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1、南京市2010届高三上学期期末考试数 学 试 题注意事项：1本试卷满分为160分，考试时间为120分钟。2答卷前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内，试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内。考试结束后，交回答题纸。一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1集合，若=，则实数的值为 。2已知角的终边经过点P（，），且，则的值为 。3经过点（2，-1），且与直线垂直的直线方程是 。4若复数，（为虚数单位），且 为纯虚数，则实数的值为 。5已知实数、满足约束条件，则 的最大值为 。6某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选 择其中的一个食堂用餐，则他们在同
2、一个食堂用餐的 概率为 。7设等差数列的公差0，若是 与的等比中项，则的值为 。8根据如图所示的算法流程图，可知输出的结果i为 。9右图是一次考试结果的频率分布直方图， 若规定60分以上（含60）为考试合格， 则这次考试的合格率为 。10设、是单位向量，且，则的值为 。11如图，已知正三棱柱的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 cm。12若不等式对 （0，4）恒成立，则实数的取值范围是 。13五位同学围成一圈依次循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为2，第二位同学首次报出的数为3，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的
3、个位数字，则第2010个被报出的数为 。14设M是由满足下列性质的函数构成的集合：在定义域内存在，使得=成立。已知下列函数：；，其中属于集合M的函数是 。（写出所有满足要求的函数的序号）。二、解答题（本大题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤）15（本题满分14分，第1小题5分，第2小题9分）已知， （1）若，求的值； （2）若，求的值。16（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BE=BC，AEBE，M为CE上一点，且BM平面ACE。 （1）求证：AEBC； （2）如果点N为线段AB的中点，求证：MN平面A
4、DE.17（本题满分14分）如图，矩形ABCD是机器人踢球的场地，AB=170cm，AD=80cm，机器人先从AD中点E进入场地到点F处，EF=40cm，EFAD。场地内有一小球从B点向A点运动，机器人从F点出发去截小球。现机器人和小球同时出发，它们均作直线运动，并且小球运动的速度是机器人行走速度的2倍。若忽略机器人圆底旋转所需的时间，则机器人最快可在何处截住小球？18（本题满分16分，第1小题6分，第2小题10分）已知椭圆的楼离心率为，、分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C的焦距为2. （1）求椭圆C的方程； （2）设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，为半径作圆M，当圆M于椭圆的右准线有公共点，
5、求面积的最大值。19（本题满分16分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题8分）已知函数在点（1，）处的切线方程为. （1）求函数的解析式； （2）若对于区间上任意两个自变量的值，都有，求实数的最小值。 （3）若果点（2）可作曲线的三条切线，求实数的取值范围。20（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）设函数,数列满足，（N*，且2）。 （1）求数列的通项公式； （2）设，若对N*恒成立，求实数的取值范围； （3）是否存在以为首项，公比为（）的数列，使得数列中的每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由。参考答案一、填空题（本大题
6、共14小题，每小题5分，共70分）1 210 3 4-1 58 6 7387 972 10 1113 12 134 14二、解答题（本大题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本题满分14分，第1小题5分，第2小题9分）解：因为，所以3分则5分因为=，所以，7分即9分因为，所以，则11分14分16（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）证明：因为BM平面ACE，平面，所以2分因为，且，平面EBC，所以平面EBC4分因为平面EBC，所以6分取DE中点H，连结MH、AH因为BM平面ACE，平面，所以因为，所以M为CE的中点8分所以MH为的中位线所以，10分因为四边
7、形ABCD为平行四边形，所以DCAB，故因为N为AB中点，所以MHAN所以四边形ANMH为平行四边形，所以MNAH12分因为平面ADE，平面ADE，所以MN平面ADE14分法二：取EB中点F，连接MF、NF同法意，可得M为CE中点。因为N为AB中点，所以NFAE，MFBC8分因为四边形ABCD为平行四边形，所以ADBC，所以MFAD。因为NF、MF平面ADE，AD、AE平面MNF，所以平面MNF平面ADE10分因为MFNF=F，MF、NF平面MNF，所以平面MNF平面ADE12分因为MN平面MNF，所以MN平面ADE14分17（本题满分14分）解：设该机器人最快可在G点处截住小球 ，点G在线段
8、AB上设根据题意，得则1分连接AF，在AEF中，EF=AE=40cm，EFAD，所以， 2分于是在中，由余弦定理，得所以8分解得12分所以，或（不合题意，舍去）13分答：该机器人最快可在线段AB上离A点70cm处截住小球14分解法二：设该机器人最快可在G处截住小球，点G在线段AB上。设cm，根据题意，得cm过F作FHAB，垂足为H。AE=EF=40cm，EFAD，A=90，所以四边形AHFE是正方形。则FH=40cm，GH=AB-AH-BG=（130-2x）（cm）2分在RtFHG中，由勾股定理，得.所以8分解得12分所以，或（不合题意，舍去）13分答：该机器人最快可在线段AB上离A点70cm
9、处截住小球14分18（本题满分16分，第1小题6分，第2小题10分）解：因为，且，所以，2分所以4分所以椭圆C的方程为6分设点M的坐标为，则因为，所以直线的方程为8分由于圆M与由公共点，所以M到的距离小于或等于圆的半径R因为，所以，10分即 又因为，所以12分解得14分当时，所以 16分19（本题满分16分，第1小题 4分，第2小题4分，第3小题8分）解：2分根据题意，得即解得3分所以4分令，即得（，）-1（-1，1）1（1，2）2+-+-2增极大值减极小值增2因为，所以当时，6分则对于区间上任意两个自变量的值，都有，所以所以c的最小值为48分因为点不在曲线上，所以可设切点为则因为，所以切线的
10、斜率为9分则=，11分即因为过点可作曲线的三条切线，所以方程有三个不同的实数解所以函数有三个不同的零点则令，则或（-，0）0（0，2）2（2，+）+-增极大值减极小值增则，即，解得16分20（本题满分16分，第1小题 4分，第2小题6分，第3小题6分）解：因为，所以2分因为，所以数列是以1为首项，公差为的等差数列所以4分当时，6分当时，8分所以要使对恒成立，只要使只要使，故实数t的取值范围为10分由，知数列中每一项都不可能是偶数如存在以为首项，公比q为2或4的数列，此时中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以为首项，公比为偶数的数列12分当时，显然不存在这样的数列当时，若存在以为首项，公比为3的
11、数列，则，所以满足条件的数列的通项公式为16分附 加 题注意事项：1附加题供选修物理的考生使用。2本试卷共40分，考试时间30分钟。3答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内。试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内。考试结束后，交回答题纸。解答题（本大题满分40分，14题为选做题，每题10分，考生只需选做其中2题，多选做的以前两题计分，56题为必做题，每题10分）1（集合证明选讲选做题）如图AB是O的直径，点P在AB的延长线上，PC与O相切于点C，PC=AC=1，求O的半径。2（矩阵与变换选做题）求直线在矩阵作用下变换得到的直线的方程。3（坐标系与参数方程选做题）
12、已知与的极坐标方程分别是和（是非零常数）。 （1）将两圆的极坐标方程化为只交坐标方程； （2）若两圆的原形距为，求的值。4（不等式选讲选做题）设函数. （1）解不等式； （2）若对恒成立，求实数的取值范围。5如图，在直三棱柱中，90，30，BC=1， 是棱的中点。 （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值。6袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为。现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，每次摸取1个球，取出的球部放回，直到其中有一人去的白球时终止。用X表示取球终止时取球的总次数。 （1）求袋中原有白球的个数； （2）求随机变量X的概率分布及数学
13、期望。附加题参考答案1（本题满分10分）解：连接OC。设PAC=。因为PC=AC，所以CPA=，COP=2。又因为PC与O相切于点C，所以OCPC。所以3=90，所以=305分又设圆的半径为r，在RtPOC中，r=CPtan30=10分2（本题满分10分）解法一：任意选取直线上的一点，它在矩阵作用下变换得到的点为则有，故5分解得又因为点P在直线上，所以，即。化简得。所以所求直线方程解法二：在直线上取两点（，0），（0，1）因为，5分所以变换后对应的点的坐标分别为（，0），（2，2）所以所求直线方程为。10分3（本题满分10分）解：（1）由，得所以的直角坐标方程为即3分由，得。所以的直角坐标方程
14、为，即6分 （2）与的圆心之间的距离为，解得.10分4（本题满分10分）解：（1）当时，由，得，解得；当12时，有.此时不等式无解；当时，有.由，得，解得故不等式的解集为（-，0）（3，+）5分 （2）因为，当且仅当12时取等号。所以当时，不等式恒成立。10分5（本题满分10分）解法一：（1）如图，以B为原点，BA、所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系。则B（0，0，0），（0，2，），A（0，2，0），所以，.所以=0+3-3=0，即.所以5分 （2）因为轴面，所以面的发向量取.设直线AM与平面所成角为，所以所以直线AM与平面所成角的正弦值为10分解法二：（1）因为平面ABC，BCAC，所以分别以CA，CB，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系。则B（0，1，0），A（，0，0），所以=（，1，）（，0，），所以=0+3-3=0，所以.所以5分 （2）由（1）知，=（0，0，），设面的法向量为，则不妨取设直线AM与平面所成角度为。所以所以直线AM与平面所成角的正弦值为10分6（本题满分10分）解：（1）设袋中原有个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为，由题意知=，即，化简得。解得或（舍去）故袋中原有白球的个数为6.4分 （2）由题意，X的可能取值为1，2，3，4.；.8分所以取球次数X的概率分布列为：X1234所求数学期望为E（X）=1+2+3+4=10分
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