校本课程数学建模讲义

《校本课程数学建模讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《校本课程数学建模讲义（8页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、校本课程数学建模讲义教学目标（1）让学生学会建立数学模型的一般方法和步骤。（2）学生在数学建模的过程中体验数学应用的广泛性，逐步锻炼培学生开放性的数学思维，增强数学的应用能力。教材分析（1）重点：培养学生开放性的数学思维，增强学生的数学应用能力。（2）难点：开放性的数学思维和数学应用意识。教学方法教师引导，学生探究。课时分配（6课时）数学建模概述 1课时第一节 数学建模(模型)概述主要内容一、什么是数学建模？二、建立数学模型的方法、步骤。三、开放性的数学思维.教学过程客房的定价问题一个星级旅馆有150个客房，经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到了一些数据：每间客房定价为160元时，住房率为55

2、%，每间客房定价为140元时，住房率为65%，每间客房定价为120元时，住房率为75%，每间客房定价为100元时，住房率为85%。欲使旅馆每天收入最高，每间客房应如何定价？简化假设（1）每间客房最高定价为160元；（2）设随着房价的下降，住房率呈线性增长；（3）设旅馆每间客房定价相等。建立模型设y表示旅馆一天的总收入，与160元相比每间客房降低的房价为x元。由假设（2）可得，每降价1元，住房率就增加。因此由可知于是问题转化为：当时，y的最大值是多少？求解模型利用二次函数求最值可得到当x=25即住房定价为135元时，y取最大值13668.75（元），讨论与验证（1）容易验证此收入在各种已知定价对

3、应的收入中是最大的。如果为了便于管理，定价为140元也是可以的，因为此时它与最高收入只差18.75元。（2）如果定价为180元，住房率应为45%，相应的收入只有12150元，因此假设（1）是合理的。设计意图与师生活动通过一个比较简单的二次函数应用题让学生初步了解数学建模与解应用题的了解。教学过程摩天大楼中电线的电阻测量问题课题 ：在一摩天大楼里有三根电线从底层控制室通向顶楼，但由于三根电线各处的转弯不同而有长短，因此三根电线的长度均未知，现在电工师傅为了在顶楼安装电气设备，需要知道这三根电线的电阻，问如何测量？相关知识背景：伏安法测电阻1.原理：伏安法测电阻的原理是欧姆定律，只要测出通过待测电

4、阻的电流和两端的电压，然后根据R=U/I就可得到待测电阻的阻值.2.电路：测量电路有电流表外接法图10-3-1（a）和电流表内接法图10-3-1（b）两种选择.图10-3-1（1）当用电流表外接法时，电阻测量值小于真实值；当用电流表内接法时，电阻测量值大于真实值.（2）若待测电阻Rx远小于电压表的内阻，即待测电阻Rx为小电阻时，宜采用电流表外接法；若待测电阻Rx远大于电流表的内阻，即待测电阻Rx为大电阻时，宜采用电流表内接法.模型假设（1）设三根电线ad,be,cf电阻分别为R1,R2,R3;如图所示abcdef(2)摩天大楼中的三根电线长度比较大，可视为待测电阻Rx远大于电流表的内阻，即待测

5、电阻Rx为大电阻时，采用电流表内接法测电阻。模型建立：用导线连接ab端，可通过伏安法（电流表内接法）测得电阻为Rx;用导线连接bc端，可通过伏安法（电流表内接法）测得电阻为Ry;用导线连接ac端，可通过伏安法（电流表内接法）测得电阻为Rz;为方便求解问题其中用来连接电线端点处的导线由于长度远远小于三根电线的长度，故其电阻暂且忽略不计。得到方程组如下： 模型求解：用消元法求出上述方程组的解为:建立数学模型的一般方法、步骤1建模准备 要了解问题的实际背景、明确建立模型的目的，掌握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际对象的特征，总之，是要做好建立模型的准备工作。这一步往往要大量查阅资料，以便对问题有

6、透彻的了解。2模型假设 根据实际对象的特性和建模的目的，对问题进行必要的简化，并且用精确的语言做出假设，是建立模型的第二步，也可以说是关键的一步。有时，假设做得过于详细，试图把复杂的实际现象的各个因素都考虑进去，可能使你很难继续下一步的工作。所以，要善于辨别问题的主要和次要方面，抓住主要因素，抛弃次要因素，尽量将问题均匀化、线性化。3建立模型 根据所做的假设，利用适当的数学工具，建立各个量之间的等式或不等式关系，列出表格，画出图形或确定其它数学结构，是建立数学模型的第三步。建模时尽量采用简单的数学工具，以便使更多的人了解和使用。4模型求解对以上建立的模型进行数学上的求解，包括解方程、画图形、证

7、明定理以及逻辑运算等，会用到传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。5模型分析对上边求得的模型结果进行数学上的分析。有时是根据问题的性质，分析各变量之间的依赖关系或稳定性态；有时则根据所得结果给出数学上的预测；有时则是给出数学上的最优决策或控制。6模型检验这一步是把模型分析的结果“翻译”回到实际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性和适用性。显而易见，这一步对于模型的成败是非常重要的，并且是必不可少的。当然，诸如核战争等问题的模型就不可能要求接受实际的检验。如果检验结果不符合或部分不符合实际情况，那么我们必须回到建模之初，修改、补充假设，重新建模，即再按上述步骤做到模型检验这一步；如果检

8、验结果与实际情况相符，则可进行最后的工作模型应用。如图通过一个生活中跟物理相关的数学建模案例让学生进一步了解数学建模可以解决很多生活中的实际应用问题。教学过程问题一：魔术师猜牌的表演过程是这样的：表演者手里持有6张扑克牌（不含王牌和牌号数相同的牌），叫6位观众每人从他手里任摸1张，并嘱咐摸牌时看清和记住自己的牌号数。牌号数是这样规定的：A为1，J为11，Q为12，K为13，其余的以牌上的数值为准，然后，表演者叫他们按如下的方法进行计算：将自己的牌号数乘2加3后乘5，再减去25。把计算结果告诉表演者（要求数值绝对准确），表演者便能立即准确地猜出你拿的是什么牌。请你利用所学的函数知识解释这种现象。

9、问题二：例1.某人平时下班总是按预定时间到达某处，然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？ 问题三：例2.某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回A地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。附：课堂师生活动学生刚接触到这两个题目时感到有些无从下手：与他们平时所见到的应用题最大的区别在于这两个题目给出的条件、信息太少，有很多不确定的因素，导致学生提取不到相关的数学知识来解决问题。这时老师的启发引导很重要。对于例1老

10、师引导学生：为了更好的分析问题，可以作如下简单的假设：（1）假设此人平时下班总是在下午5点到达A点，而妻子也在下午5点到达A处然后接他回家。（2）此人有一天提早30分钟，即下午4.30到达A处，而妻子仍将如平时在下午5点到达A点。问题分析：假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟有了例1的启发，学生在研究例2时思维更开放，提出了很多思考的方法：学生一： （1）假设此人第一天在t1

11、时刻从A点出发，速度为v1,在t2时刻到达B点；第二天在t3时刻从B点出发，速度为v2，在t4时刻到达A点。（2）假设此人都在两天中的t时刻到达某点C从而将问题转换成求解t的时间路程问题，建立方程组如下： （1）从上述方程组中求解得到t的表达式 （2）对于学生一的解决思路，师生讨论后发现问题：（1）此人从A地到达B地和从B地返回到A地的过程中速度不一定是很定不变的，即不一定是匀速运动，这一点题目条件也并没有给出，但上述解答过程却是在假定匀速的前提下求解的，这一种假设就很不合理。（2）按照此题求解的结果可以看出这样的一个时刻似乎肯定存在，因为（2）式中的t始终有解。但我们能举出反例：如果此人第一

12、天上午8点从A地出发11点到达B地，第二天13点从B地出发16点到达A地，这种情况下此人不可能在同一时刻都到达某地。也就是说学生一的建模方法存在问题，如何加以改进是师生共同探讨的问题。问题（1）中的速度问题教师引导学生可以用微积分解决变速问题。问题（2）中时间t的存在条件问题，学生经过再思考又提出了如下条件： 经过以上探讨过程的启发，又有学生提出了以下解决思路：学生二：既然此人的行进速度不恒定，函数关系不好确定，可以从函数图像的角度进行定性分析：不管此人是否匀速行进，只要满足条件，画两条函数必定产生交点A(t，s1)即此人在同一时刻t两天都到达了某处。如图tsA教师点评：学生二的做法避开了速度

13、与路程时间的具体的函数关系式的复杂性，从图像有交点的角度分析出了时刻t存在的条件，既简单又明了。学生三：既不用列方程组也无需画图像，只转换了思考问题的方式就找到了问题的结果：把原问题中第二天的返回改变成另一人在同一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。教师点评：学生三的思考方式更灵活。知识是有限的，而想象力和创造力却可使知识无限地延展。在对实际问题进行建模的过程中，必须善于从习惯的思维模式中跳出来，敢于向传统知识挑战，尝试一种与解决数学问题不同的经历，建立更为开创、综合、灵活的学习方法。从这种意义上讲，掌握开放性的数学思维的方法比获得严谨的理论知识更为重要。通过这两个题目启发锻炼学生的开放性数学思维并初步体验数学建模过程中的关键步骤。友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！8 / 8