量子力学的态空间

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1、刘觉平.竝子力学讲义1-3.量子力学的态空间（Hilbert空间）与可观察量1右矢空间（ke（ space及其表象Stem-Gedach实验（和其它相关实验）告诉我们：a）存在复矢童空间（Hilbert空间），童子力学中的物理状态由Hilbert空间（字体： MonotypeCorsiva）41的一个态矢量如|d表示（称为右矢（ket）；当CH0时，p）和代表相同的物理状态，只有这个矢量的方向是有意义的。我们处理的其实是只冇方向、而 不能计其长短的射线（或称为ray欠杲），而不是既有方向、乂仃长度的矢杲。Z所以如此, 是因为在量fJj学屮不考虑粒子束的强度,即不考渥一个个单粒/（假定它们Z间没

2、仃相丸 作用）依次作用的纯粹的累加效应。b）任何可观测量A,例如门旋角动届或动届，都可以用一个作用于Hilbert空间的（线性） 算符表示；可观测量A某次的测量值是其本征值.三维Euclidian空间的基矢在三维Euclidian空间取一右旋正交坐标系S-x）0考虑绕z轴沿逆时针方向转&角的一个转动R. （&）,它在三维Euclidian空间町衣示为(cqsO -smO 0、/?：(&)= smQ cos。 0容易验证5/Q1/Q1/Q9R： (&)=严i/y2,R“)-i/y2=严-Z/V20=0.0 J丿可见，本征值方程=哦 令三个不同的本征值刘觉平.竝子力学讲义刘觉平.竝子力学讲义相应的

3、本征矢（零矢不是本征矢）分别为)/75、Hy2I 0 )5/迈、-Z/V2 0 ,X1Z刘觉平.竝子力学讲义刘觉平.竝子力学讲义式屮，g是坐标系S-xyz的3个坐标轴方向（基欠）。匕相互正交IWI（是单位欠磺）这里，我们得到的结果是：三维EudLdian空间的丛欠可山3x3矩阵（或称为算符）R:（6） 的本征値方程决定.R0）的不同本征值数忖的垠人置正好是空间维数的值，而属不同本 征值的本征矢相互止交，可归一化，从而构成整个空间的一组基欠。电子的自旋空间描述电子口旋的町观察彊可用三个口旋算符S.、S、和S一來描述，它们作用电子的口旋 空间(Hilbert空间)，由卜述本征值方程定义ss*,=土

4、新匕,土),Sv|Sv,) = |/?|Sy,),(13.1)|= 卯|，|土三|S：,士这个木征值方种的金义是：如果电子处j：s：的本征态|+川廣fi旋朝上，则在测看s：(例 如通过SG?装置)后，它的门旋仍然朝上，仍处r态+，余类推。本征值方程是线性方程: |+乘以任一非零复数都是方程5J+) = |a|+)的解.因此，可限制|土的模为1,而木征 值不同的本征矢I士是互斥(和互正交)的，按照Dirac记号法(见卜文)，可写为+|+= 1,+|_=0,_|+=0, (_|_) = 1(1.3.2)对照三维Euclidian空间皋欠的正交归一关系，可推知，|士可视为JUffi旋1/2系统Hil

5、ben 空间的正交归一基欠(这一组某欠习惯上被称为&表彖)。事实上，同一自旋1/2系统Hilbert空间的任一态矢都可以表示为|士的线性纽介，例如(1.3.3)都是从到X自(1.3.4)(1.3.5)匕；+)=扫(|+)+ 卜)，;-=令(|+)-卜),右矢空间(ket space)的表象一般而言，任何作用在Hilbert空间H中的可观察鼠或线性算符A,身的线性映射A:a)p = Aa9 V|a)%在吊子力学中，起币:耍作用的是算符A的不动点方程，即本征值方程也7宓式中，数q是本征值，态欠|0工0,被称为本征值为y.的本征矢。按照线性代数的理论必定存在个相互正交的归一本征欠,它们满足正交归一关

6、系划/, J = 1,2,-,/?( 1.3.6)这-组正交归一本征欠|y可视为Hilben空间的一组基欠，这一组基欠为|y被称为儿表象 在A-表象中，Hdbert空间中的任一欠最都町以按这组基欠展开刘觉平.筮子力学讲义刘觉平.筮子力学讲义a) = Hcia qwC(13.7)1=1此即线性空间的完备性条件。Hilbert空间可用4 表象貝体表示为H = 工4/) A|a,)= y I%J = 1,2,，川;c, g CI (1.3.8)./=!J2.左矢空间(bra space)与内积ket空间的对偶(bra空间)(1.3.9)式将Hilbert空间H表述为A表彖卜的ket空间，它是一个欠駅

7、空间。引入/ 个线性映射q|,i = l,2,/：a, |: t C01(|硝)三何|砒=j = 1,2, - ,n它们的任意线性组合(1将刃屮的任一ket1-1映射到复数空间c0*同10|(|卜丈啊何(闯卜士也ij-l sv=1如果两个矢量I和同满足何0=0,则这两个矢量相互正交。对于任何不为零矢量的1)=态欠心，可以如卜构造归一化矢(1.3.23)它满足归一化条件(注意：这里限J：考渥分离谱情形.即算符的木征值只取分立什h不取连 续值)(1.3.24)其中， I、被称为R的归-化常数。3. 算符的运算若X/|0)wH有Aa)=Ba)f则两算符A和B被称为相等,A=BO如果/同訥有Aa)=O

8、.则A是零算符，A = 0o可用态欠之间的加法來定义算符之间的加法。若对 中任一态矢冏有,Aa)+Ba)Ca)算符C被称为算符A与B之和，即C=A+B.显 然，算符的加法满足交换律和结介律:A+ B = B+ C A + (B + C) = (A + B) + C(1.3.25)可用两个相继变换的积來定义两算符的积若对屮任态矢仃，A(B|a)=C|a) 算符C被称为算符A与B之积，即C二因而白AB)a)= ABa)= A(Ba)(1.3.26)上述于续也可以对左欠空间施行。例如，我们冇aAB = (o A)B = (a | (AB)(1.3.27)般而言，算符之间的乘法不满足交换律,即ABBA

9、。但自然满足结合律(1.3.28)ABCA(BC) = (AB)C刘觉平虽了力学讲义对于任意的态矢I和|0以及任意的复数C。和0A(C Cfi 1) = CaAa)+CfiA(I)则算符A被称为是线性的；若A(cJ+C0|0)=c；A|+c；A|0(1.3.30)则算符A被称为是反线性的。时间反演算符就是反线性的。以后除卄:特别声明，我们一般 只讨论线性算符。对于算符|0何，有(|0何)| 力=|0何力(何屮)/=屮对任意的| 成工。定义外积作|0(4|叭4|04町 、10如闻划0何勺勺卜砂阀巧划“他閃/! /!(1.3.35) 可见,ketbra外积确实是一个算符(任意算符在某一表象卜都可用

10、矩阵表示,见卜文)。 在A-表象中有n nn4工工佃勺*勺卜工坷闻何(1.3.36)这被称为算符或矩阵的对角化。4. 算符的矩阵表示为了确定线性算符B对任意态欠的作用，只需确定它对J： Hilbeit空间中所冇基欠的作 用。任一基欠陆在算符B作用后成为Hilben空间屮某一态欠，后者可用Hilbert空间中的 基欠展开团4=工|勺坊（1337）J式中，B力是和应的展开系数，它是舁符B在所给泄的表象卜的“矩阵B的并矩阵尤。将 上式两边用|左乘，可得(1.3.38)由（1.3.37）式的对偶得划心讣；j或讣=工勺|（刃）；（1339）J这便是算符对左矢bm的作用。由J：在取定一组正交归一葺欠后，线

11、性算符可表示为矩阵, ket和bra可分别表示为列矩阵和行矩阵，我们应有结合律式中，A是线性算符。由此得划（恥=（何（叭）陆）此即B小B%或(叫P利用完备性关系工宓讣1i任一算符X可写为X辽a）aix|勺胸U久广佃X严何X冬=X厂JXqX12=a2X a2)(1.3.40)(1.3.41)(1.3.42)(1.3.43)刘觉平虽了力学讲义刘觉平虽了力学讲义例.如果x = p)a9 那么X+ = a)/.刘觉平 st子力学讲义证明：因为又W4加a冏加斗SK巾二也）创所以如果X =冏何,那么x+ = a)p.例2.对J * Hermitian算符X有(1.3.44)fiXa) = aX+py =

12、aXaXa) = aXay = real(1.3.45)刘觉平 st子力学讲义称aAa）为算符4在态|&的期望值或平均值。（13.45）式意味着Hermitian算符的期 望值总是实的.证明:（0|x|=0|（xp）=（aix+）|0）raix+|0y其中第二个等号用到了apy = fla）5. 若干定理定理1如果对于所有V(1.3.46)那么，対于所有惋、他）有刘觉平 st子力学讲义刘觉平 st子力学讲义(1.3.47)刘觉平 st子力学讲义4f = A故冇(1.3.48)现证明|州妙=仏|4恤升对于任意的a.be C与任意的|0,|0，令|0=4虫+列0real我们有令a = b = 1仔

13、|A|0+JA|0= |A|0+ |A|0联立以上两式有定理2 Henmtian算符的本征值全为实数。证明：令4|a)= aa)有&| 4 =引人+ = a* (a于是(aAa = a(Aa) = aaa), (aAaj=(aA)a)= (a|A+)|a)= a (aoc).由此得(a-a*)(a|a=o而何0工0所以有a = a定理3.属F不同本征值的本征矢和互正交。证明：设Aa= aa), A a)= a a由J：(a*| A = (af|A+ =列力有(a*| A|a)= (a*|(A|a) = a(a*|a),列4|a=(列 4)|q= ci a | a)因此(a-a)(aa)= 0如

14、果aa!.则列&=0刘觉平.虽子力学讲义刘觉平.虽子力学讲义定义:若算符A满足刘觉平.虽子力学讲义刘觉平.虽子力学讲义(1.3.49)以至的定义域(即使出0仃确定的定义的集介|0)l-jA+的定义域皿介，则称4为|1 伴(self-adjoint)算符。注意:若算符A仅满足 例A0=妙| A10，则称A为Henmtian 算符。口伴算符和Henmtian算符仅在无穷维欠赧空间才可能有差别。定理4(谱定理,Riesy-Sz. -Nagy 1955)s对丁每一个自伴算符A,存在唯一的投影算符组 E(2)(其中兄为实数)满足如下性质:1) 对r-A0 且 0 时有(久)10(3) 当时有 E(2)|

15、0tO(4) 当 2-co 时有 (兄)|0-|0|的推广i+a|-), |S/-)=令(|+)+列-), Sy；+= (|+)+c|-)，|S,；-)=(|+)+d|-).求待定系数a、b、c、do解：由所述限制可得l+ac*= l+ad= 1 + be = + bd* = 2,|a|2 = |/?|2 = |c|2 = p/|2 = 1, 1 + ab* = 1 + cd* = 0.其解为选取q = 0,=-式中，0的两种取值方式対应J：所用的三维坐标系的螺旋性，即是左手处标系还是右手朋 标系。后面将会讲到，角动最被定义为在右手坐标系中空间转动变换的产生子，这时有n（fly 匕2于是在二表

16、彖中6/ = 1, b = -l, c = i, d = -i由此容易得到门旋角动駅算符的表达式s* = g|s,+Xs*；+|-|s*；-）s,-|）=（|+X-|+|-）（+|）= : ,S厂号（；+）铠.；+卜舟一（S）,；一） = （一打+一| + 打一+|）=号；,（1.3.56） 1 V 7S再（I+X+H-冶卜霁：它们满足如卜刈易关系和反对易关系式中，.Sj,Sj = ihijkSk Sj,Sj =力埼A.B= AB-BA. A,8=AB+BA(1.3.57)定义S，三 = S： + S： + st(1.3.58)容易证明S2 = |/ ss=o(1.3.59)对自旋大r 1/2的情况，s不再是常数乘以单位算符，但后一式仍成亡。S+的物理意义思它使自旋z分最上升旅当自旋分晟不能再上升时，得到零欠鼠所以显定义升降算符S = l(Sx/Sv)在S： 表象中有S+三|+)(-|，5-=|-)(+|它们是非Hernntian算符。易知S+|-= #l+，S+|+= 0；S.|-=0,S+=訓一(1.3.60)(1.3.61)(1.3.62)被称作上升算符。同样，s_使门旋z分届卜降力：当fl旋分鼠不能再卜降时.得到零矢鼠。