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1、5.4平面向量应用举例最新考纲考情考向分析1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题.1向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直问题数量积的运算性质abab0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a
2、，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos (为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|，其中a(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题2向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体3向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题知识拓展1若G是ABC的重心，则0.2若直线l的
3、方程为AxByC0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(B，A)与直线l平行题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若，则A，B，C三点共线()(2)在ABC中，若0)，则其准线方程为x.曲线E的方程可化为(x3)2(y2)216，则有34，解得p2，所以抛物线M的方程为y24x，F(1,0)设A，则，所以y4，解得y02.所以点A的坐标为(1,2)或(1，2)题型一向量在平面几何中的应用典例 (1)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若1，则AB_.答案解析在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则，又，()22|2|cos 60|21|21
4、.|0，又|0，|.(2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A内心 B外心 C重心 D垂心答案C解析由原等式，得()，即()，根据平行四边形法则，知是ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过ABC的重心引申探究本例(2)中，若动点P满足，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的_答案内心解析由条件，得，即，而和分别表示平行于，的单位向量，故平分BAC，即平分BAC，所以点P的轨迹必过ABC的内心思维升华 向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点
5、与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解跟踪训练 (1)在ABC中，已知向量与满足0，且，则ABC为()A等边三角形 B直角三角形C等腰非等边三角形 D三边均不相等的三角形答案A解析，分别为平行于，的单位向量，由平行四边形法则可知为BAC的平分线因为0，所以BAC的平分线垂直于BC，所以ABAC.又cosBAC，所以cosBAC，又0BAC，故BAC，所以ABC为等边三角形(2)(2017长沙长郡中学临考冲刺训练)如图，在平行四边形ABCD中，AB1，AD2，
6、点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则等于()A. B C. D答案A解析取HF的中点O，则2212，2212，因此，故选A.题型二向量在解析几何中的应用典例 (1)已知向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，且A，B，C三点共线，当k0时，若k为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为_答案2xy30解析(4k，7)，(6，k5)，且，(4k)(k5)670，解得k2或k11.由k0.所以cos B，又B(0，)，所以B.(2)因为|，所以|.即b，根据余弦定理及基本不等式，得6a2c2ac2acac(2)ac(当且仅当ac时取等号)，即ac3(2)，故ABC的面积S
7、acsin B，即ABC的面积的最大值为.13已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足， (0，)，则()A动点P的轨迹一定通过ABC的重心B动点P的轨迹一定通过ABC的内心C动点P的轨迹一定通过ABC的外心D动点P的轨迹一定通过ABC的垂心答案D解析由条件，得，从而0，所以，则动点P的轨迹一定通过ABC的垂心14(2018北京市丰台区二模)已知O为ABC的外心，且.(1)若C90，则_；(2)若ABC60，则的最大值为_答案(1)(2)解析(1)若C90，则O为AB边的中点，即，0，故.(2)设ABC的三边长分别为a，b，c，因为O为ABC的外心，且，所以即化
8、简得解得则.15(2018台州一模)已知共面向量a，b，c满足|a|3，bc2a，且|b|bc|.若对每一个确定的向量b，记|bta|(tR)的最小值为dmin，则当b变化时，dmin的最大值为()A. B2 C4 D6答案B解析固定向量a(3,0)，则b，c向量分别在以(3,0)为圆心，r为半径的圆上的直径两端运动，其中，a，b，c，如图，易得点B的坐标B(rcos 3，rsin )，因为|b|bc|，所以OBBC，即(rcos 3)2r2sin24r2，整理为r22rcos 30，可得cos ，而|bta|(tR)的最小值为dmin，即dminrsin 2，所以dmin的最大值是2，故选B.16(2018宁德质检)已知在ABC中，ABAC，BAC90，边AB，AC的长分别为方程x22(1)x40的两个实数根，若斜边BC上有异于端点的E，F两点，且EF1，EAF，则tan 的取值范围为()A. B.C. D.答案C解析由题意可知AB2，AC2，BC4.建立如图所示的坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(0,2)设，则F(22，2)，E.所以(22，2)34342122316243162.因为点A到BC边的距离d，所以AEF的面积SAEF|EF|为定值所以tan ，故tan ，故选C.19
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