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1、.高中常用函数性质及图像一次函数（一） 函数1、确定函数定义域的方法： 1关系式为整式时，函数定义域为全体实数； 2关系式含有分式时，分式的分母不等于零； 3关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； 4关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； 5实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。（二） 一次函数1、一次函数的定义一般地，形如，是常数，且的函数，叫做一次函数，其中*是自变量。当时，一次函数，又叫做正比例函数。一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式当，时，仍是一次函数当，时，它不是一次函数正比例函数是一次函数的特例，一次函数
2、包括正比例函数2、正比例函数及性质一般地，形如y=k*(k是常数，k0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=k* (k不为零) k不为零 *指数为1 b取零当k0时，直线y=k*经过三、一象限，从左向右上升，即随*的增大y也增大；当k0时，图像经过一、三象限；k0，y随*的增大而增大；k0时，向上平移；当b0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0，y随*的增大而增大；k0时，将直线y=k*的图象向上平移b个单位；当b0b0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y随*的增大而增大k0时，向上平移；当b0时，直
3、线经过一、三象限；k0，y随*的增大而增大；从左向右上升k0时，将直线y=k*的图象向上平移个单位；b0或a*+b0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限，y随*的增大而减小；当k0时，函数在*0上同为减函数；k0时，函数在*0上同为增函数。 定义域为*0；值域为y0。 3.因为在y=k/*(k0)中，*不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与*轴相交，也不可能与y轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作*轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y
4、=* y=-*即第一三，二四象限角平分线，对称中心是坐标原点。 6.假设设正比例函数y=m*与反比例函数y=n/*交于A、B两点m、n同号，则A B两点关于原点对称。 7.设在平面有反比例函数y=k/*和一次函数y=m*+n，要使它们有公共交点，则n2+4km不小于0。 8.反比例函数y=k/*的渐近线：*轴与y轴。 9.反比例函数关于正比例函数y=*,y=-*轴对称,并且关于原点中心对称. 10.反比例上一点m向*、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqoo为原点的面积为|k| 11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越
5、远。13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点 指数函数概念：一般地，函数y=a*a0，且a1叫做指数函数，其中*是自变量，函数的定义域是R。注意：指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。指数函数的定义仅是形式定义。指数函数的图像与性质：规律：1.当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。 2.当a1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴； 当0a1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。在y轴右边底大图高；在y轴左边底大图低。 3.四字口诀：大增小减。即：当a1时，图像在R上是增函数；当
6、0a1时，图像在R上是减函数。 4.指数函数既不是奇函数也不是偶函数。比拟幂式大小的方法：1. 当底数一样时，则利用指数函数的单调性进展比拟；2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进展比拟；4. 对多个数进展比拟，可用0或1作为中间量进展比拟 底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(*)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a*在定义域(-，+)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a*(a0，a1)的反函数称为对数函数，并记
7、为y=loga*(a0，a1).因为指数函数y=a*的定义域为(-，+)，值域为(0，+)，所以对数函数y=loga*的定义域为(0，+)，值域为(-，+).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=*. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.33.指数式与对数式的互化式.34.对数的换底公式 (,且,且,).推论 (,且,且,).35对数的四则运算法则假设a0，a1，M0，N0，则(1);(2) ;(3).36.设函数,记.假设的定义域为,则，且;假设的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.37.对数换底不等式及其推广假设,则函数 (1)当
8、时,在和上为增函数.，(2)当时,在和上为减函数.推论:设，且，则1.2.38.对数恒等式 a0,a1,N0 (a,b,c,a1,a2,an均大于0，且不等于1。)为了研究对数函数y=loga*(a0，a1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log2*，y=log10*，y=log10*,y=log*,y=log*的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=loga*(a0，a1)的图像的特征和性质.见下表.图象a1a1性质(1)*0(2)当*=1时，y=0(3)当*1时，y00*1时，y0(3)当*1时，y00*1时，y0(4)在(0，+)上是增函数(4)在
9、(0，+)上是减函数补充性质设y1=loga* y2=logb*其中a1，b1(或0a1 0b1)当*1时底大图低即假设ab则y1y2当0*1时底大图高即假设ab，则y1y2比拟对数大小的常用方法有：(1)假设底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进展判断.(2)假设底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进展分类讨论.(3)假设底数不同、真数一样，则可用换底公式化为同底再进展比拟.(4)假设底数、真数都不一样，则常借助1、0、-1等中间量进展比拟.3.指数函数与对数函数比照名称指数函数对数函数一般形式y=a*(a0，a1)y=loga*(a0，a1)定义域(-，+)(0，+)值域(0，
10、+)(-，+)函数值变化情况当a1时，当0a1时，当a1时当0a1时，单调性当a1时，a*是增函数；当0a1时，a*是减函数.当a1时，loga*是增函数；当0a1时，loga*是减函数.图像y=a*的图像与y=loga*的图像关于直线y=*对称.幂函数幂函数的图像与性质幂函数随着的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法熟练掌握，当的图像和性质，列表如下从中可以归纳出以下结论： 它们都过点，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限 时，幂函数图像过原点且在上是增函数 时，幂函数图像不过原点且在上是减函数 任何两个幂函数最多有三个公共点奇
11、函数偶函数非奇非偶函数O*yO*yO*yO*yO*yO*yO*yO*yO*y定义域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第象限的增减性在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递减幂函数R，是常数的图像在第一象限的分布规律是：所有幂函数R，是常数的图像都过点；当时函数的图像都过原点；当时，的的图像在第一象限是第一象限的平分线如；当时，的的图像在第一象限是凹型曲线如当时，的的图像在第一象限是凸型曲线如当时，的的图像不过原点，且在第一象限是下滑曲线如当时，幂函数有以下性质：1图象都通过点；2在第一象限都是增函数；3在第一象限，时，图象是向下凸的；时，图象是向上凸的；4在第
12、一象限，过点后，图象向右上方无限伸展。当时，幂函数有以下性质：1图象都通过点；2在第一象限都是减函数，图象是向下凸的；3在第一象限，图象向上与轴无限地接近；向右无限地与轴无限地接近；4在第一象限，过点后，越大，图象下落的速度越快。无论取任何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。对号函数函数a0,b0叫做对号函数，因其在0，+的图象似符号而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当*0时，当且仅当即时取等号，由此可得函数a0,b0,*R+的性质:当时，函数a0,b0,*R+有最小值，特别地，当a=b=1时函数有最小值2。函数a0,b0在区间0，上是减函数，在区间，+上是增函数。因为函数a0,b0是奇函数，所以可得函数a0,b0,*R-的性质：当时，函数a0,b0,*R-有最大值-，特别地，当a=b=1时函数有最大值-2。函数a0,b0在区间-，-上是增函数，在区间-，0上是减函数。.
高中常用函数性质及图像汇总
