人教版高中数学必修一知识点及重难点

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1、-人教版高中数学必修一各章节知识点与重难点第一章 集合与函数概念1.1 集合集合的含义与表示【知识要点】1、集合的含义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。2、集合的中元素的三个特性1元素确实定性； 2元素的互异性； 3元素的无序性2、属于的概念我们通常用大写的拉丁字母A,B,C, 表示集合，用小写拉丁字母a,b,c, 表示元素如：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 aA，如果a不属于集合A 记作 aA3、常用数集及其记法非负整数集即自然数集记作：N；正整数集记作：N*或 N+ ；整数集记作：Z；有理数集记作：Q；实数集记作：R4、集合的表示法1列举法：把集

2、合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。2描述法：用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。语言描述法：例：不是直角三角形的三角形数学式子描述法：例：不等式*-32的解集是*R| *-32或*| *-323图示法Venn图集合间的根本关系【知识要点】1、包含关系子集一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作AB2、相等关系如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B3、真子集如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集

3、，记作AB(或BA)4、空集不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集.集合的根本运算【知识要点】1、交集的定义一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB(读作A交B)，即AB=*|*A，且*B2、并集的定义一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：AB(读作A并B)，即AB=*|*A，或*B3、交集与并集的性质AA = A，A= , AB = BA，AA = A，A= A , AB = BA.4、全集与补集1全集如果集合U含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作

4、一个全集。通常用U来表示。2补集设U是一个集合，A是U的一个子集即AU，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集或余集。记作： CUA ，即 CSA =* | *U且 *A3性质CU(C UA)=A，(C UA)A=，(C UA)A=U；(C UA)(C UB)=C U(AB)，(C UA)(C UB)=C U(AB).1.2 函数及其表示函数的概念【知识要点】1、函数的概念设A、B是非空的数集，如果按照*个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数*，在集合B中都有唯一确定的数f(*)和它对应，则就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： y=f(*)，*A其中，*叫做

5、自变量，*的取值围A叫做函数的定义域；与*的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(*)| *A 叫做函数的值域【注意】1如果只给出解析式y=f(*)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式【定义域补充】求函数的定义域时列不等式组的主要依据是1分式的分母不等于零；2偶次方根的被开方数不小于零； 3对数式的真数必须大于零;4指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.5如果函数是由一些根本函数通过四则运算结合而成的.则，它的定义域是使各局部都有意义的*的值组成的集合.6指数为零底不可以等于零7实际问题中的函数的定义域还要

6、保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.)2、构成函数的三要素定义域、对应关系和值域【注意】1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等或为同一函数。2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。3、一样函数的判断方法1定义域一致；2表达式一样 (两点必须同时具备)【值域补充】1函数的值域取决于定义域和对应法则，不管采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. 2应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求

7、解复杂函数值域的根底。4、区间的概念1区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；2无穷区间；3区间的数轴表示函数的表示法【知识要点】1、常用的函数表示法及各自的优点1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于*轴的直线与曲线最多有一个交点。2函数的表示法解析法：必须注明函数的定义域；图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征【注意】解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值2、分段函数在定义域的不同局部上有不同的解

8、析表达式的函数。在不同的围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各局部的自变量的取值情况注意：1分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；2分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集3、复合函数如果y=f(u),(uM),u=g(*),(*A),则 y=fg(*)=F(*)，(*A) 称为f是g的复合函数.4、函数图象知识归纳1定义在平面直角坐标系中，以函数 y=f(*) , (*A)中的*为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(*，y)的集合C，叫做函数 y=f(*),(*

9、 A)的图象C上每一点的坐标(*，y)均满足函数关系y=f(*)，反过来，以满足y=f(*)的每一组有序实数对*、y为坐标的点(*，y)，均在C上 . 即记为C= P(*,y) | y= f(*) , *A 图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点的假设干条曲线或离散点组成.2画法A、描点法根据函数解析式和定义域，求出*,y的一些对应值并列表，以(*,y)为坐标在坐标系描出相应的点P(*, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换对称变换将y= f(*)在*轴下方的图象向上翻得到

10、y=f(*)的图象如：书上P21例5 y= f(*)和y= f(-*)的图象关于y轴对称。如y= f(*)和y= -f(*)的图象关于*轴对称。如平移变换由f(*)得到f(*a) 左加右减；由f(*)得到f(*)a 上加下减3作用A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解题的速度；发现解题中的错误。5、映射定义：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按*一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素*，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，则就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作f：AB给定一个集合A到B的映射，如果aA,bB.且元素a和元素b

11、对应，则，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象【说明】函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应1集合A、B及对应法则f是确定的；2对应法则有方向性，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；3对于映射f：AB来说，则应满足：集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6、函数的解析式1函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.2求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元

12、法、消参法等A、如果函数解析式的构造时，可用待定系数法；B、复合函数fg(*)的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值围；当表达式较简单时，也可用凑配法；C、假设抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(*)【重点】函数的三种表示法，分段函数的概念，映射的概念【难点】根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象，映射的概念1.3函数的根本性质函数单调性与最大小值【知识要点】1、函数的单调性定义设函数y=f(*)的定义域为I，如果对于定义域I的*个区间D的任意两个自变量*1，*2，当*1*2时，都有f(*1)f(*2)，则就说f(*)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(

13、*)的单调增区间；如果对于区间D上的任意两个自变量的值*1，*2，当*1*2 时，都有f(*1)f(*2)，则就说f(*)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(*)的单调减区间.【注意】1函数的单调性是在定义域的*个区间上的性质，是函数的局部性质；2必须是对于区间D的任意两个自变量*1，*2；当*1*2时，总有f(*1)f(*2) 或f(*1)f(*2)。2、图象的特点如果函数y=f(*)在*个区间是增函数或减函数，则说函数y=f(*)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.3、函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法任取

14、*1，*2D，且*1 0C为常数时，与的单调性一样；当C 0C为常数时，与的单调性相反；函数、都是增减函数，则仍是增减函数；假设且与都是增减函数，则也是增减函数；假设且与都是增减函数，则也是减增函数；设，假设在定义域上是增函数，则、都是增函数，而是减函数.5、函数的最大小值定义一般地，设函数y=f(*)的定义域为I，如果存在实数M满足：1对于任意的*I，都有f(*)M；2存在*0I，使得f(*0) = M则，称M是函数y=f(*)的最大值一般地，设函数y=f(*)的定义域为I，如果存在实数M满足1对于任意的*I，都有f(*) M；2存在*0I，使得f(*0) = M则，称M是函数y=f(*)的

15、最大值.【注意】 函数最大小首先应该是*一个函数值，即存在*0I，使得f(*0) = M； 函数最大小应该是所有函数值中最大小的，即对于任意的*I，都有f(*)Mf(*)M6、利用函数单调性的判断函数的最大小值的方法 利用二次函数的性质配方法求函数的最大小值 利用图象求函数的最大小值 利用函数单调性的判断函数的最大小值如果函数y=f(*)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(*)在*=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(*)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(*)在*=b处有最小值f(b)；函数的奇偶性【知识要点】1、偶函数定义一般地，对于函数f

16、(*)的定义域的任意一个*，都有f(*)=f(*)，则f(*)就叫做偶函数2、奇函数定义一般地，对于函数f(*)的定义域的任意一个*，都有f(*)=f(*)，则f(*)就叫做奇函数【注意】函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域的任意一个*，则*也一定是定义域的一个自变量即定义域关于原点对称3、具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称4、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原

17、点对称；确定f(*)与f(*)的关系；作出相应结论：假设f(*) = f(*) 或 f(*)f(*) = 0，则f(*)是偶函数；假设f(*) =f(*) 或 f(*)f(*) = 0，则f(*)是奇函数5、函数奇偶性的性质奇函数在关于原点对称的区间上假设有单调性，则其单调性完全一样；偶函数在关于原点对称的区间上假设有单调性，则其单调性恰恰相反.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于轴对称.假设为偶函数，则.假设奇函数定义域中含有0，则必有.定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成一个奇函数与一个偶函数的和或差.如设是定义域为R的任一函数，则，.复合函数的奇偶性特点是：偶则偶，奇

18、同外.既奇又偶函数有无穷多个，定义域是关于原点对称的任意一个数集.第二章 根本初等函数2.1 指数函数指数与指数幂的运算【知识要点】1、根式的概念：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作=0.【注意】(1)(2)当 n是奇数时， ，当 n是偶数时，2、分数指数幂1正数的正分数指数幂的意义，规定：2正数的正分数指数幂的意义：30的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3、实数指数幂的运算性质123【注意】在化简过程中，偶数不能轻易约分；如指数函数及其性质【知识要点】1、指数函数的概念一般地，函数 叫做指数函数，其中*是自变量，函数的定义域为R2、指数函数的图象和性质0a1图象性质定义

19、域R ,值域0，+1过定点0，1,即*=0时，y=1(2)在R上是减函数(2)在R上是增函数3当*0时,0y1;当*13当*0时,y1;当*0时,0y1图象特征函数性质共性向*轴正负方向无限延伸函数的定义域为R函数图象都在*轴上方函数的值域为R+图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都过定点0，1过定点0，10a0时,0y1;在第二象限的图象纵坐标都大于1当*1图象上升趋势是越来越缓函数值开场减小极快，到了*一值后减小速度较慢；a1自左向右看，图象逐渐上升增函数在第一象限的图象纵坐标都大于1当*0时,y1;在第二象限的图象纵坐标都小于1当*0时,0y0且a1；2真数N0；3注意对数的书写

20、格式2、两个重要对数1常用对数：以10为底的对数, ；2自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , 3、对数式与指数式的互化对数式 指数式对数底数 a 幂底数对数 * 指数真数 N 幂【结论】1负数和零没有对数2logaa=1, loga1=0，特别地，lg10=1,lg1=0 ,lne=1,ln1=03对数恒等式：4、如果a 0，a 1，M 0，N 0 有1两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和1两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差3一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍【说明】1简易语言表达:积的对数=对数的和2有时可逆向运用公式3真数的取值必须是(0,)4特别注意：5、换底公

21、式利用换底公式推导下面的结论对数函数及其性质【知识要点】1、 对数函数的概念函数 (a0，且a1) 叫做对数函数，其中*是自变量，函数的定义域是0，+【注意】1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意区分。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数2对数函数对底数的限制：a0，且a12、对数函数的图像与性质对数函数(a0，且a1)0 a 1a 1图像y*0(1,0)y*0(1,0)性质定义域：0， 值域：R过点(1 ,0), 即当* 1时,y0在(0,+)上是减函数在(0,+)上是增函数当*1时，y0当*=1时，y=0当0*0 当*1时，y0当*=1时，y=0当0*1时，y0;当a

22、,b不同在(0,1) ，或不同在(1,+) 时,有logab0；当a,b在1的异侧时, logab 0，值域求法用单调性.、分辨不同底的对数函数图象利用1=logaa ，用y=1去截图象得到对应的底数。、y=a*(a0且a 1) 与y=loga*(a0且a 1) 互为反函数，图象关于y=*对称。5 比较两个幂的形式的数大小的方法(1)对于底数一样指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断.(2)对于底数不同指数一样的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断.(3)对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用1和0.6 比较大小的方法(1)利用函数单调性(同

23、底数)；(2)利用中间值如:0,1.；(3)变形后比较；(4)作差比较2.3幂函数【知识要点】1、幂函数定义一般地，形如的函数称为幂函数，其中*是自变量，为常数2、幂函数性质归纳1所有的幂函数在0，+都有定义，并且图象都过点1，1；20 时，幂函数的图象通过原点，并且在0,+ 上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；30 时，幂函数的图象在0，+上是减函数在第一象限，当*从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当*趋于+时，图象在*轴上方无限地逼近*轴正半轴第三章 函数的应用3.1函数与方程3.1方程的根与函数的零点【知识要点】1、函数零点的概念对

24、于函数y=f(*),使f(*)=0 的实数*叫做函数的零点.实质上是函数y=f(*)与*轴交点的横坐标2、函数零点的意义方程f(*)=0 有实数根函数y=f(*)的图象与*轴有交点函数y=f(*)有零点.3、零点定理函数y=f(*)在区间a,b上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)0,则函数y=f(*)在区间a,b至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c也是方程 f(*)=0 的根.4、函数零点的求法求函数y=f(*)的零点：1代数法求方程f(*)=0 的实数根；2几何法对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(*)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点5、二次函数的零点二次

25、函数f(*)=a*2+b*+c(a0).10，方程f(*)=0有两不等实根，二次函数的图象与*轴有两个交点，二次函数有两个零点20，方程f(*)=0有两相等实根二重根，二次函数的图象与*轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点30，方程f(*)=0无实根，二次函数的图象与*轴无交点，二次函数无零点用二分法求方程的近似解【知识要点】1、概念对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(*),通过不断地把函数f(*)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.2、用二分法求方程近似解的步骤确定区间a,b,验证f(a)f(b)0，给

26、定准确度；求区间(a,b)的中点c;计算f(c),假设f(c)=0,则c就是函数的零点；假设f(a)f(c)0,则令b=c此时零点*0(a,c)假设f(c)f(b)0,则令a=c此时零点*0(c,b)(4)判断是否到达准确度：即假设|a-b|0)指数函数：y=a*(a1) 指数型函数： y=ka*(k0,a1)幂函数： y=*n nN*) 对数函数：y=loga*(a1)二次函数：y=a*2+b*+c(a0) 增长快慢：V(a*)V(*n)V(loga*)解不等式 (1) log2* 2* *2 (2) log2* *2 0的根的分布两个根都在m,n )两个有且仅有一个在m,n)*1(m,n) *2(p,q)y*nmmnmnpqf(m)f(n)0两个根都小于K两个根都大于K一个根小于K，一个根大于Kky*kkf(k)0【重点】将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含. z.