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1、东北三省三校2014届高三第一次高考模拟考试理 科 数 学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮
2、纸刀。第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合，则ARBCD2若复数z满足iz = 2 + 4i，则复数z =A2 + 4iB2 - 4iC4 - 2iD4 + 2i3在的二项展开式中，第二项的系数为A10B-10C5D-54执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：，则输出的函数是ABCD5直线m，n均不在平面，内，给出下列命题： 若mn，n，则m； 若m，则m； 若mn，n，则m； 若m，则m。其中正确命题的个数是A1B2C3D46等差数列的前n项和为Sn，若a2 + a4 + a6 = 12，则S7
3、的值是A21B24C28D77某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为ABCD8A0BCD9变量x，y满足约束条件若使z = ax + y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是ABCD10一个五位自然数，当且仅当a1 a2 a3，a3 a4 a5时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为A110B137C145D14611双曲线的右焦点为，以原点为圆心，c为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为A，若此圆在A点处切线的斜率为，则双曲线C的离心率为ABCD12已知函数，若存在k使得函数的值域是，则实数a的取值范围是ABCD
4、第II卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题 第24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13若向量a，b满足，且a与b的夹角为，则_。14若，则_。15正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为_。16已知数列的通项公式为，前n项和为Sn。若对于任意正整数n，不等式恒成立，则常数m所能取得的最大整数为_。三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比
5、小于1的等比数列，且。（1）求内角B的余弦值；（2）若，求ABC的面积18（本小题满分12分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，侧棱SA底面ABCD，且SA = 2，AD = DC = 1。（1）若点E在SD上，且AESD，证明：AE平面SDC；（2）若三棱锥SABC的体积，求面SAD与面SBC所成二面角的正弦值大小。19（本小题满分12分）某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：API空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失
6、S（单位：元）与空气质量指数API（记为）的关系式为：试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面22列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：P(K2 k0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计10020（本小题满分12分）椭圆的离心率为，且经过点。直线与椭圆M交于A，C两点，直线与椭圆M交于B
7、，D两点，四边形ABCD是平行四边形。（1）求椭圆M的方程；（2）求证：平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点D；（3）若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD面积的最小值。21（本小题满分12分）已知函数（e为自然对数的底数）。（1）求函数的单调区间；（2）设函数，存在函数，使得成立成立，求实数t的取值范围。请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。22（本小题满分10分）选修4 1：几何证明选讲如图，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，C是劣弧AB（不包括端点）上一点，直线PC交圆O于另一点D，Q在弦CD上，且DAQ =
8、PBC。求证：（1）；（2）ADQ DBQ。23（本小题满分10分）选修4 4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l经过定点，倾斜角为（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值。22（本小题满分10分）选修4 5：不等式选讲设函数。（1）求不等式的解集；（2）若关于x的不等式在上无解，求实数t的取值范围。2014年东北三省三校第一次高考模拟考试理科数学参考答案一、选择题题号123456789101112答案CCDADCDBBDAB二、填空题13141545三、解答题17解：() .2分 4分又因为 所以
9、.6分() .8分SADCBExyz又因为.10分所以.12分18()证明：侧棱底面，底面. .1分又底面是直角梯形，垂直于和,又侧面,.3分侧面平面.5分() 连结,底面是直角梯形，垂直于和,设，则，三棱锥,.7分如图建系，则,由题意平面的一个法向量为，不妨设平面的一个法向量为，,则,得，不妨令，则.10分,.11分设面与面所成二面角为，则.12分19解：（）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A1分由，得，频数为39，3分.4分（）根据以上数据得到如下列联表：非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100.8分K2的观测值
10、.10分所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关. .12分20解：（）依题意有，又因为，所以得故椭圆的方程为. 3分（）依题意，点满足所以是方程的两个根.得所以线段的中点为. 同理，所以线段的中点为.5分因为四边形是平行四边形，所以解得，或(舍).即平行四边形的对角线和相交于原点. 7分（）点满足所以是方程的两个根，即故.同理，. .9分又因为，所以，其中.从而菱形的面积为， 整理得，其中.10分故，当或时，菱形的面积最小，该最小值为. 12分 21 解：（）函数的定义域为R，.2分当时，当时，。在上单调递增，在上单调递减。.4分 （）假设存在，使得成立，则。 6分 当时，在上单调递减，即。.8分当时，在上单调递增，即。.10分当时，在，在上单调递减在，在上单调递增所以，即 由（）知，在上单调递减故，而，所以不等式无解综上所述，存在,使得命题成立. 12分22证明：（）连结.因为，所以.同理.又因为，所以，即. 5分（）因为，所以，即.故.又因为，所以. 10分23解：（）圆C：，直线l：.5分（）将直线的参数方程代入圆的方程可得，.8分设是方程的两个根，则，所以.10分24解：（）， 所以原不等式转化为 3分所以原不等式的解集为.6分（）只要，.8分由（）知解得或.10分
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