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1、复习专题一、 重要极限、无穷小的运算法则、高阶无穷小、等价无穷小代换、洛必达法则1_，_，_2设、是给定实数，则_3若，则_4若当时，是的高阶无穷小，则_5求极限_，_，_6【答案】10（无穷小与有界变量的乘积仍为无穷小），0（第一个重要极限），2（等价无穷小代换、第一个重要极限）错误解法：正确解法：（等价无穷小代换）（第一个重要极限）2（型未定式，第二个重要极限）3，型未定式，第二个重要极限，解答过程如下：，从而40（高阶无穷小、等价无穷小代换）5（型未定式，三次洛必达法则），（型未定式，四次洛必达法则），（型未定式）*二、 间断点的判定1设，则是函数的_(A)连续点(B)跳跃间断点(C)无
2、穷间断点(D)振荡间断点2有第一类间断点_，第二类间断点_【答案】1B，解题要点：，2，*三、 导数的定义1设存在，则_，_，_2设，则_3设在处可导，且，则_4设在处连续，且，求【答案】1（习题2-1第3题），236，解答过程如下：3，解答过程如下：交换分子、分母的位置，则4（习题2-1第4题）解：因为在处连续，所以，从而*四、 参数方程求导设由方程组确定了是的函数，求解法一：，于是当时，从而解法二：由方程(1)可得，代入方程(2)得，由隐函数求导法可得，于是当时，从而【备注】详细推导过程请参考2013-2014-1-高等数学-期中测验答案*五、 对数求导法【备注】习题2-4第3题*六、 积
3、分上限函数求导【备注】习题5-3第2、3、4、5、6、8题*七、 微分的求法1设，则_2设，其中可微，则_3设函数在上可微，且，函数在处的微分_【答案】1，解答过程如下：，其中2，解答过程如下：，两式相除即可3，解答过程如下： ，其中因为在处可微（从而连续），所以，且，从而*八、 单调区间、曲线的拐点1函数的单调减少区间为_2曲线的拐点是_【答案】1（注意：驻点是定义域中的点）2（注意：拐点是曲线上的点，而不是定义区间中的点）*九、 抽象函数的分部积分法【备注】习题4-3第3、4、6题，总复习四第2、3、4题总复习五第15、19、20、26、29题*十、 旋转体的体积1 求圆绕轴旋转一周而形成
4、的旋转体的体积，解法一：因为旋转轴是轴，所以选择作为积分变量，取值范围如下图所示，所求体积可以看作上、下半圆分别绕轴旋转形成的旋转体体积之差，对应的体积微元如图所示： 上半圆：，下半圆，解法二：本题可以选择作为积分变量，取值范围如下图所示，所求体积可以看作左、右半圆分别绕轴旋转形成的旋转体体积之和 ，对应的体积微元如图所示:右半圆：，左半圆体积微元（略去高阶无穷小）其中(对称区间，偶倍奇零)2求由曲线，所围成的图形绕轴旋转一周所产生的旋转体的体积解：所求的体积为两个旋转体的体积之差：*十一、 利用函数的单调性证明不等式1. 当时，解法一：构造辅助函数，则，因为当时无法直接判断、成立，所以需要进
5、一步利用三阶导数判断已知，所以当时，从而由函数的单调性与导数的关系可得，单调增加，且进一步单调增加，且再进一步，单调增加，且，即，原命题得证解法二：因为等价于，所以构造辅助函数，则显然单调增加，当时，故单调增加，且，即，原命题得证2. 当时，解：构造辅助函数，则当时，从而，但的符号无法直接判断构造辅助函数，则，这意味着单调增加，于是，原命题得证*十二、 利用闭区间上连续函数的介值定理、中值定理证明等式1设函数在上连续，在内可导，且，证明至少存在一点，使分析：因为，所以成立当且仅当成立利用凑微分的技巧，把等式的左边看作在处的导数值，即，于是本题可以转化为函数求驻点的问题证明：因为，所以由零点定理
6、可知，至少存在一点，使构造辅助函数，则，在上连续，在内可导，由罗尔定理可得，少存在一点，使，即，命题得证2设函数在上可导，且在内，证明在内有且仅有一个值适合分析：本题可以转化为方程求根或函数求零点的问题证明：构造辅助函数，因为在上可导（从而连续），所以一定在上取得最小值和最大值，分别设为和又因为，所以，从而，由介值定理可得，至少存在一点，使得，即下面证明的唯一性设存在不等于的另外一点满足不妨假设，则由罗尔定理可得，至少存在一点，使得这与题设条件“在内”矛盾，原命题得证3已知函数在上连续，在内可导，且，其中为不等于零的常数，证明：存在，使得；存在两个不同的，使得分析：本题可以转化为方程求根或函数
7、求零点的问题证明：(1)构造辅助函数，因为在上连续，又，所以由零点定理可得，存在，使得，既(2)在，上分别利用拉格朗日中值定理，得，两式相乘，并由(1)得，4设函数和在上连续，在内可导，且，证明：在内至少存在一点，使分析：构造辅助函数，使得或者与有关，则本题可以转化为函数求驻点的问题讨论微分方程，这是一个可分离变量的微分方程由分离变量法解得（为任意常数）若令，则显然当且仅当综上所述，对在上应用罗尔定理，命题得证*十三、 一、二阶线性微分方程的求解1微分方程满足的特解是_2求微分方程的通解3若三阶常系数齐次线性微分方程有解，则该微分方程为_【答案】1（常数变易法）2（，为任意常数）知识点：二阶常系数非齐次线性微分方程，特征方程法3，求解要点：方程通解为，从中看出特征根分别为，特征方程为，对应的齐次微分方程是11
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