|PB|的取值范围选修4-5：不等式选讲23设f（x）=|x+1|+|x|（xR）的最小值为a（1）求a；（2）已知p，q，r是正实数，且满足p+q+r=3a，求p2+q2+r2的最小值2016-2017学年云南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）（2）参考答案与试题解析一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分）1（2017清城区校级一模）设集合A=x|x27，Z为整数集，则集合AZ中元素的个数是（）A3B4C5D6【分析】先求出集合A，从而求出集合AZ，由此能求出

8、集合AZ中元素的个数【解答】解：集合A=x|x27=x|，Z为整数集，集合AZ=2，1，0，1，2，集合AZ中元素的个数是5个故选：C【点评】本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用2（2017清城区校级一模）在复平面内，复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内，复数对应的点的坐标，则答案可求【解答】解：=，在复平面内，复数对应的点的坐标为：（，），位于第二象限故选：B【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3（2017清城区校

9、级一模）设xR，向量，且，则=（）ABC10D【分析】向量的数量积先求出x的值，再求出向量的模即可【解答】解：向量，且，x2=0，解得x=2，=，故选：A【点评】本题考查了向量的垂直和向量的数量积和向量的模，属于基础题4（2017清城区校级一模）高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室应在（）A2楼B3楼C4楼D8楼【分析】同学们总的不满意度y=n+，由

10、此利用基本不等式能求出同学们认为最适宜的教室应在3楼【解答】解：由题意知同学们总的不满意度y=n+2=4，当且仅当n=，即23时，不满意度最小，同学们认为最适宜的教室应在3楼故选：B【点评】本题考查函数在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意基本不等式性质的合理运用5（2017清城区校级一模）函数的值域为（）ABC2，2D1，1【分析】通过两角差的余弦函数化简函数的表达式，利用两角差的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，求出函数的值域【解答】解：f（x）=sinxcos（x）=sinxcosxsinx=sinxcosx=sin（x）函数f（x）=sinxcos（x）的值域为

11、1，1故选：D【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的定义域和值域，考查计算能力，利用两角差的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式是关键，属于基础题6（2017清城区校级一模）如图所示的程序框图，若f（x）=logx，g（x）=lnx，输入x=2016，则输出的h（x）=（）A2016B2017Clog2016Dln2016【分析】根据程序框图求出h（x）的解析式即可【解答】解：x=2016时，f（x）=log2016g（x）=ln2016，故h（x）=f（x），故选：C【点评】本题考查了程序框图，考查对数函数的性质，是一道基础题7（2017清城区校级一模）在ABC中，A，B，C

12、所对的边分别是a，b，c，A=，且bcosC=3ccosB，则的值为（）ABCD【分析】利用余弦定理将角化边整理得出a，b，c的关系，再使用余弦定理消去a，得到关于b，c的方程，即可解出的值【解答】解：ABC中，A=，且bcosC=3ccosB，b=3c，即a2=2b22c2；又cosA=，b2+c2a2+bc=0，3c2b2+bc=0，即（）2+3=0，解得=或（不合题意，舍去），即的值为故选：B【点评】本题考查了三角函数的恒等变换以及余弦定理和一元二次方程的解法问题，属于中档题8（2017清城区校级一模）函数f（x）的导函数f（x），对xR，都有f（x）f（x）成立，若f（2）=e2，则不

13、等式f（x）ex的解是（）A（2，+）B（0，1）C（1，+）D（0，ln2）【分析】构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（ln2）=2，求得g（ln2）=1，继而求出答案【解答】解：xR，都有f（x）f（x）成立，f（x）f（x）0，于是有（ ）0，令g（x）=，则有g（x）在R上单调递增，不等式f（x）ex，g（x）1，f（2）=e2，g（2）=1，x2，故选：A【点评】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性9（2017清城区校级一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面

14、积为（）A50B50.5C51.5D60【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，AB平面BEFC，ABBC，BC=5，FC=2，AD=BE=5，DF=5几何体的表面积S=34+35+（5+2）4+（5+2）5+35=60故选：D【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键10（2017玉林一模）用半径为R的圆

15、铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（）ABCD【分析】设圆柱的高为x，则其为内接矩形的一边长，那么另一边长为y=2，利用导数性质求出当x=时，此圆柱体积最大由此能求出圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比【解答】解：设圆柱的高为x，则其为内接矩形的一边长，那么另一边长为y=2，圆柱的体积V（X）=y2x=（x3+4R2x），（0x2R），V（x）=（3x2+4R2），列表如下：x（0，）（，2R）V（x）+0当x=时，此圆柱体积最大圆柱体体积最大时，该圆内接矩形的两条边长分别为和2=，圆柱的体积最

16、大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为：=故选：C【点评】本题考查圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理应用11（2014蚌埠三模）设双曲线=1（a0，b0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=+（，R），=，则该双曲线的离心率为（）AB2CD【分析】由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由已知向量式可得+=1，=，解之可得的值，由=，可得a，c的关系，由离心率的定义可得【解答】解：双曲线的渐近线为：y=，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c

17、，），P（c，），因为=+所以（c，）=（+）c，（），所以+=1，=，解得：=，=，又由，得：，解得：，所以，e=，故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的离心率的求解，属中档题12（2012沈河区校级模拟）对于函数f（x）=，设f2（x）=ff（x），f3（x）=ff2（x），fn+1（x）=ffn（x），（nN*，且n2）令集合M=x|f2007（x）=x，xR，则集合M为（）A空集B实数集C单元素集D二元素集【分析】先验证前几个函数的表达式，找出同期再计算求值即可【解答】解：由题设可知f2（x）=，f3（x）=，f4（x）=x，f5（x）=，f6（x）=，f7（x）=f3

18、（x）=，故从f5（x）开始组成了一个以f（x）为首项，以周期为4重复出现一列代数式，由2007=3+5014得f2007（x）=f3（x），故=x整理得，x2=1，无解，故选A【点评】本题主要考查了函数的周期性，解题的关键是求函数的周期，同时考查了计算能力，属于基础题二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13（2017清新区校级一模）若x，yR，且满足则z=2x+3y的最大值等于15【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，3），化目标函数z=2

19、x+3y为y=x+，由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为23+33=15故答案为：15【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14（2017清新区校级一模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=5上有且仅有三个点到直线12x5y+c=0的距离为1，则实数c的值是【分析】由题意画出图形，把圆x2+y2=5上有且仅有三个点到直线12x5y+c=0的距离为1转化为原点到直线12x5y+c=0的距离为，再由点到直线的距离公式得答案【解答】解：如图，由题意可知，原点到直线12x5y+c=0的距离为由点到直线的距离公式可得：，c=故答案为：【点评

20、】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，是基础的计算题15（2016秋五华区月考）已知数列an为等比数列，Sn是它的前n项和设Tn=S1+S2+Sn，若a2a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则T6=160.5【分析】利用等比数通项公式及等差中项性质，列出方程组，由此能求出结果【解答】解：数列an为等比数列，Sn是它的前n项和设Tn=S1+S2+Sn，a2a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，解得，T6=16+=160.5故答案为：160.5【点评】本题考查等比数列的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列、等差数列的性质的合理运用16（2017清新区校级一模

21、）若，且sinsin0，则下列关系式：；+0；22；22其中正确的序号是：【分析】构造函数f（x）=xsinx，x，利用奇偶函数的定义可判断其奇偶性，利用f（x）=sinx+xcosx可判断f（x）=xsinx，x0，与x，0上的单调性，从而可选出正确答案【解答】解：令f（x）=xsinx，x，f（x）=xsin（x）=xsinx=f（x），f（x）=xsinx，x，为偶函数又f（x）=sinx+xcosx，当x0，f（x）0，即f（x）=xsinx在x0，单调递增；同理可证偶函数f（x）=xsinx在x，0单调递减；当0|时，f（）f（），即sinsin0，反之也成立，22故答案为【点评】本

22、题考查正弦函数的单调性，难点在于构造函数f（x）=xsinx，x，通过研究函数f（x）=xsinx，的奇偶性与单调性解决问题，属于难题三、解答题（共70分）17（10分）（2016秋五华区月考）已知数列an中，a1=4，an=an1+2n1+3（n2，nN*）（1）证明数列an2n是等差数列，并求an的通项公式；（2）设bn=，求bn的前n和Sn【分析】（1）利用已知条件转化推出是以2为首项，3为公差的等差数列，然后求解通项公式（2）化简bn=，然后利用错位相减法求和求解即可【解答】解：（1）证明：当n2时，又a1=4，a12=2，故是以2为首项，3为公差的等差数列，（2），=，令，则，得：，

23、=，【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力18（10分）（2016秋五华区月考）如图所示的三棱台中，AA1平面ABC，ABBC，AA1=1，AB=2，BC=4，ABB1=45（1）证明：AB1平面BCC1B1；（2）若点D为CC1中点，求二面角ABDC的余弦值【分析】（1）过点B1作B1NAB说明BNB1为等腰直角三角形，证明AB1BB1AA1BCABBC，推出BC平面ABB1A1，得到BCAB1，然后证明AB1平面BCC1B1（2）建立空间直角坐标系Axyz如图，求出平面ABD的一个法向量平面BCC1B1的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可【解答】（

24、1）证明：如图，过点B1作B1NABB1BN=45，故BNB1为等腰直角三角形，B1N=BN=1，AB1BB1又AA1平面ABC，AA1BC又ABBC，且ABAA1=A，BC平面ABB1A1，BCAB1，又BCBB1=B，AB1平面BCC1B1（2）解：如图，建立空间直角坐标系AxyzA（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），B1（1，0，1），C1（1，2，1），由（1）知，平面BCC1B1的一个法向量为设平面ABD的一个法向量为，则即令y=1，则，故二面角ABDC的余弦值为【点评】本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面镜的求法，考查空间想象能力以及

25、计算能力19（10分）（2016秋五华区月考）如图所示，小波从A街区开始向右走，在每个十字路口都会遇到红绿灯，要是遇到绿灯则小波继续往前走，遇到红灯就往回走，假设任意两个十字路口的绿灯亮或红灯亮都是相互独立的，且绿灯亮的概率都是，红灯亮的概率都是（1）求小波遇到4次红绿灯后，处于D街区的概率；（2）若小波一共遇到了3次红绿灯，设此时小波所处的街区与A街区相距的街道数为（如小波若处在A街区则相距零个街道，处在D，E街区都是相距2个街道），求的分布列和数学期望【分析】（1）设小波遇到4次绿灯之后处于D街区为事件A，则事件A共有三个基本事件，由此能求出小波遇到4次绿灯后，处于D街区的概率（2）可能的

26、取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出分布列和数学期望【解答】解：（1）设小波遇到4次红绿灯之后处于D街区为事件A，则事件A共有三个基本事件，即四次遇到的红绿灯情况分别为红红绿绿，绿红红绿，绿绿红红故（2）可能的取值为0，1，2，3，故分布列为：0123P【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一20（10分）（2016秋五华区月考）已知抛物线C：y2=2px（p0）过点A（1，m），B为抛物线的准线与x轴的交点，若|AB|=2（1）求抛物线的方程；（2）在抛物线上任取一点P（x0，y0），过点P作两条直线分别与

27、抛物线另外相交于点M和点N，连接MN，若直线PM，PN，MN的斜率都存在且不为零，设其斜率分别为k1，k2，k3，求证：【分析】（1）求出A的坐标，利用|AB|=2，求出p，即可求抛物线的方程；（2）求出M，N的坐标，确定相应的斜率，即可证明结论【解答】（1）解：，代入解得：p=2或p=14（舍去），所以抛物线的方程为y2=4x（2）证明：设点M（x1，y1），N（x2，y2），因为点P（x0，y0）在抛物线y2=4x上，所以，故直线PM的方程为，由得，此方程的两个根分别为y=y0，y=y1，同理可得，化简得，故，【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能

28、力，属于中档题21（10分）（2016秋五华区月考）已知函数f（x）=（x2axa）ex（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若a（0，2），对于任意x1，x24，0，都有恒成立，求m的取值范围【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；根据函数的单调性求出f（x）的最大值，问题转化为m（e2+1）恒成立，令g（x）=，x（0，2），根据函数的单调性求出m的范围即可【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=（x2x1）ex，f（x）=（x2+x2）ex，当f（x）=（x2+x2）ex0时，解得

29、x1或x2，函数单调递增，当f（x）=（x2+x2）ex0时，解得2x1，函数单调递减，f（x）在（，2），（1，+）上为增函数，在（2，1）上为减函数；（2）f（x）=（x+2）（xa）ex， a（0，2）时，f（x）在（4，2）上单调递增，在（2，0）单调递减，所以f（x）max=f（2）=（a+4）e2，f（4）=（3a+16）e4a=f（0），故|f（x1）f（x2）|max=|f（2）f（0）|=a（e2+1）+4e2，|f（x1）f（x2）|4e2+mea恒成立，即a（e2+1）+4e24e2+mea恒成立，即m（e2+1）恒成立，令g（x）=，x（0，2），易知g（x）在其定义域

30、上有最大值g（1）=，所以m【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）（2016秋五华区月考）已知曲线C的参数方程：（为参数），曲线C上的点M（1，）对应的参数=，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点P的极坐标是（，），直线l过点P，且与曲线C交于不同的两点A、B（1）求曲线C的普通方程；（2）求|PA|PB|的取值范围【分析】（I）由椭圆参数方程可得，解得a，b可得曲线C的参数方程，化为直角坐标方程，再利用x=cos，y=sin，可化为极坐标方程（II）写出直线l的参数方程，代入曲线C的

31、方程，利用根与系数的关系可得：|PA|PB|=t1t2，进而得出【解答】解：（I）由椭圆参数方程可得，解得a=，b=1曲线C的参数方程为，其直角坐标方程为：，可得2cos2+22sin2=2（II）点P的极坐标是（，）化为直角坐标为（0，），直线l的参数方程为，代入曲线C的方程可得：（1+sin2）t2+4sint+2=0，|PA|PB|=t1t2=1，2【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、椭圆的参数直角方程极坐标方程的互化及其应用、直线的参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题选修4-5：不等式选讲23（2016秋五华区月考）设f（x）=|x+1|+|x|（xR）的最小

32、值为a（1）求a；（2）已知p，q，r是正实数，且满足p+q+r=3a，求p2+q2+r2的最小值【分析】（1）分类讨论，求出函数的最小值，即可求a；（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）（ad+be+cf）2，即可求p2+q2+r2的最小值【解答】解：（1）x2时，f（x）=x12；2x0时，f（x）=x+1（1，2）；x0时，f（x）=x+11f（x）的最小值为1，即a=1；（2）由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）（p1+q1+r1）2=（p+q+r）2=32=9，即p2+q2+r23，p2+q2+r2的最小值为3【点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想