最新高考数学文科压轴大题突破练函数与导数【1】含答案
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1、 压轴大题突破练函数与导数(一)1已知f(x)x3ax2a2x2.(1)若a1,求曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若a0,求函数f(x)的单调区间;(3)若不等式2xln xf(x)a21恒成立,求实数a的取值范围解(1)a1,f(x)x3x2x2,f(x)3x22x1,kf(1)4,又f(1)3,切点坐标为(1,3),所求切线方程为y34(x1),即4xy10.(2)f(x)3x22axa2(xa)(3xa),由f(x)0得xa或x.当a0时,由f(x)0,得ax0,得x,此时f(x)的单调递减区间为(a,),单调递增区间为(,a)和(,)当a0时,由f(x)0,得x0,
2、得xa,此时f(x)的单调递减区间为(,a),单调递增区间为(,)和(a,)综上:当a0时,f(x)的单调递减区间为(a,),单调递增区间为(,a)和(,)当a0时,f(x)的单调递减区间为(,a),单调递增区间为(,)和(a,)(3)依题意x(0,),不等式2xln xf(x)a21恒成立,等价于2xln x3x22ax1在(0,)上恒成立,可得aln xx在(0,)上恒成立,设h(x)ln x,则h(x).令h(x)0,得x1,x(舍),当0x0;当x1时,h(x)0,因此h(x)在0,1上是增函数,故h(x)h(0)0,所以f(x)1x,x0,1要证x0,1时,(1x)e2x,只需证明e
3、xx1.记K(x)exx1,则K(x)ex1,当x(0,1)时,K(x)0,因此K(x)在0,1上是增函数,故K(x)K(0)0.所以f(x),x0,1综上,1xf(x),x0,1(2)解f(x)g(x)(1x)e2x(ax12xcos x)1xax12xcos xx(a12cos x)(由(1)知)故G(x)2cos x,则G(x)x2sin x.记H(x)x2sin x,则H(x)12cos x,当x(0,1)时,H(x)0,于是G(x)在0,1上是减函数从而当x(0,1)时,G(x)3时,f(x)g(x)在0,1上不恒成立f(x)g(x)1ax2xcos xax2xcos xx(a2co
4、s x)(由(1)知)记I(x)a2cos xaG(x),则I(x)G(x),当x(0,1)时,I(x)3时,a30,所以存在x0(0,1),使得I(x0)0,此时f(x0)0.设两曲线yf(x),yg(x)有公共点,且在该点处的切线相同(1)用a表示b,并求b的最大值;(2)求证:f(x)g(x)(1)解f(x)x2a,g(x),由题意知f(x0)g(x0),f(x0)g(x0),即由x02a,得x0a或x03a(舍去)即有ba22a23a2ln aa23a2ln a.令h(t)t23t2ln t(t0),则h(t)2t(13ln t)于是当t(13ln t)0,即0t0;当t(13ln t
5、)时,h(t)0),则F(x)x2a(x0)故F(x)在(0,a)上为减函数,在(a,)上为增函数于是F(x)在(0,)上的最小值是F(a)F(x0)f(x0)g(x0)0.故当x0时,有f(x)g(x)0,即当x0时,f(x)g(x)4已知f(x)x23x1,g(x)x.(1)a2时,求yf(x)和yg(x)的公共点个数;(2)a为何值时,yf(x)和yg(x)的公共点个数恰为两个解(1)由得x23x1x,整理得x3x2x20(x1)令yx3x2x2,求导得y3x22x1,令y0,得x11,x2,故得极值点分别在1和处取得,且极大值、极小值都是负值故公共点只有一个(2)由得x23x1x,整理得ax3x2x(x1),令h(x)x3x2x,联立对h(x)求导可以得到极值点分别在1和处,画出草图,如图,h(1)1,h(),当ah(1)1时,ya与yh(x)仅有一个公共点(因为(1,1)点不在yh(x)曲线上),故a时恰有两个公共点
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