《线段的垂直平分线 (2)

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1、观察可能导致发现,观察将揭示某种规则、模式或定律。 波利亚 长岭中心中学 刘先瑶 第十三章第十三章 轴对称轴对称13.1.213.1.2线段的垂直平分线线段的垂直平分线 学习目标学习目标 掌握线段垂直平分线的性质定理及逆掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理定理 重点重点： 线段垂直平分线的性质定理及逆定理线段垂直平分线的性质定理及逆定理的推理及证明的推理及证明 难点难点： 明确线段垂直平分线的性质和判定的明确线段垂直平分线的性质和判定的区别区别 自学指导自学指导 : : 回答以下问题：回答以下问题： 自学课本P61页，重点：注意书上面的探究，及定理的推导过程 助学解疑AB13.1 线段的垂直平

2、分线线段的垂直平分线PA=PBP1P1A=P1B命题命题：线段垂直平分线上的：线段垂直平分线上的点点和和这条线段两个端这条线段两个端点点的距离相等。的距离相等。PMNC动手操作动手操作：如图在纸上画一条线段AB,通过对折后点A与点B重合，将纸展开后铺平，记折痕所在的直线为MN,直线MN与线段的交点为C,思考下列问题：（1）直线MN与线段AB有怎样的关系？（2）在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：量一量：PAPA、PBPB的长，你能发现什么？的长，你能发现什么？由此你能得到什么由此你能得到什么规律规律？证一证：证一证：线段垂直平分线上的线段垂直平分线上的点点与这条线段与这条线段两个端点两

3、个端点的距离相等。的距离相等。ABPMNCPA=PB 直线直线MNAB,垂足为垂足为C, 且且AC=CB. 已知：如图，已知：如图，点点P在在MN上上.求证：求证：证明：MNAB PCA= PCB 在 PAC和 PBC中， AC=BC PCA= PCB PC=PC PAC PBC PA=PB 线段垂直平分线上的线段垂直平分线上的点点与这条线段与这条线段两个端两个端点点的距离相等。的距离相等。线段的垂直平分线性质：线段的垂直平分线性质：ABPMNCPA=PB点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上线段垂直平分线上的点与这线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等条线段两个端点的距

4、离相等用几何语言表示为：用几何语言表示为： CA = =CB，MNAB， PA = =PB （线段的垂直平分线性质线段的垂直平分线性质逆命题）逆命题）ABPCPA=PB点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上? 与一条线段两个端点距离相等的点，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。在这条线段的垂直平分线上。如图如图,已知：线段已知：线段AB，PA=PB求证：求证：P点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上证法一过点过点P作已知线段作已知线段AB的垂线的垂线PC，PAPB，PCPC，RtPAC RtPBC(HL)ACBC，即即P点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线

5、上证法二取取AB的中点的中点C，过过P，C作直线作直线PAPB，PCPC，ACCB，APC BPC(SSS)PCAPCB(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等)又又PCAPCB180，PCAPCB90，即即PCAB，P点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上证法三过过P点作点作APB的平分线的平分线PAPB，12，PCPC，APC BPC(SAS)ACBC，PCAPCB(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等，对应角相等对应角相等)又又PCAPCB180，PCAPCB90，P点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上已知：如图，线段已知：如图，线段AB，PA=PB求证：求证：P点在

6、点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上有一个同学是这样证明的，你认为他的证明的方法对吗?证明：过P作线段AB的垂直平分线PC.ACCB，PCAPCB90，P在AB的垂直平分线上用几何符号表示为用几何符号表示为：PA = =PB，点点P 在在AB 的垂直平分线上的垂直平分线上线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的判定与一条线段两个端点距离相等的点，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上PAB C 判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。在这条线段的垂直平分线上。 性质定理：线段垂直平分线上

7、的点和这条线段两性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。个端点的距离相等。PA=PBPA=PB点点P P在线段在线段ABAB的垂直的垂直平分线上平分线上判定判定ABPC性质性质题设和结论正好相反，是互逆关系题设和结论正好相反，是互逆关系线段垂直平分线性质线段垂直平分线性质 （1 1）线段）线段ABAB的垂直平分线上的所有点都满的垂直平分线上的所有点都满 足足“与点与点A A、B B的距离相等的距离相等”这一条件吗？这一条件吗？ 线段的垂直平分线线段的垂直平分线可以看可以看作是作是 : _的的集合集合想一想想一想（2 2）满足）满足“与与A A、B B的距离相等的距离相等”的

8、所有点都的所有点都在线段在线段ABAB的垂直平分线上吗？的垂直平分线上吗？A AB BM MN ND D和线段两个端点距离相等的所有的点和线段两个端点距离相等的所有的点 纠错.互教 自学指导自学指导 自学课本P61页“探究”，理解线段垂直平分线的性质与判定定理，回答以下问题：回答以下问题： 1、如图线段如图线段MN被直线被直线AB垂直平分，则垂直平分，则ME=NEABMNE2、如图直线如图直线MN垂直平垂直平分线段分线段AB，则，则AE=AFABMEFN3、如图、如图PA=PB，则直线，则直线MN是线段是线段AB的垂直平分线。的垂直平分线。ABMNP解：解：AB = =AC，点点A 在在BC

9、的垂直平分线的垂直平分线MB = =MC， 点点M 在在BC 的垂直平分线上的垂直平分线上直线直线AM 是线段是线段BC 的垂直平分线的垂直平分线 4.4.如图，如图，AB = =AC，MB = =MC直线直线AM 是线段是线段BC 的的垂直平分线吗垂直平分线吗？A B C D M DCBEA解：解：DCBEADCBEA解解：解：解：ADBC，BD = =DC AD 是是BC 的垂直平分线的垂直平分线 AB = =AC点点C 在在AE 的垂直平分线上的垂直平分线上AC = =CE AB =AC =CE课堂练习课堂练习P62P627如图，如图，ADBC，BD = =DC，点点C 在在AE 的垂直

10、平的垂直平分线上，分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？的长度有什么关系？AB+ +BD与与DE 有什么关系有什么关系？A B C D E AB = =CE，BD = =DC，AB + +BD = =CD + +CE 即即AB + +BD = =DE 一个方法一个方法证明线段相等的新方法：利用证明线段相等的新方法：利用线段垂直平分线的性质。线段垂直平分线的性质。 两条定理两条定理线段垂直平分线上的点与线段线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等。两端的距离相等。与线段两端距离相等的点在这与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。条线段的垂直平分线上。 本节课你有什么收获？用一根木棒

11、和一根弹性均匀的橡皮筋，做用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一一 个简易的个简易的“弓弓”，“箭箭”通过木棒通过木棒中中央央的孔射出去，怎样才能保持射出去的方的孔射出去，怎样才能保持射出去的方向与木棒垂直呢？向与木棒垂直呢？只要只要AC=BCAC=BC就就可以了可以了ABC为什么？为什么？12.3 角的平分线角的平分线ODEABPC 在角的平分线上的点到这个角的在角的平分线上的点到这个角的两边的两边的距离相等距离相等。 到一个角的两边的到一个角的两边的距离相等距离相等的的点，在这个角的平分线上。点，在这个角的平分线上。 角的平分线是到角的角的平分线是到角的两边两边距离距离相等相等的所有点的集

12、合的所有点的集合 13.1 线段的垂直平分线线段的垂直平分线 线段垂直平分线上的点和这条线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的线段两个端点的距离相等距离相等。 和一条线段两个端点和一条线段两个端点距离相等距离相等的的点，在这条线段的垂直平分线上。点，在这条线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线可以看作是和线线段的垂直平分线可以看作是和线段段两个端点两个端点距离相等距离相等的所有点的集合的所有点的集合ABMNP点的集合是一条射线点的集合是一条射线点的集合是一条直线点的集合是一条直线 再 见！折纸折纸; 过中点做垂线过中点做垂线; 尺规作图法尺规作图法4.4.下列说法：若直线下列说法：若直线PE

13、PE是线段是线段ABAB的垂直平分线，则的垂直平分线，则EA=EBEA=EB，PA=PBPA=PB；若；若PA=PBPA=PB，EA=EBEA=EB，则直线，则直线PEPE垂直平分垂直平分线段线段ABAB；若；若PA=PBPA=PB，则点，则点P P必是线段必是线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上的点；若的点；若EA=EBEA=EB，则过点，则过点E E的直线垂直平分线段的直线垂直平分线段ABAB其其中正确的个数有（）中正确的个数有（）A A1 1个个 B B2 2个个 C C3 3个个 D D4 4个个C C课堂练习课堂练习 3 3、如图，、如图， A AB BM MN ND D自学指导

14、自学指导 自学课本P61页“探究”，理解线段垂直平分线的性质与判定定理，回答以下问题：回答以下问题： AB13.1 线段的垂直平分线线段的垂直平分线PA=PBP1P1A=P1B命题命题：线段垂直平分线上的：线段垂直平分线上的点点和和这条线段两个端这条线段两个端点点的距离相等。的距离相等。PMNC动手操作动手操作：如图在纸上画一条线段AB,通过对折后点A与点B重合，思考下列问题：（1）将纸展开后铺平，记折痕所在的直线为MN,直线MN与线段的交点为C,线段AC与BC的长度有什么关系？（2）直线MN与线段AB有怎样的位置关系？（3）在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：量一量：PAPA、PBPB的长，你能发现什么？的长，你能发现什么？由此你能得到什么由此你能得到什么规律规律？8课堂练习课堂练习4.如图，如图，在在ABC 中中，BC = =8，AB 的中垂线的中垂线 交交BC于于D，AC 的中垂线交的中垂线交BC 与与E，则则ADE 的周长等的周长等 于于_A B C D E 能力提升