《2018学年河北省定州中学高三下学期第一次月考数学试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018学年河北省定州中学高三下学期第一次月考数学试题（解析版）（17页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、2018届河北省定州中学高三下学期第一次月考数学试题一、单选题1在平面直角坐标系中,已知点, ,动点满足 ,其中,则所有点构成的图形面积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】，由此所有点构成的图形为的内部， 故选C.2在平面直角坐标系中， 是坐标原点，设函数的图象为直线，且与轴、轴分别交于、两点，给出下列四个命题：存在正实数，使的面积为的直线仅有一条；存在正实数，使的面积为的直线仅有二条；存在正实数，使的面积为的直线仅有三条；存在正实数，使的面积为的直线仅有四条其中，所有真命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】直线与轴， 轴交点的坐标分别是： ， ，当时， ，
2、当且仅当时取等号，当且仅当时取等号，当，在时， 有两个值；当时， ，当且仅当时取等号，当且仅当时取等号，当时，在时， 有两个值；当时，仅有一条直线使的面积为，故不正确；当时，仅有两条直线使的面积为，故正确；当时，仅有三条直线使的面积为，故正确；当时，仅有四条直线使的面积为，故正确；综上所述，真命题的序号是，故选D.3已知函数， ，若与的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】关于直线 对称的直线为 直线 与 在上有交点作出 与的函数图象，如图所示：若直线经过点 ，则 ，若直线 与相切，设切点为 则 ，解得 故选D4设椭圆 ()的一个焦点点为
3、椭圆内一点,若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】记椭圆的左焦点为，则 ，即， ， ，即，即 ，椭圆的离心率的取值范围是，故选A.【方法点晴】本题主要考查利用椭圆定与性质求椭圆的离心率，属于难题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用椭圆的定义以及三角形两边与第三边的关系构
4、造出关于的不等式，最后解出的范围.5某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个组合体，它的组成是一个圆柱截去四分之一，再补上以直角边长为的等腰三角形为底面，圆柱上底面圆心为顶点的三棱锥，故体积为，故选C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单
5、组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.6已知函数， 若当时，不等式组恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意知，当时， 恒成立，即恒成立，要使在上恒成立，所以令，则，令,则当时， 恒成立，则在上单调递增，所以，所以恒成立，则在上单调递增，要使在上恒成立，则综上所述，的取值范围是.故选C.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.7若函数在区间上的最大值、
6、最小值分别为、，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为所以 因为函数 为奇函数，所以它在区间上的最大值、最小值之和为0，也即，所以8定义“有增有减”数列如下： ，满足，且，满足.已知“有增有减”数列共4项，若，且，则数列共有（ ）A. 64个 B. 57个 C. 56个 D. 54个【答案】D【解析】当四个数中只有两个相同时，共有种，当四个数中有三个数相同时，共有种，所以总方法数有。【点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，按四个数中，只有两类数和有三类数进行分类，其中两类数中又有小类，三个相同和两两相同。9已知函数，若是函数的
7、唯一极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数，函数的定义域是 是函数的唯一极值点的唯一一个极值点是导函数的唯一根在（0，+）无变号零点，即在（0，+）上无实根令 时， 在 时无解，满足题意；k0时， 有解为： 时单调递减 时， 单调递增 的最小值为，由 和 图象，它们切于 ，综上所述， 故答案为A.10定义在R上的函数满足，且对任意的不相等的实数， 有成立，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】定义在R上的函数满足，函数为偶函数，又对任意的不相等的实数， 有成立，即函数数在上递减，在 上单调递增，若关于的
8、不等式在上恒成立，即 对恒成立 对恒成立，即 对恒成立，即 且 对 恒成立令 ，则 ，则在 上递增， 上递减， 令 则在 上递减， 综上所述， 故选D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，解题时要注意转化的数学思想的利用11现有两个半径为2的小球和两个半径为3的小球两两相切，若第五个小球和它们都相切，则这个小球的半径是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图所示，A,B是半径为2的球的球心，C,D是半径为3的球的球心，O是第五个球的球心. 由题得, ,，因为平面BEC， 所以.在直角AEO中， ，故选A.点睛：本题的难点在于画图和从线面关系里找到方
9、程. 所以首先要把图画得直观，再从几何图里找到线面关系利用解三角形的知识列出方程.12定义在上的函数满足，且当时， ，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）A. -1 B. C. D. 【答案】C【解析】函数为偶函数,且当时,函数为减函数, 时,函数为增函数.若对任意的，不等式恒成立，则,即,所以.当时, ,所以,解得,所以.当,时,不等式成立,当时, ,无解,故, 的最大值为.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性与单调性,考查不等式恒成立问题的转化方法及利用分类讨论的方法解含有绝对值的不等式.函数的奇偶性的判断, 则函数为偶函数,若则函数为奇函数.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图
10、象关于轴对称.二、填空题13设为抛物线的焦点, 为抛物线上不同的三点, 则_.【答案】6【解析】设 抛物线 焦点坐标 ，准线方程： ，点 是 重心， 而| 即答案为6.【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形重心性质和抛物线焦半径公式的灵活运用14已知函数，当时,函数的最大值是_；若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称,则的取值范围是_【答案】 【解析】当时， 当且仅当时取等号，此时取到最大值1，故当时,函数的最大值是；若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称, 将在轴左侧的图象关于轴对称到右边，与在轴右侧的图象有且只有一个交点由题意， 关于轴的对称函数为
11、则要保证与在轴右侧的图象有且只有一个交点，只需 综上所述，a的取值范围是.即答案为.15已知双曲线 的左、右顶点分别为、，点为双曲线的左焦点，过点作垂直于轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线于， 点，连接交轴于点，连接交于点，若，则双曲线的离心率为_【答案】5【解析】根据题意，如图作出双曲线的草图：双曲线C： 中，PQ过左焦点F且垂直与x轴，假设P在Q的上方，则xP=xQ=c，将x=c代入双曲线的方程可得：yP=，yQ=，则|PF|=|FQ|=，又由OEPM，则EOBPFB，则有，则|EO|=c-a，而EOAMFA，则有，即，整理可得：c=5a，则e=5，故双曲线的离心率为5；故答案为：5点睛
12、：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.16已知函数， ，若与的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】关于直线 对称的直线为 直线 与 在上有交点作出 与的函数图象，如图所示：若直线经过点 ，则 ，若直线 与相切，设切点为 则 ，解得 故答案为三、解答题17对于若数列满足则称这个数列为“数列”.（1）已知数列1, 是“数列”,求实数的取值范围;（2）是否存在首项为的等差数列为“数列”,且
13、其前项和使得恒成立?若存在,求出的通项公式;若不存在,请说明理由;（3）已知各项均为正整数的等比数列是“数列”,数列不是“数列”,若试判断数列是否为“数列”,并说明理由.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）根据题目中所定义的“数列”，只需同时满足，解不等式可解m范围。（2）由题意可知，若存在只需等差数列的公差，即1,矛盾。（3）设数列的公比为则， ，满足“数列”，即只需最小项即不是“数列”,且为最小项,所以即,所以只能只有解或分两类讨论数列。试题解析：（）由题意得解得所以实数的取值范围是（假设存在等差数列符合要求,设公差为则由得由题意,得对均成立,即当时, 当时
14、, 因为所以与矛盾,所以这样的等差数列不存在.（）设数列的公比为则因为的每一项均为正整数,且所以在中,“”为最小项.同理, 中,“”为最小项.由为“数列”,只需即又因为不是“数列”,且为最小项,所以即,由数列的每一项均为正整数,可得所以或当时, 则令则又所以为递增数列,即所以所以对于任意的都有即数列为“数列”.当时, 则因为所以数列不是“数列”.综上:当时,数列为“数列”,当时, 数列不是“数列”.【点睛】对于新定义的题型一定要紧扣题目中的定义并进行合理的转化，这是解决此类的问题的关键。另外题中有整数条件时一般都能通过因式分解，或夹逼在方程个数小于变量个数时，解出部分甚至全部参数。18已知椭圆
15、的离心率为,且过点.（）求椭圆的方程；（）过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点,直线过坐标原点且与直线的斜率互为相反数.若直线与椭圆交于两点且均不与点重合,设直线与轴所成的锐角为,直线与轴所成的锐角为,判断与的大小关系并加以证明.【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）根据椭圆的离心率为,且过点，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可得椭圆的方程；（） 与的大小关系只需看两直线斜率之间的关系，设设，联立,消去得,利用斜率公式以及韦达定理，化简可得，直线的倾斜角互补,可得.试题解析：（）由题可得,解得.所以椭圆的方程为.（）结论: ,理由如下:由题知直线斜率存在,设.联立,消去
16、得,由题易知恒成立,由韦达定理得,因为与斜率相反且过原点,设, ,联立消去得,由题易知恒成立,由韦达定理得,因为两点不与重合,所以直线存在斜率,则 所以直线的倾斜角互补,所以.19已知函数在定义域内有两个不同的极值点（）求的取值范围（）记两个极值点， ，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由导数与极值的关系知可转化为方程在有两个不同根；再转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点；（2）原式等价于，令， ，则不等式在上恒成立，令， ，根据函数的单调性求出即可.试题解析：（）由函数得的定义域为，且，若函数在定义域内有两个不同的极值点，则方程，即有两个不同的根，即函数与函数的图象在上有两个不同的交点，如图所示：若令过原点且切于函数图象的直线斜率为，只须，令切点，则，又，解得， ，的取值范围是（）因为等价于，由（）可知， ， 分别是方程的两个根，即， ，所以原式等价于， ，原式等价于，又由， 作差得，原式等价于，原式恒成立，即恒成立，令， ，则不等式在上恒成立，令， ，则，当时，可见时， ，故在上单调递增，又， 在上恒成立，符合题意；当时，可见时， ；时， ，在时单调递增，在时单调减，又，故在上不可能恒小于，不符合题意，综上所述，若不等式恒成立，只须，又，故
2018学年河北省定州中学高三下学期第一次月考数学试题（解析版）
