同济高数教案

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1、-第一章 函数与极限教学目的：1、 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2、 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3、 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4、 掌握根本初等函数的性质及其图形。5、 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6、 掌握极限的性质及四则运算法则。7、 了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8、 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比拟方法，会用等价无穷小求极限。9、 理解函数连续性的概念含左连续与右连续，会判别函数连续点

2、的类型。10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质有界性、最大值和最小值定理、介值定理，并会应用这些性质。教学重点：1、 复合函数及分段函数的概念；2、 根本初等函数的性质及其图形；3、 极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、 两个重要极限；5、 无穷小及无穷小的比拟；6、 函数连续性及初等函数的连续性；7、 区间上连续函数的性质。教学难点：1、 分段函数的建立与性质；2、 左极限与右极限概念及应用；3、 极限存在的两个准则的应用；4、 连续点及其分类；5、 闭区间上连续函数性质的应用。1. 1 映射与函数 一、集合1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有*种

3、特定性质的事物的总体. 用A, B, C.等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为aM. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A=a, b, c, d, e, f, g. 描述法: 假设集合M是由元素具有*种性质P的元素*的全体所组成, 则M可表示为A=a1, a2, , an, M=* | *具有性质P. 例如M=(*, y)| *, y为实数, *2+y2=1. 几个数集: N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N=0, 1, 2, , n, . N+=1, 2, , n, . R表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z表示

4、所有整数构成的集合, 称为整数集. Z= , -n, , -2, -1, 0, 1, 2, , n, . Q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. 子集: 假设*A, 则必有*B, 则称A是B的子集, 记为AB(读作A包含于B)或BA . 如果集合A与集合B互为子集, AB且BA, 则称集合A与集合B相等, 记作A=B. 假设AB且AB, 则称A是B的真子集, 记作AB . 例如, NZQR. 不含任何元素的集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算设A、B是两个集合, 由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并), 记作AB, 即AB=*|*

5、A或*B. 设A、B是两个集合, 由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交), 记作AB, 即AB=*|*A且*B. 设A、B是两个集合, 由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差), 记作AB, 即AB=*|*A且*B. 如果我们研究*个问题限定在一个大的集合I中进展, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此时, 我们称集合I为全集或根本集. 称IA为A的余集或补集, 记作AC. 集合运算的法则: 设A、B、C为任意三个集合, 则(1)交换律AB=BA, AB=BA; (2)结合律 (AB)C=A(BC), (AB)C=A(BC); (3)分配律 (

6、AB)C=(AC)(BC), (AB)C=(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C=ACBC. (AB)C=ACBC的证明: *(AB)C*AB*A且*B*AC且*BC*ACBC, 所以(AB)C=ACBC. 直积(笛卡儿乘积): 设A、B是任意两个集合, 在集合A中任意取一个元素*, 在集合B中任意取一个元素y, 组成一个有序对(*, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积, 记为AB, 即AB=(*, y)|*A且yB. 例如, RR=(*, y)| *R且yR 即为*Oy面上全体点的集合, RR常记作R2.3. 区间和邻

7、域有限区间: 设ab, 称数集*|a*b为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b)=*|a*b. 类似地有 a, b = * | a *b 称为闭区间, a, b) = * | a*b 、(a, b = * | a*b 称为半开区间. 其中a和b称为区间(a, b)、a, b、a, b)、(a, b的端点, b-a称为区间的长度. 无限区间: a, +) = * | a* , (-, b = * | * b , (-, +)=* | | * | +. 区间在数轴上的表示: 邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a). 设d是一正数, 则称开区间(a-d, a+d)为点

8、a的d邻域, 记作U(a, d), 即 U(a, d)=* | a-d * a+d=* | | *-a|d. 其中点a称为邻域的中心, d称为邻域的半径. 去心邻域(a, d): (a, d)=* |0| *-a |1时, y=1+*. 例如; ; f(3)=1+3=4. 2. 函数的几种特性(1)函数的有界性设函数f(*)的定义域为D, 数集*D. 如果存在数K1, 使对任一*, 有f(*)K1, 则称函数f(*)在*上有上界, 而称K1为函数f(*)在*上的一个上界. 图形特点是y=f(*)的图形在直线y=K1的下方. 如果存在数K2, 使对任一*, 有f(*) K2, 则称函数f(*)在

9、*上有下界, 而称K2为函数f(*)在*上的一个下界. 图形特点是, 函数y=f(*)的图形在直线y=K2的上方. 如果存在正数M, 使对任一*, 有| f(*) |M, 则称函数f(*)在*上有界;如果这样的M不存在, 则称函数f(*)在*上无界. 图形特点是, 函数y=f(*)的图形在直线y=- M和y =M的之间. 函数f(*)无界, 就是说对任何M, 总存在*1*, 使| f(*) | M. 例如 (1)f(*)=sin *在(-, +)上是有界的: |sin *|1. (2)函数在开区间(0, 1)内是无上界的. 或者说它在(0, 1)内有下界, 无上界. 这是因为, 对于任一M1,

10、总有*1: , 使, 所以函数无上界. 函数在(1, 2)内是有界的. (2)函数的单调性设函数y=f(*)的定义域为D, 区间ID. 如果对于区间I上任意两点*1及*2, 当*1*2时, 恒有f(*1) f(*2), 则称函数f(*)在区间I上是单调增加的. 如果对于区间I上任意两点*1及*2, 当*1 f(*2), 则称函数f(*)在区间I上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 函数单调性举例: 函数y=*2在区间(-, 0上是单调增加的, 在区间0, +)上是单调减少的, 在-, +上不是单调的. (3)函数的奇偶性设函数f(*)的定义域D关于原点对称(即假设*D,

11、则-*D). 如果对于任一*D, 有f(-*) =f(*), 则称f(*)为偶函数. 如果对于任一*D, 有f(-*) =-f(*), 则称f(*)为奇函数. 偶函数的图形关于y轴对称, 奇函数的图形关于原点对称, 奇偶函数举例: y=*2, y=cos *都是偶函数. y=*3, y=sin *都是奇函数, y=sin *+cos *是非奇非偶函数. (4)函数的周期性设函数f(*)的定义域为D. 如果存在一个正数l , 使得对于任一*D有(*l)D,且f(*+l) =f(*)则称f(*)为周期函数, l称为f(*)的周期. 周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为l的区间上,

12、函数的图形有一样的形状. 3反函数与复合函数反函数: 设函数f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射f-1: f(D)D, 称此映射f-1为函数f的反函数. 按此定义, 对每个yf(D), 有唯一的*D, 使得f(*)=y, 于是有f-1(y)=*. 这就是说, 反函数f-1的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的. 一般地, y=f(*), *D的反函数记成y=f-1(*), *f(D). 假设f是定义在D上的单调函数, 则f : Df(D)是单射, 于是f的反函数f-1必定存在, 而且容易证明f-1也是f(D)上的单调函数. 相对于反函数y=f-1(*)来说, 原来的函数y=f(*)称

13、为直接函数. 把函数y=f(*)和它的反函数y=f-1(*)的图形画在同一坐标平面上, 这两个图形关于直线y=*是对称的. 这是因为如果P(a, b)是y=f(*)图形上的点, 则有b=f(a). 按反函数的定义, 有a=f-1(b), 故Q(b, a)是y=f-1(*)图形上的点; 反之, 假设Q(b, a)是y=f-1(*)图形上的点, 则P(a, b)是y=f(*)图形上的点. 而P(a, b)与Q(b, a)是关于直线y=*对称的. 复合函数: 复合函数是复合映射的一种特例, 按照通常函数的记号, 复合函数的概念可如下表述. 设函数y=f(u)的定义域为D 1, 函数u=g(*)在D上

14、有定义且g(D) D 1, 则由下式确定的函数y=fg(*), *D称为由函数u=g(*)和函数y=f(u)构成的复合函数, 它的定义域为D, 变量u称为中间变量. 函数g与函数f构成的复合函数通常记为, 即 ()=fg(*). 与复合映射一样, g与f构成的复合函数的条件是: 是函数g在D上的值域g(D)必须含在f的定义域Df内, 即g(D)Df. 否则, 不能构成复合函数. 例如, y=f(u)=arcsin u, 的定义域为-1, 1, 在上有定义, 且g(D)-1, 1, 则g与f可构成复合函数, *D; 但函数y=arcsin u和函数u=2+*2不能构成复合函数, 这是因为对任*R

15、, u=2+*2均不在y=arcsin u的定义域-1, 1内. 多个函数的复合: 4. 函数的运算设函数f(*), g(*)的定义域依次为D 1, D 2, D=D 1D 2, 则我们可以定义这两个函数的以下运算: 和(差)fg : (fg)(*)=f(*)g(*), *D; 积fg : (fg)(*)=f(*)g(*), *D;商: , *D*|g(*)=0. 例11设函数f(*)的定义域为(-l, l), 证明必存在(-l, l)上的偶函数g(*)及奇函数h(*), 使得f(*)=g(*)+h(*). 分析如果f(*)=g(*)+h(*), 则f(-*)=g(*)-h(*), 于是, .

16、 证作, , 则f(*)=g(*)+h(*), 且, . 5. 初等函数根本初等函数: 幂函数: y=*m (mR是常数); 指数函数: y=a*(a0且a1); 对数函数: y=loga* (a0且a1, 特别当a=e时, 记为y=ln *);三角函数: y=sin *, y=cos *, y=tan *, y=cot *, y=sec *, y=csc *; 反三角函数: y=arcsin *, y=arccos *, y=arctan *, y=arccot * . 初等函数: 由常数和根本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数.

17、 例如, y=sin2*, 等都是初等函数. 双曲函数: 双曲正弦: ; 双曲余弦: ; 双曲正切: . 双曲函数的性质: sh(*+y)=sh *ch ych *sh y; ch(*y)=ch *ch ysh *sh y. ch2*-sh2*=1; sh2*=2sh *ch *; ch2*=ch2*+sh2* . 下面证明 sh(*+y)=sh *ch y+ch *sh y: . 反双曲函数: 双曲函数y=sh *, y=ch *(*0), y=th *的反函数依次为反双曲正弦: y=arsh *; 反双曲余弦: y=arch *; 反双曲正切: y=arth * . 反双曲函数的表示达式:

18、 y=arsh *是*=sh y的反函数, 因此, 从中解出y来便是arsh * . 令u=ey, 则由上式有u 2-2*u-1=0. 这是关于u的一个二次方程, 它的根为. 因为u=ey0, 故上式根号前应取正号, 于是. 由于y=ln u, 故得. 函数y=arsh *的定义域为(-, +), 它是奇函数, 在区间(-, +)内为单调增加的. 类似地可得, . 1.2 数列的极限一个实际问题:如可用渐近的方程法求圆的面积？ 设有一圆, 首先作内接正四边形, 它的面积记为A1；再作内接正八边形, 它的面积记为A2；再作内接正十六边形, 它的面积记为A3；如此下去, 每次边数加倍, 一般把内接

19、正82n-1边形的面积记为An. 这样就得到一系列内接正多边形的面积:A1,A2,A3,An,设想n无限增大记为n, 读作n趋于穷大, 即内接正多边形的边数无限增加, 在这个过程中, 内接正多边形无限接近于圆, 同时An也无限接近于*一确定的数值, 这个确定的数值就理解为圆的面积. 这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数数列 A1,A2,A3,An,当n时的极限.数列的概念:如果按照*一法则, 使得对任何一个正整数n 有一个确定的数*n, 则得到一列有次序的数*1,*2,*3,*n,这一列有次序的数就叫做数列, 记为*n, 其中第n项*n叫做数列的一般项.数列的例子: :, ; 2n: 2,

20、 4, 8, 2n,;:,;(-1)n+1:1,-1,1,(-1)n+1,;:2,.它们的一般项依次为, 2n,(-1)n+1,.数列的几何意义:数列*n可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点*1,*2,*3,*n,.数列与函数:数列*n可以看作自变量为正整数n 的函数:*n=f (n),它的定义域是全体正整数.数列的极限:数列的极限的通俗定义：对于数列*n, 如果当n无限增大时, 数列的一般项*n无限地接近于*一确定的数值a, 则称常数a是数列*n的极限, 或称数列*n收敛a. 记为. 如果数列没有极限, 就说数列是发散的.例如,;而2n, (-1)n+1, 是发散的.对无限接近的刻

21、划:*n无限接近于a等价于|*n-a|无限接近于0,极限的准确定义:定义 如果数列*n与常a有以下关系:对于任意给定的正数e (不管它多么小), 总存在正整数N, 使得对于n N时的一切*n, 不等式 |*n-a|0, $NN+, 当nN时, 有|*n-a|0,要使|*n-1|0, $N+, 当nN时,有 |*n-1|=,所以.例2.证明.分析:|*n-0|.对于e0,要使|*n-0|0,$N+,当nN时,有|*n-0|=,所以.例3.设|q |0,要使 |*n-0|=| qn-1-0|=|q| n-1log|q|e+1就可以了,故可取N=log|q|e+1。证明:因为对于任意给定的e 0,存

22、在N= log|q|e+1,当nN时, 有| qn-1-0|=|q| n-1e,所以.收敛数列的性质:定理1(极限的唯一性)数列*n不能收敛于两个不同的极限.证明:假设同时有及,且a0,存在充分大的正整数N,使当nN时,同时有|*n-a|及|*n-b|N时的一切*n,不等式|*n-a|N时, |*n|=|(*n-a)+a| | *n-a|+|a|0(或aN时, 有*n0(或*n0的情形证明. 由数列极限的定义, 对, $NN+, 当nN时, 有,从而. 推论 如果数列*n从*项起有*n0(或*n0), 且数列*n收敛于a, 则a0(或a0).证明 就*n0情形证明. 设数列*n从N1项起, 即

23、当nN 1时有*n0. 现在用反证法证明, 或a N 2时, 有*nN时, 按假定有*n0, 按定理3有*n0,$NN+,当nN时,有|*n-a|K时,nkkK=N.于是|-a|N时, 有|*n-a|e 0. 是否有*na (n). 2.如果数列*n收敛,则数列*n一定有界.发散的数列是否一定无界 有界的数列是否收敛 3. 数列的子数列如果发散, 原数列是否发散 数列的两个子数列收敛, 但其极限不同, 原数列的收敛性如何发散的数列的子数列都发散吗？4如何判断数列 1,-1, 1,-1, (-1)N+1,是发散的？1. 3 函数的极限一、函数极限的定义 函数的自变量有几种不同的变化趋势:*无限接

24、近*0:*0,*从*0的左侧(即小于*0)无限接近*0:*0-,*从*0的右侧(即大于*0)无限接近*0:*0+,*的绝对值|*|无限增大:*,*小于零且绝对值|*|无限增大:*-,*大于零且绝对值|*|无限增大:*+.1自变量趋于有限值时函数的极限通俗定义:如果当*无限接近于*0,函数f(*)的值无限接近于常数A, 则称当*趋于*0时,f(*)以A为极限.记作f(*)=A或f(*)A(当*).分析:在*0的过程中,f(*)无限接近于A就是|f(*)-A|能任意小, 或者说, 在*与*0接近到一定程度(比方|*-*0|d,d为*一正数)时,|f(*)-A|可以小于任意给定的(小的)正数e ,

25、即|f(*)-A|e . 反之, 对于任意给定的正数e, 如果*与*0接近到一定程度(比方|*-*0|d,d为*一正数)就有|f(*)-A|e, 则能保证当*0时,f(*)无限接近于A.定义1 设函数f(*)在点*0的*一去心邻域内有定义. 如果存在常数A, 对于任意给定的正数e (不管它多么小), 总存在正数d, 使得当*满足不等式0|*-*0|d 时, 对应的函数值f(*)都满足不等式 |f(*)-A|0,$d0, 当0|*-*0|d时, |f(*)-A|0, 可任取d0 ,当0|*-*0|d 时,有|f(*)-A|=|c-c|=00,要使|f(*)-A|e , 只要|*-*0|0,$d

26、=e, 当0|*-*0|d 时, 有|f(*)-A|=|*-*0|0, 要使|f(*)-A|0,$d=e/2, 当0|*-1|d 时, 有|f(*)-A|=|(2*-1)-1|=2|*-1|0, 要使|f(*)-A|e,只要|*-1|0,$d=e , 当0|*-1|d 时, 有| f(*)-A|=|*-1|0,$d 0,*:*0-d*0,有|f(*)-A|0,$d 0,*:*0*0+d,有|f(*)-A|*时, 对应的函数数值f(*)都满足不等式|f(*)-A|0,$*0, 当|*|*时, 有|f(*)-A|0,要使|f(*)-A|0,$,当|*|*时,有,所以.直线y=0 是函数的水平渐近线

27、.一般地,如果,则直线y=c称为函数y=f(*)的图形的水平渐近线.二、函数极限的性质定理1(函数极限的唯一性)如果极限存在,则这极限唯一.定理2(函数极限的局部有界性) 如果f(*)A(*0),则存在常数M0和d,使得当0|*-*0|0,当0|*-*0|d时,有|f(*)-A|e=1,于是 |f(*)|=|f(*)-A+A|f(*)-A|+|A|1+|A|.这就证明了在*0的去心邻域*| 0|*-*0|0(或A0,使当0|*-*0|0(或f(*)0的情形证明. 因为, 所以对于,$d 0,当0|*-*0|0.定理3如果f(*)A(*0)(A0),则存在点*0的*一去心邻域,在该邻域内,有.推

28、论如果在*0的*一去心邻域内f(*)0(或f(*)0),而且f(*)A(*0),则A0(或A0).证明:设f(*)0.假设上述论断不成立,即设A0,则由定理1就有*0的*一去心邻域,在该邻域内f(*)0,$d0, 当0|*-*0|d 时,有|f(*)-A|0,$NN+, 当nN时, 有|*n-*0|N时,0|*n-* 0|d, 从而|f(*n)-A|0,$ d0, 使当0|*-*0|d 时, 有|f(*)-A|0,$ d0, 使当0|*-*0|d , 有|a|e或|f(*)-A|0,$ d0, 使当0|*-*0|d , 有f(*)-A|e , 就有|a|0,$ d0, 使当0|*-*0|d ,

29、 有|a|e , 就有f(*)-A|0,$d 0,当0|*-|M.正无穷大与负无穷大:,.例2 证明. 证 因为M0,$, 当0|*-1|0,当0|*-|d 时,有,由于当0|*-|0,当0|*-|0,$d 0,当0|*- *0|d 时, 有|f(*)|0,$d 0,当0|*- *0|M, 即, 所以f(*)0(*0).1. 6 极限运算法则定理1有限个无穷小的和也是无穷小.例如,当*0时,*与sin *都是无穷小,*+sin *也是无穷小.简要证明:设a及b是当*0时的两个无穷小,则e0,$d10及d20,使当0|*-*0|d1 时,有|a|e;当0|*-*0|d2 时,有|b|e.取d=m

30、ind1,d2,则当0|*-*0|d时,有|a+b|a|+|b|0.因为a是当*0时的无穷小,对于0存在着d10,当0|*-*0|d1时,不等式|a|0存在着d20,当0|*-*0|d2时,不等式|b|成立.取d=mind1,d2,则当0|*-*0|d 时, |a|及|b|同时成立,从而|g|=|a+b|a|+|b|+=e.这就证时了g也是当*0时的无穷小.定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.简要证明:设函数u在*0的*一去心邻域*|0|*-*0|0,使当0|*-*0|0.存在d20,使当0|*-*0|d 2时,有|a|e.取d=mind1,d2,则当0|*-*0|d 时, 有|ua|Me.

31、这说明ua 也是无穷小.例如,当*时,是无穷小, arctan *是有界函数,所以arctan *也是无穷小.推论1常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理3 如果lim f (*)=A, lim g (*)=B,则 (1) lim f (*)g(*) = lim f (*) lim g (*) =AB; (2) lim f (*)g(*) = lim f (*) lim g (*) =AB; (3)(B0).证明(1):因为lim f (*)=A, lim g (*)=B,根据极限与无穷小的关系,有f (*)=A+a,g (*)=B+b,其中a及b为无穷小.于是

32、f (*) g (*)=(A + a) (B + b) = (AB) + (a b),即f (*) g (*)可表示为常数(AB)与无穷小(a b)之和.因此lim f (*) g (*) = lim f (*) lim g (*) = AB .推论1 如果lim f (*)存在,而c为常数,则lim cf (*)=c lim f (*).推论2如果lim f (*)存在,而n是正整数,则lim f (*)n=lim f (*)n.定理4 设有数列*n和yn.如果,则 (1); (2); (3)当(n=1, 2,)且B0时,.定理5 如果j(*)f(*),而lim j(*)=a, lim y(

33、*)=b,则ab.例1.求.解:.讨论:假设,则提示:=a0*0n+a1*0n-1+an=P(*0).假设,则.例2.求.解:.提问:如下写法是否正确？.例3.求.解:.例4.求.解:,根据无穷大与无穷小的关系得=.提问:如下写法是否正确？.讨论:有理函数的极限提示:当时,.当且时,.当Q(*0)=P(*0)=0时,先将分子分母的公因式(*-*0)约去.例5. 求.解:先用*3去除分子及分母,然后取极限:.例6. 求.解:先用*3去除分子及分母,然后取极限:.例7.求.解:因为,所以.讨论:有理函数的极限提示:.例8.求.解:当*时,分子及分母的极限都不存在,故关于商的极限的运算法则不能应用.

34、因为,是无穷小与有界函数的乘积,所以.定理8(复合函数的极限运算法则)设函数y=fg(*)是由函数y=f(u)与函数u=g(*)复合而成,fg(*)在点*0的*去心邻域内有定义,假设,且在*0的*去心邻域内g(*)u 0,则.定理8(复合函数的极限运算法则)设函数y=fg(*)是由函数y=f(u)与函数u=g(*)复合而成,fg(*)在点*0的*去心邻域内有定义.假设g(*)u0(*0),f(u)A(uu0),且在*0的*去心邻域内g(*)u0,则.简要证明 设在*|0|*-*0|0,$d0, 当0|*-*0|d时, 有|fg(*)-A|0,$h0, 当0|u-u0|h时, 有|f(u)-A|

35、0,$d10, 当0|*-*0|d1时, 有|g(*)-u0|h.取d=mind0,d1, 则当0|*-*0|d时, 0|g(*)-u0|h, 从而|fg(*)-A|=|f(u)-A|0,$N 10, 当nN1时, 有|yn-a|0, 当nN2时, 有|zn-a|N时, 有|yn-a|e,|zn-a|e 同时成立, 即a-eyna+e,a-eznN时, 有a-eyn*nzna+e,即 |*n-a|0,$N0, 当nN时, 有 |yn-a|e及|zn-a|e,即有a-eyna+e,a-ezna+e,由条件(1), 有a-eyn*nzna+e,即 |*n-a|e.这就证明了.准则I如果函数f(*)、g(*)及h(*)满足以下条件:OC