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1、 第4节双曲线 【选题明细表】知识点、方法题号双曲线的定义1、4、8双曲线的标准方程3、5、9双曲线的几何性质2、10、11、12、13直线与双曲线的位置关系14、16综合应用问题6、7、15一、选择题1.设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于(B)(A)1(B)17(C)1或17(D)以上答案均不对解析:由双曲线定义|PF1|-|PF2|=8,又|PF1|=9,|PF2|=1或17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=21,|PF2|=17.故选B.2.(20xx年高考湖北卷)已知00,b0)的离心率e=2,且它的
2、一个顶点到较近焦点的距离为1,则双曲线C的方程为.解析:双曲线中,顶点与较近焦点距离为c-a=1,又e=2,两式联立得a=1,c=2,b2=c2-a2=4-1=3,方程为x2-=1.答案:x2-=110.(20xx合肥市第三次质检)已知点P是双曲线-=1(a0,b0)和圆x2+y2=a2+b2的一个交点,F1,F2是该双曲线的两个焦点,PF2F1=2PF1F2,则该双曲线的离心率为.解析:依题意得,线段F1F2是圆x2+y2=a2+b2的一条直径,故F1PF2=90,PF1F2=30,设|PF2|=m,则有|F1F2|=2m,|PF1|=m,该双曲线的离心率等于=+1.答案:+111.(20x
3、x年高考湖南卷)设F1,F2是双曲线C:-=1(a0,b0)的两个焦点.若在C上存在一点P,使PF1PF2,且PF1F2=30,则C的离心率为.解析:设点P在双曲线右支上,由题意,在RtF1PF2中,|F1F2|=2c,PF1F2=30,得|PF2|=c,|PF1|=c,根据双曲线的定义:|PF1|-|PF2|=2a,(-1)c=2a,e=+1.答案:+112.设F1、F2分别为双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为.解析:如图,由题意得|PF2|=|F1F2|=2c,
4、|F2M|=2a.在PF2M中,|PF2|2=|F2M|2+|PM|2,而|PM|=|PF1|,又|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2a+2c,即|PM|=a+c.|PF2|2=(2c)2=(2a)2+(a+c)2.又c2=a2+b2,=,渐近线方程为y=x,即4x3y=0.答案:4x3y=013.设点P在双曲线-=1(a,b0)的右支上,双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,若|PF1|=4|PF2|,则双曲线离心率的取值范围是.解析:由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=4|PF2|,所以4|PF2|-|PF2|=2a,所以|PF2|=a,|PF1|=a,所以整
5、理得ac,所以,即e,又e1,所以1e.答案:1e三、解答题14.已知双曲线x2-=1,过点P(1,1)能否作一条直线l,与双曲线交于A、B两点,且点P是线段AB的中点?解:法一设点A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,且线段AB的中点为(x0,y0),若直线l的斜率不存在,显然不符合题意.设经过点P的直线l的方程为y-1=k(x-1),即y=kx+1-k.由得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k20).x0=.由题意,得=1,解得k=2.当k=2时,方程成为2x2-4x+3=0.=16-24=-80,方程没有实数解.不能作一条直线l与双曲线交于A,B两点,
6、且点P(1,1)是线段AB的中点.法二设A(x1,y1),B(x2,y2),若直线l的斜率不存在,即x1=x2不符合题意,所以由题得-=1,-=1,两式相减得(x1+x2)(x1-x2)-=0,即2-=0,即直线l斜率k=2,得直线l方程y-1=2(x-1),即y=2x-1,联立得2x2-4x+3=0,=16-24=-8a0),O为坐标原点,离心率e=2,点M(,)在双曲线上.(1)求双曲线的方程;(2)若直线l与双曲线交于P,Q两点,且=0.求+的值.解:(1)e=2,c=2a,b2=c2-a2=3a2,双曲线方程为-=1,即3x2-y2=3a2.点M(,)在双曲线上,15-3=3a2.a2=4.所求双曲线的方程为-=1.(2)设直线OP的方程为y=kx(k0),联立-=1,得|OP|2=x2+y2=.则OQ的方程为y=-x,有|OQ|2=,+=.
高三数学 【文】一轮题型专练：双曲线含答案
