函数的奇偶性与单调性1

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1、函数的奇偶性与单调性一.知识总结1.函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称）(1)为奇函数;为偶函数;(2)奇函数在原点有定义(3)任一个定义域关于原点对称的函数一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和 即（奇）（偶）.2.函数的单调性(注:先确定定义域;单调性证明一定要用定义)(1)定义:区间上任意两个值,若时有,称为上增函数,若时有,称为上减函数.(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性一样;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.判断函数单调性的方法:定义法,即比差法;图象法;单调性的运算性质（实质上是不等式性质）;复合函数单调性判断法则.3.周期性:周期性主要运用在三角函数与抽象函数

2、中,是化归思想的重要手段.求周期的重要方法:定义法;公式法;图象法;利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),ab,则T=2|a-b|.二.例题精讲例1已知定义域为的函数是奇函数.()求的值;()若对任意的,不等式恒成立,求的取值围.解析：（）因为是奇函数，所以=0，即又由f（1）= -f（-1）知（）由（）知又由题设条件得：，即：，整理得上式对一切均成立，从而判别式例2设函数在处取得极值2,试用表示和,并求的单调区间.解：依题意有而故解得 从而。 令，得或。 由于在处取得极值，故，即。（1） 若，即，则当时，；（2）当时，；当时，；从而的单调增区

3、间为； 单调减区间为若，即，同上可得， 的单调增区间为；单调减区间为例3(理)设函数,若对所有的,都有成立,数的取值围(文)讨论函数的单调性 （理） 解法一：令g(x)(x1)ln(x1)ax，对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a，令g(x)0，解得xea11，(i)当a1时，对所有x0，g(x)0，所以g(x)在0，)上是增函数，又g(0)0，所以对x0，都有g(x)g(0)，即当a1时，对于所有x0，都有f(x)ax(ii)当a1时，对于0xea11，g(x)0，所以g(x)在(0，ea11)是减函数，又g(0)0，所以对0xea11，都有g(x)g(0)，即当a1时，不是对所有

4、的x0，都有f(x)ax成立综上，a的取值围是（，1解法二：令g(x)(x1)ln(x1)ax，于是不等式f(x)ax成立即为g(x)g(0)成立对g(x)求导数g(x)ln(x1)1a令g(x)0解得xea11，当xea11时，g(x)0，g(x)为增函数，当1xea11，g(x)0，g(x)为减函数，所以要对所有x0都有g(x)g(0)充要条件为ea110由此得a1，即a的取值围是（，1（文）解：设， 则 ，当时，则为增函数当时，则为减函数当时，为常量，无单调性例4(理)已知函数,其中为常数.()若,讨论函数的单调性;()若,且=4,试证:.(文)已知为定义在上的奇函数，当时，求的表达式.

5、（理）（文）解：为奇函数， 当 时，为奇函数三.巩固练习1.已知是上的减函数,那么的取值围是( )A. B. C. D.2.已知是周期为2的奇函数,当时,设则( )A.B.C.D.3.下列函数中,在其定义域既是奇函数又是减函数的是( )A. B. C. D. 4.若不等式对于一切?(0,)成立,则的取值围是( )A.0 B. 2 C.- D.-35.设是上的任意函数,则下列叙述正确的是( )A.是奇函数 B.是奇函数C.是偶函数 D.是偶函数6.已知定义在上的奇函数满足,则的值为( )A.1 B.0 C.1 D.27.已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称,记.若在区间上是增函数,则实数

6、的取值围是( ) A. B.C. D.8.(理)如果函数在区间上是增函数,那么实数的取值围是( ). . . .9.对于上可导的任意函数,若满足,则必有( )A.B.C.D.10.已知,则( )A. B. C. D.11.已知函数,若为奇函数,则 .12.已知函数是定义在上的偶函数. 当时,则当时, .13.是定义在上的以3为周期的偶函数,且,则方程=0在区间（0,6）解的个数的最小值是( ) A.5 B.4 C.3 D.214.下列函数既是奇函数,又在区间上单调递减的是( ) A. B. C. D.15.若函数, 则该函数在上是( )A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值C.单调递增无最

7、大值 D.单调递增有最大值16.若函数在区间单调递增,则的取值围是( )A. B. C. D.17.设是定义在上的奇函数,且的图象关于直线对称,则_.18.设函数在上满足,且在闭区间0，7上,只有.()试判断函数的奇偶性;()试求方程=0在闭区间-2005,2005上的根的个数,并证明你的结论.19. (理)已知,函数(1)当为何值时,取得最小值？证明你的结论;(2)设在 -1，1上是单调函数,求的取值围.(文)已知为偶函数且定义域为,的图象与的图象关于直线对称,当时,为实常数,且. (1)求的解析式;(2)求的单调区间;(3)若的最大值为12,求.20.已知函数的图象过点（0,2）,且在点处

8、的切线方程为.(1) 求函数的解析式;(2)求函数的单调区间.21.已知向量若函数在区间（1,1）上是增函数求的取值围.22. (理)已知函数,.若,且存在单调递减区间,求的取值围.(文)已知函数在区间上是减函数,且在区间上是增函数,数的值.巩固练习参考答案1. C 2. D3. A4. C5. D6. B7. D8. B9. C10. A11. a=12. -x-x413. B14. D15. A16. B17. 018 .解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数, 由 , 从而知函数的周期为又, 故函数是非奇非偶函数;(II)由(I

9、I) 又故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数在0,2005上有402个解,在-2005.0上有400个解,所以函数在-2005,2005上有802个解.19. (理) 解：（I）对函数求导数得令得+2(1)2=0从而+2(1)2=0解得 当变化时，、的变化如下表 + 0 0 +递增极大值递减 极小值 递增在=处取得极大值，在=处取得极小值。当0时，1,在上为减函数，在上为增函数,而当时=，当x=0时，.所以当时，取得最小值（II）当0时，在上为单调函数的充要条件是，即，解得，于是在-1，1上为单调函数的充要条件是，即的取值围是(文)解: (1) 先求在上的解析式设是上的

10、一点, 则点关于的对称点为且所以得.再根据偶函数的性质, 求当上的解析式为所以(2) 当时, 因时, 所以因, 所以, 所以而. 所以在上为减函数.当时, 因, 所以因所以, 所以, 即所以在上为增函数(3) 由(2)知在上为增函数，在上为减函数,又因为偶函数, 所以所以在上的最大值由得.20.解：（）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以由在处的切线方程是，知故所求的解析式是 （）解得 当当故是增函数，在是减函数，在是增函数. 21. 解法1：依定义开口向上的抛物线，故要使在区间（1，1）上恒成立.解法2：依定义的图象是开口向下的抛物线，22. (理) 解： ，则因为函数h(x)存在单调递减区间，所以0时，则ax2+2x10有x0的解.当a0时，y=ax2+2x1为开口向上的抛物线，ax2+2x10总有x0的解；当a0总有x0的解；则=4+4a0,且方程ax2+2x1=0至少有一正根.此时，1a0. 综上所述，a的取值围为（1，0）（0，+）.(文)解：, 当时9 / 9