【创新设计】2015高考数学（苏教文）一轮配套文档：第6篇 第1讲 数列的概念与简单表示法

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1、第1讲数列的概念与简单表示法知 识 梳 理1数列的通项公式(1)定义：如果数列an的第n项an与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做数列的通项公式，记为anf(n)(nN*)数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示(2)数列的递推公式：如果已知数列的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的一种方法2数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1an其中nN递减数

2、列an1an常数列an1an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|M摆动数列an的符号正负相间，如1，1,1，1，3.数列前n项和Sn与通项an的基本关系已知Sn，则an辨 析 感 悟1对数列概念的认识(1)数列1,2,3,4,5,6与数列6,5,4,3,2,1表示同一数列()(2)1,1,1,1，不能构成一个数列()2对数列的性质及表示法的理解(3)(教材练习改编)数列1,0,1,0,1,0，的通项公式，只能是an.()(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列()(5)(2013开封模拟改编)已知Sn3n1，则an23n1.()感悟提升1一个区别“数列”与“数集”数列与数集都是具有

3、某种属性的数的全体，数列中的数是有序的，而数集中的元素是无序的，同一个数在数列中可以重复出现，而数集中的元素是互异的，如(1)、(2)2三个防范一是注意数列不仅有递增、递减数列，还有常数列、摆动数列，如(4)二是数列的通项公式不唯一，如(3)中还可以表示为an三是已知Sn求an时，一定要验证n1的特殊情形，如(5)考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1,7，13,19，；(2)，；(3)，2，8，；(4)5,55,555,5 555，.解(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比

4、它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an(1)n(6n5)(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为13,35,57,79,911，每一项都是两个相邻奇数的乘积知所求数列的一个通项公式为an.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察即，从而可得数列的一个通项公式为an.(4)将原数列改写为9，99，999，易知数列9,99,999，的通项为10n1，故所求的数列的一个通项公式为an(10n1)规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符

5、号特征应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想【训练1】 根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)，；(2)，1，.解(1)各项的分母分别为21,22,23,24，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为，原数列可化为，因此可得数列的一个通项公式为an(1)n.(2)将数列统一为，对于分子3,5,7,9，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn2n1，对于分母2,5,10,17，联想到数列1,4,9,16，即数列n2，可得分母的通项公式为cnn21，因此可得数列的一个通项公式为an.考点二由an与Sn的关系求通项an【例2】 (2012广东卷)

6、设数列an的前n项和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn，满足Tn2Snn2，nN*.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式解(1)令n1时，T12S11，T1S1a1，a12a11，a11.(2)n2时，Tn12Sn1(n1)2，则SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22(SnSn1)2n12an2n1.因为当n1时，a1S11也满足上式，所以Sn2an2n1(n1)，当n2时，Sn12an12(n1)1，两式相减得an2an2an12，所以an2an12(n2)，所以an22(an12)，因为a1230，所以数列an2是以3为首项，公比为2的等比数列所以an232n1，an32n12

7、，当n1时也成立，所以an32n12.规律方法 给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.【训练2】 (1)已知数列an的前n项和Sn3n22n1，则其通项公式为_(2)已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn_.解析(1)当n1时，a1S13122112；当n2时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5.显然当n1时，不满足上式，故数列的通项公式为an(2)Sn2an1，当n2时，Sn12an，anSnSn12an12an(

8、n2)，即(n2)，又a2，ann2(n2)当n1时，a111，anSn2an12n1n1.答案(1)an(2)n1考点三由递推公式求数列的通项公式【例3】 在数列an中，(1)若a12，an1ann1，则通项an_；(2)若a11，an13an2，则通项an_.审题路线(1)变形为an1ann1用累加法，即ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)得出an.(2)变形为an113(an1)再变形为用累乘法或迭代法可求an.解析(1)由题意得，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(23n)21.又a121，符合上式，因此an1.(2)an13an2，即an113(an

9、1)，即3，法一3，3，3，3.将这些等式两边分别相乘得3n.因为a11，所以3n，即an123n1(n1)，所以an23n11(n2)，又a11也满足上式，故an23n11.法二由3，即an113(an1)，当n2时，an13(an11)，an13(an11)32(an21)33(an31)3n1(a11)23n1，an23n11；当n1时，a1123111也满足an23n11.答案(1)1(2)23n11规律方法 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公

10、式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项【训练3】 设an是首项为1的正项数列，且(n1)anaan1an0(n1,2,3，)，则它的通项公式an_.解析(n1)aan1anna0，(an1an)(n1)an1nan0，又an1an0，(n1)an1nan0，即，an.答案1求数列通项或指定项，通常用观察法(对于交错数列一般用(1)n或(1)n1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法2由Sn求an时，an注意验证a1是否包含在后面an的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含an与

11、Sn的关系的数列题均可考虑上述公式3已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握一般有三种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“an1panq”这种形式通常转化为an1p(an)，由待定系数法求出，再化为等比数列；(3)利用累加、累乘法或迭代法可求数列的通项公式思想方法5用函数的思想解决数列问题【典例】 数列an的通项公式是ann2kn4.(1)若k5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值(2)对于nN*，都有an1an.求实数k的取值范围解(1)由n25n40，解得1n4.nN*，n2,3.数列中有两项是负数，即为a2，a3.ann25n

12、42，由二次函数性质，得当n2或n3时，an有最小值，其最小值为a2a32.(2)由an1an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式ann2kn4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到nN*，所以，即得k3.反思感悟 (1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N*上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k的取值范围，使问题得到解决(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取(3)易错分析：本题易错答案为k2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数【自主体验】1设an3n215n18，则数列an中的最大项的值是_解析a

13、n32，由二次函数性质，得当n2或3时，an最大，最大为0.答案02已知an是递增数列，且对于任意的nN*，ann2n恒成立，则实数的取值范围是_解析设f(n)ann2n，其图象的对称轴为直线n，要使数列an为递增数列，只需使定义在正整数上的函数f(n)为增函数，故只需满足，即3.答案(3，)基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1在数列an中，an1an2an，a12，a25，则a6的值是_解析由an1an2an，得an2an1an，a3a2a13，a4a3a22，a5a4a35，a6a5a43.答案32若Sn为数列an的前n项和，且Sn，则_.解析当n2时，anSnSn1，5(51)

14、30.答案303在数列an中，a12，an1ann1，则通项an_.解析由an1ann1，可得anan1n，an1an2n1，an2an3n2，a3a23，a2a12，以上n1个式子左右两边分别相加得，ana123n，an1(123n)1.答案14(2014贵阳模拟)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2n21，则a3_.解析a3S3S22321(2221)10.答案105已知a11，ann(an1an)(nN*)，则数列an的通项公式是_解析法一(构造法)由已知整理得(n1)annan1，数列是常数列且1，ann.法二(累乘法)：n2时，.，两边分别相乘得n，又因为a11，ann.答案n6(

15、2013蚌埠模拟)数列an的通项公式ann210n11，则该数列前_项的和最大解析易知a1200，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，令an0，则n210n110，1n11，可见，当n11时，a110，故a10是最后一个正项，a110，故前10或11项和最大答案10或117(2014广州模拟)设数列an满足a13a232a33n1an，则数列an的通项公式为_解析a13a232a33n1an，则当n2时，a13a232a33n2an1，两式左右两边分别相减得3n1an，an(n2)由题意知，a1，符合上式，an(nN*)答案an8(2013淄博二模)在如图所示的数阵中，第9行的第2个

16、数为_解析每行的第二个数构成一个数列an，由题意知a23，a36，a411，a518，所以a3a23，a4a35，a5a47，anan12(n1)12n3，等式两边同时相加得ana2n22n，所以ann22na2n22n3(n2)，所以a99229366.答案66二、解答题9(2013梅州调研改编)已知函数f(x)2x2x，数列an满足f(log2an)2n.(1)求数列an的通项公式；(2)证明：数列an是递减数列(1)解f(x)2x2x，f(log2an)2n，2log2an2log2an2n，an2n.a2nan10，解得ann.an0，ann.(2)证明1.an0，aa1an，数列an

17、是递减数列10设数列an的前n项和为Sn.已知a1a(a3)，an1Sn3n，nN*.(1)设bnSn3n，求数列bn的通项公式；(2)若an1an，nN*，求a的取值范围解(1)依题意，Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)，又S131a3(a3)，故数列Sn3n是首项为a3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为bnSn3n(a3)2n1，nN*.(2)由(1)知Sn3n(a3)2n1，nN*，于是，当n2时，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2，当n1时，a1a不适合上式，故anan1an43n1(a3)2n

18、22n2，当n2时，an1an12n2a30a9.又a2a13a1.综上，所求的a的取值范围是9，)能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1已知数列an的通项公式为an，则满足an1an的n的取值为_解析由an1an，得an1an0，解得n，又nN*，n5.答案52(2014湖州模拟)设函数f(x)数列an满足anf(n)，nN*，且数列an是递增数列，则实数a的取值范围是_解析数列an是递增数列，又anf(n)(nN*)，2a0，数列的前n项和为Tn.当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大值解(1)取n1，得a2a1S2S12a1a2，取n2，得a2a12a2，由，得a2(a2a1)a2.若a20，由知a10.若a20，由知a2a11.由解得，a11，a22；或a11，a22.综上可得，a10，a20；或a11，a22；或a11，a22.(2)当a10时，由(1)知a11，a22.当n2时，有(2)anS2Sn，(2)an1S2Sn1，(1)an(2)an1，即anan1(n2)，ana1()n1(1)()n1.令bnlg，则bn1lg()n11(n1)lg 2lg.数列bn是单调递减的等差数列(公差为lg 2)，从而b1b2b7lglg 10，当n8时，bnb8lglg 10，故n7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为T77lg 2.