A-对象在一阶逻辑中的引入及其语义

《A-对象在一阶逻辑中的引入及其语义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《A-对象在一阶逻辑中的引入及其语义（11页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、A-对象在一阶逻辑中的引入及其语义哲学系逻辑学04硕 臧勇 10423029一、问题的产生集合论中，我们熟悉的一个定理是“所有良序集都同构于一个唯一的序数”，我们进行论证，通常是采取这种方式“任取一个良序集，按如下方式构造一个与其同构的序数”，然后经过一系列的步骤，完成这个论证。再例如下面这个常见的例子。设想在欧氏几何中我们要证明“所有的三角形其内角和都是180度”，我们会按如下步骤进行：设ABC是一个三角形，然后画出辅助线，并依据平行线公理，证得ABC内角和是180度，然后得出结论“所有三角形其内角和都是180度”。一般的，在数学论证中，面对一个全称命题，我们经常会采用这种方式展开：要证对所

2、有对象P成立，任取一个对象a，然后经过一段论证，得到Pa，则得出结论对所有对象成立。这里自然会引发出一系列的问题，比如：这里的ABC是什么？是否是某个三角形的专名（proper name）？还是三角形这个类的通名？直观上看来，这个ABC指某个三角形，但又不指一个特定的、带有特殊性质的三角形这里涉及的是一个“任意的”三角形，否则我们无法从它做出全称概括。那么，这样的任意三角形是什么？它属于三角形的类吗？一般而言，一个与某个类相关的任意对象是什么？在对这些问题展开讨论以前，先介绍一个带有A-对象（arbitrary objects）的一阶逻辑系统，以求对问题有进一步的了解。这个系统把“任意的某某”

3、作为语义上的对象来处理。准确地说，这是一个带有A-名字的一阶逻辑系统，作为语义的A-对象，在语法系统中表现为A-名字（A-names）或者A-字母（A-letters），具体内容如下。二、一个引入A-名字的一阶逻辑系统Lemmon在其逻辑初步（1981）中，构造了一个带有A-名字的一阶逻辑系统。其基本构造如下在：首先，引入专名(proper name)，标记如下：m，n，。其次，引入A-名字（arbitrary name），标记如下：a，b，c，。第三，引入个体变元（individual variable），标记如下：x，y，z，。第四，引入谓词符号（predicate-letter），标记如

4、下：F，G，H，。第五，引入存在量词符号$。第六，定义一个项（term）为一个专名或A-名字。第七，定义一个符号（symbol）为一个括号，逻辑联结词，项，个体变元，谓词符，或者存在量词符。第八，定义公式（formula）为任一符号序列（any sequence of symbols）。完成这几个步骤以后，就需要对合式公式（well-formed formula）进行定义。为此，作者先对原子句（atomic sentence）进行了定义。在元语言意义上，P是一个n元谓词，t1，,tn是n个项，则Pt1tn称为一个原子句。注意，按此定义，以前我们熟悉的Fx不是原子句，因为个体变元x不是项。由此，

5、可以归纳定义合式公式如下：基始条件：任何原子句都是合式公式。归纳条件：1.若A式合式公式，则A是合式公式。2.若A和B是合式公式，则(AB),(AB),(AB),(AB)是合式公式。3.若A(t)是包括一个项t的合式公式，v是在A(t)中不出现的变元，A(v) 是取代A(t)中至少一处t后得到的公式，则(v)A(v)是合式公式。4.若v是某个体变元，A(v)是3中的公式，则($v)A(v)是合式公式。封闭条件：除去以上方式以外得到的公式，都不是合式公式。根据上面的规定，按3或者4，(x)(FxGx)或者($x)(FxGx)即可视为由某FaGa经过替换得到的合式公式。其中(x)即通常意义上的全称

6、量词，($x)即通常意义上的存在量词。公式序列、推演和其他推导规则同命题逻辑中自然推演系统里的规定，此处不再详举。现在我们着重要了解的是其特殊的一阶推导规则。一共有四条规则，分别是全称消去UE，存在引入EI，全称引入UI，和存在消去EE，分别如下：UE和EI：($v) A(v)是一个公式，t是一个项，A(t)是用t取代A(v)中所有并且只是v出现后得到的公式，则给定(v)A(v)，按照UE，我们可以得到A(t)。类似地，若给定A(t)，我们可以得到($v)A(v)。UI和EE：若A(e)是一个带A-名字e的合式公式，v是不出现在A(e)中的变元，A(v)是用v取代A(e)中所有并且只是e出现后

7、得到的公式，则给定A(e)，并且e不在A(e)所依赖的假设中出现，那么按照UI，我们可以得到(v)A(v)。类似地，给定($v)A(v)，和以A(e)为假设由某个证明得到的一合式公式C，若e不在C中或C依赖的除A(e)外的其他假设中出现，那么按照EE，我们可以得到C。关于此的日常意义上的用合取、析取进行的解释，见Lemmon前面叙述。后面在对公式和推理进行真和有效性的判断时，Lemmon的这一系统特征会帮助我们理解合式公式的语义解释。并且后面用语义学分析一阶逻辑系统时，会提供一个很好的自然推理系统的例子。这点我们后面会再提及。三、A-对象的引入带来的相关哲学讨论Lemmon的系统引入了A名字，

8、这种引入的合理性是什么？A名字所代表的A对象，以及文章开始提到的数学推理中普遍使用的A对象，其特征是什么？有没有导致“如无必要，勿增实体”的奥康式的担忧？A对象要符合怎样的原则？有没有引发更多的问题？ 首先，我们要分析A对象是否存在；若存在，在什么意义上存在。数学推理中的经验似乎告诉我们A对象是存在的，或弱一些说，我们在进行推理时预设了A对象的存在，只有如此，在一阶系统中引入A名字才有其合理性与可行性。那么，我们说“一个任意的集合”或“一个任意的三角形”时，其指称是什么？A对象或“任意型对象”是否是客观实在的？我们认为，当谈论A对象时，我们是在唯名论意义上讲的，A对象是抽象体，不是经验观察意义

9、上的存在对象，而是依赖理智把握的抽象对象。这与奥康似的唯名论者的立场并没有不同，因此，不是说在具体的数一张张桌子时，突然数到一张“任意的桌子”，或者在列举一个个三角形时，突然列举出一个“任意的三角形”。A对象并不是在这个意义上存在，而只是作为某一个域或者某一个类上的一个具有普遍代表性的对象存在，它并不与其代表的域或类下面的个体对象具有同样的地位。倘若不区分这两者的本体论意义的不同，则引入A对象就失去了必要性和合理性。回答了A对象的存在问题，则要进一步解决的问题是，A对象要复合的基本原则是什么?设a是一个A对象，当我们说(a)时，它与其代表的某范围之下的个体属性(i)是什么？一般地，我们会认为任

10、一A对象，若其域（range）之下的所有个体拥有某些共同属性，那么该对象也应该拥有这些属性。Kit Fine把这一原则称为“通有属性原则”（the principle of generic attribution）。但是，这一原则究竟如何清楚地描述，还需要进行分析。若(x)是一个带有变元x的某属性，a是一A对象，i是在a代表的域之下的变元，则我们通常会认为上述通有属性原则应这样表达：(a)i(i)，不妨把这一表达式称为G1，但是这种表达会带来问题，例如，令Ex代表“x是偶数”这一谓词，我们用一任意对象a来替代Ex中的x得到Ea，依据G1原则，有EaiEi。但并非所有数都是偶数，所以iEi，这样

11、会导致Ea，所以会出现矛盾。因此G1这一等值原则需要修改。我们看到，G1不能恰当表达这一原则，下面采取另外一种表达G2：(a)真当且仅当i(i)真，或者用G2：a满足(x)当且仅当该域之下的每个i满足 (x)。这样一来，G1原则导致的问题就会消失，事实上这才是“通有属性原则”的合适表达：只有所有个体共同具有的属性，才被A对象所具有。后者依赖于前者，而G1原则的表达方式，使得依赖关系变成了双向关系，个体对象与A对象相互依赖。所以G1并不能正确表示A对象和个体之间的关系。但是G2会不会遭到反驳呢？比如，若(x)表示“x是个别数字”,那么i(i)成立，即“每一个别数字都是个别数字”，但是(a)并不成

12、立，因为a不是“个别数字”。因此这里需要对G2再做出限制。即有G3：对于通有属性(x)，(a)真当且仅当i(i)真。上面分析了A对象的存在和与个体变元的关系。但还有另外的问题需要解决。例如，A对象有没有范围？A对象之间是否有同一性？A对象的基数是多少？其中，对第一个问题的回答是肯定的，A对象有其范围。例如代数证明中我们会提到“任一奇数”或者“任一偶数”，因此需要区分不同的A对象，它们分别限制到其值域中的不同部分。对于第二个问题，要提供A对象的同一性标准，需要对A对象之间的关系进行进一步的刻画。第一个问题刚回答了不同的A对象有不同的范围，那么不同的A对象之间可能存在相互依赖的关系，这涉及到如何对

13、A对象进行赋值指派，以及依赖关系如何描述。例如，a、b是两任意数字，且又有a=b,则在对a、b进行赋值指派i、j时，i、j需要满足i=j，且要保证同时指派（simultaneous assignment）；从这里我们也看到，两个A对象a、b之间存在着一种平方关系R，a的取值范围依赖于b的取值范围。有了这两个条件，我们就可以提供一个明确的同一性标准。具体如下：如果A对象是独立的，即其取值范围不依赖于其他A对象，则两个A对象a、b同一当且仅当a、b的取值范围相同。如果A对象是依赖于其他A对象，则两个A对象a、b同一，当且仅当：1.a、b依赖于同样的A对象2.依赖方式相同。这里的同一性标准类似于代数

14、中我们规定两个函数f、g同一当且仅当：1.其定义域相同，2.运算方式相同。上面我们看到，不同A对象之间会存在依赖关系，这使得前面提到的G3原则需要修改，以容纳这一特征，具体扩展如下：G4：若(x1,x2,xn)是一不包含A名字的通有属性，则(a1,a2,an)为真，当且仅当对于所有a1,a2,an的可能指派i1,i2,in来说，(i1,i2,in)为真。至此，我们分析了关于A对象的引入引发的哲学讨论，并且在直观的意义上分析了涉及A对象的其他问题，包括A对象需要满足的原则，A对象的范围，和A对象相互之间的同一性问题。下面我们将对此进行系统地表达，来构造包括A对象的模型。四、A-对象的语义解释及扩

15、展后的语义模型给定一个一阶语言L，包含谓词符，还可能包括个体常项，函数符或等词。一般地，我们会构造一个模型M，包括个体域I，对非逻辑符号的解释，即形如M=(I，)，这里我们把这种模型称为古典模型（classical model）。在此基础上，引入A对象以后，古典模型M可以扩展为一般模型M，结构如下M=(I，A，V)，其中：1. (I，)即古典模型M；2. A是与I不交的对象集；3. 是A上的关系；4. V是从A到I的不空的偏函数集，即vV，Dm(v)A，并且Rg(v)I。其中A是A-对象（任意对象）集，与个体域I不交。是A-对象之间的依赖关系。ab表示a的取值依赖于b的取值，称a为依赖者（de

16、pendent），b为被依赖者（dependee）。V是由所有赋值指派构成的集合。V中的元素成为可容许赋值指派（admissible value-assignments）。而一个任意的从A到I的偏函数则成为一个可能的赋值指派（a possible value-assignment）。M称为一个可能的A-模型，A称为A-域，A中的元素称为A-对象。字母i，j，k用来表示I-对象，字母a，b，c表示A-对象。对于M 和M的关系，我们一般称M基于M，或者M是M的基础。一个A-模型M=(I，A，V)若没有其中的“”则称为一个A-结构（A-structure），一个A-结构如果没有V则称为一个A-框架（

17、A-frame）。对于aA，a的取值范围（value-range）VR(a)由所有的V中a的赋值结果v(a)构成VR(a)= v(a)：vV。若VR(a)I，则称a是赋值受限的（value-restricted），否则称为普适的（universal）或者赋值不受限的（value-unrestricted）。特别地，当VR(a)=，我们说a是空的（null）。一个A-对象aA是依赖的(dependent)如果ab对某个bA，否则称为独立的。一个A对象称为受限的（restricted）如果它是赋值受限的或者是依赖的，否则称为不受限的（unrestricted）。对A的一个子集B来说，若只要aB且a

18、b则bB，B称为封闭的。我们用B表示B的闭包，用|B|表示B-B。特别地，当B=a，我们分别用a和|a|来表示B和|B|。对于A的一个子集B，我们称一个赋值指派vV是定义在B上（defined on）如果Dm(v)=B；称v定义涵盖B（defined over）如果Dm(v)B。对于BA，我们用表示定义在B上的所有赋值指派构成的集合，特别地，当B=a时，我们把写作。对于aA，定义a对B的赋值依赖函数VD(a,B)如下：VD(a,B)是如下函数f，对于v，f(v)=iI：v(a,i) V。这一函数能表明给定B的赋值情况下，a可以取哪些值。VD(a, |a|)通常简写为VD(a)或者VD。除了以上

19、四点的基本界定以外，一个实际的A-模型还要满足以下几个重要性质：5.(1).传递性(transitivity)：ab并且bc则ac。(2).良基性质（foundation）：的反面是良基的，亦即不存在A-对象的无穷序列a1，a2，a3，使得a1a2a3。6在限制下保持封闭性（限制封闭性）（restriction）：V在限制下封闭。亦即，vV并且BA，则vBV。7.偏可扩展性（partial extendibility）：若vV，则存在一个vV使得vv并且Dm(v)Dm(v)。8.可拼合性（piecing）：令v：，是V的一个指标子集满足：（1）每个Dm(v)是封闭的；（2）v是一个函数。那么v

20、=vV。五、关于A-模型的其他条件和不同的A-模型对于A-模型要附加的其他条件涉及到赋值指派的可扩展性问题，以及A-对象的存在，同一性和复杂性问题。下面逐一展开。首先是可扩展性（extendibility）问题。其中有如下几个定义。我们称一个A-模型M在A的一个子集B上是可扩展的（extendible），如果对于B的每个子集B和定义域为B的赋值指派vV，存在一个vV扩展v，并且定义域涵盖B。我们说一个A-模型M是扩展的，或者是满足可扩展性，如果它在其定义域A上可扩展。一个函数的赋值如果是某些，我们称这个函数是完全的（total）若它的赋值总是非空集（non-empty sets）。并称一个A-

21、对象在一个A模型M中是完全定义的（totally defined）如果VD是完全函数（total function）。这意味着，如果a是独立的，则VR(a)是非空的，如果a是依赖的（dependent），则对于任何vV，存在iI使得v(a,i) V。有如下结论：Th2: A模型M在A的一个封闭子集B上是可扩展的，当且仅当每个aB是完全定义的。其次是A-对象如何通过A模型来显示其存在性问题。这里需要区分两种存在条件，一种是涉及独立型A-对象的，另外一种是关于依赖型A-对象的。对于独立型A-对象，我们规定如下（existence ind）：对于每个JI，存在一个独立A-对象aA使得VR(a)=J。

22、对于依赖型A-对象，则有如下的规定（existence dep）：对于每个A的非空封闭子集B，和每个从到I的幂集P(I)的函数f，存在一个aA使得：1.|a|=B；2. VD=f。考虑到集合A、B的基数问题和以后应用的方便，我们可以进一步规定依赖型A-对象存在性如下，d-存在性（d-existence dep）：对于每个A的每个基数小于d的非空封闭子集B，和和每个从到I的幂集P(I)的函数f，存在一个aA使得：1.|a|=B；2. VD=f。接下来要规定的是在前面的哲学讨论中涉及到的同一性问题（identity）。按照两类A对象的不同，分别规定A-对象的同一性如下：对于A中任意两个独立型A-对

23、象a、b，a=b如果VR(a)=VR(b)。对于A中任意两个依赖型A-对象a、b，a=b如果1.|a|=|b|；2. VD=VD。在讨论A-对象的元理论问题时，我们提到了A-对象的同一性标准可以给出但并不是必需的，与此相应，并且这里我们可以放弃同一性标准，用另外一种方式表达。这称为多样性（multiplicity）。具体的规定如下：对于任一独立型A-对象a，至少存在基数为c的独立型A-对象b，使得VR(b)=VR(a)。对于任一依赖型A-对象a，至少存在基数为c的依赖型A-对象b，使得1.|a|=|b|；2. VD = VD。我们把这一多样性称为c-多样性。一个模型，如果满足这里提到的d-存在

24、性和c多样性，就称为c，d-标准模型（c,d-standard）。一个c，d-标准模型，如果c,d，就称为标准模型（standard）。一般地，我们假定在标准A-模型下讨论问题。在讨论了关于A-模型的其他条件以后，我们再来关注各种A-模型的存在性问题。下面先定义几个基本概念。称一个赋值指派vV在一个A-模型或者A-结构中是基本的（basic），如果Dm(v)=a对于某个aA。称一个V的子集U是V的一个基本集，如果V等于U在限制（restriction）和拼合(piecing)下的闭包U，也就是说V是最小的包含U并且在限制和拼合下封闭的集合。关于基本赋值指派和基本集，有下面定理：Th3 : 对于

25、任何A-结构来说，所有的基本赋值指派构成一个基本集U。在这个定理之下有一个推论如下：令F=(I,A,V)，F=(I,A,V)是两个A-结构，并且其基本赋值指派是相同的，那么F=F。下面引进另外一个定义，我们把上面提到的一个A-结构的基本集称为典范基本集（canonical basis）。那么，哪一类指派构成的集合会产生一个典范基本集呢？这与另外一个概念相关，其中定义如下，对于一个A-框架(I,A,)来说，称一个由一些指派构成的集合U是规则的（regular），如果：1. 对于每个uU，Dm(u)=a对于某个aA。2. 如果uU，并且aDm(u)，则ua U。按照如上定义，有一个引理如下：Lm

26、5 ：令U为一个A-框架(I,A,)的一些指派构成的规则集（regular set）。则对U的闭包U中的每个赋值指派u，存在一个指派u，满足如下条件：(1). u是U中一些指派构成的并集；(2). Dm(u)=Dm(u)；(3). uu。除了这些结论以外，还有下面这一重要的定理，和几个与此相关的推论。Th6 : 每个A-框架(I,A,)的规则集U，都是某个A-结构F=(I,A,V)的典范基本集。这一定理使得我们可以用规则集来刻画典范基本集。借助依赖关系的良基性质，我们可以用A-对象的赋值依赖关系来更直接地刻画一个A-结构，即有下面推论：Cr7 : 令(I,A,)是一个A-框架，f是A上的一个函

27、数，其取值是I到P(I)的某个函数f。则存在一个唯一的A-结构F=(I,A,V)，满足如下条件：VD= fV对每个aA。这一推论又导致如下两个结果：Cr8 : 假定在引理7的条件下，每个函数f都是完全的。则A-结构(I,A,V)满足可扩展性。另外一个重要的结论是关于c,d-标准模型的产生问题，具体如下：每个I-模型M=(I,)为一个c,d-标准模型M=(I，A，V)的奠定了基础。六、对于真和有效性的相关解释在对真和有效性进行定义之前，我们可以重新借助上面介绍的Lemmon系统，来了解语言是如何扩充的。在上面Lemmon的系统中，与其他许多一阶逻辑系统不同的是，该系统引入了A-名字或者叫A-字母

28、。除了语言上的扩充以外，还要注意的重要一点是，公式的形成规则发生了变化，在Lemmon的系统下，带有自由变元的公式不再被当作合式公式来处理。Kit Fine为此提供的语义解释中也同样提到，公式中不能带有变元的自由出现，并且规定这类带有自由变元的出现的表达式称为拟公式（pseudo-formulas）。在Lemmon那里是用公式和合式公式进行区分的。为方便起见，下面我们仍然用a，b，c来表示模型中的A-对象，而用手写体a，b，c来表示语法中的A-名字。我们把扩充前的语言用L来表示，扩充后的语言用L表示。A-模型则扩展为M，M=(I，A，V，d)，其中(I，A，V)是语言L的模型M，d是从A-名字

29、集到A的一个函数，d给每个A-名字一个指派(designation)。为了方便，以后直接用a来表示对A-名字的指派d(a)。对于公式需要区分两类真，一类是相对真公式（relatively true），一类是绝对真公式（absolutely true）。令(a1 , ,an)是一个公式，其中的A-名字表示在括号里，我们说在一个A-模型M中相对于vV真，如果a1，anDm(v)，并且Mv(a1),v(an)。这里M是M中的I-模型部分，是关于真的我们常用意义上的满足关系。相对真简写为Mv 。我们称在M中绝对真，如果对于任何vV和a1，anDm(v) ，有Mv 。简写为M。这就是说，一个涉及A-对象

30、的陈述如果是真的，当且仅当在A-对象的所有取值下为真。这一规定正是前面在哲学讨论中提到的“通有属性原则”的具体化。为了叙述的方便，下面再引进一些记号。令A=a| a是中的A-名字。称一个v是定义在上或者定义涵盖如果v是定义在A上或者定义涵盖A。让我们假定对于M中的每一个个体，L中都含有一个关于该个体的A-名字。并假定我们用v()表示用v(a)来代替中的每一处A-名字a的出现。引进这些记号以后，我们可以简化前面的定义：M 当且仅当对于每个定义涵盖（defined over）的v（vV），Mv()。这一原则可以扩展到一个公式集。称一个赋值vV定义涵盖，如果v定义涵盖A，令v()=v():V。这样我

31、们规定：Mv()当且仅当对于每个定义涵盖的v（vV），M。例如如果=1，n。则为真等值于1.n为真。如果语句中不带有A-对象的出现，则上面定义的一般真（generic truth）和古典真（classical truth）对于语句的真值判断是相同的。有如下引理：Lm 10: M是一个A-模型，是L（注：不是L）的一个语句。则M当且仅当M。有了对于真的定义以后，我们就可以着手定义有效性（validity）了。有效性包括两部分内容，一部分是公式的有效性，另外一部分是推理的有效性。由于在新的语言下公式都不带有自由变元，所以在这个意义上，所有的公式都是语句（sentence）。给定一个L的一个语句和L

32、的A-模型的一个类X，我们称是相对于X（valid relative）有效的，如果对于每个MX，M。符号简写为x。我们称是一般有效的（generically valid），如果相对于L所有的模型类中都是有效的。符号简写为G。我们称L的一个句子是古典有效的（classically valid），如果在所有古典模型中是真的。符号简写为C。如果把A-名字当作个体的名字，这一定义可以扩展到语言L，即，称L的一个句子是古典有效的（classically valid），如果在所有古典模型中是真的，其中A-名字解释为个体。经过上面的一系列定义，我们有如下的结论：Lm 11: 如果L的一个句子是古典有效的，则

33、它是一般有效的。Th 13: 对于任一L的语句，G当且仅当C。推理的有效性指的又是什么呢？即一个符合什么条件的推理是有效的推理？这里需要区分两类推理有效性，一类称为恒真有效性（truth-to-truth validity），另一类称为个例有效性（case-to-case validity）。前者与绝对真的概念相对应，后者与相对真的概念相对应。取一个有序对(,)为一个公式序列或者推理，其中是L的一个语句集,是一个L的语句。若=1,n，则(,)可以写作1,n/，或者写作。令X为L的一个模型类，称(,)在X中是恒真有效的，如果对于任一X中的模型M，只要M则M。如果X是L的所有A-模型构成的模型类，

34、则称(,)是普遍有效的。若X只有一个元素M，我们就称 (,)在M下具有恒真有效性。此外，我们称一个语言L下的推理(,)是古典有效的，如果对于任一古典模型M，只要M则M。同上面对公式的定义类似，如果把L中的A-名字当成个体的名字，那么L下的推理(,)的古典有效性定义同上。对于古典有效的推理和包含A-对象的推理两者之间的关系，我们可能会想到，在古典系统里普遍有效的那些推理，在一般语义学下面也是有效的。但其实这点在恒真有效下面并不一定实现。需要对A-模型附加新的条件才可以做到。这一条件就是前面定义过的可扩展性（extendibility）。在第五部分中我们提到，A-模型M在A的一个子集B上是可扩展的

35、（extendible），如果对于B的每个子集B和定义域为B的赋值指派vV，存在一个vV扩展v，并且定义域涵盖B。这里如果A-模型在相应A-对象类上具有可扩展性，则有下面这一重要定理：Th 14：假定L 的推理(,)是古典有效的，与中的A-名字指定的A-对象在构成一个类，令M是一个A-模型，在这个类上可扩展，则(,)在M下具有恒真有效性。这一定理非常重要，在后面用一般语义学对一阶逻辑系统进行分析时，会经常用到。下面我们再来看个例有效性。令X为L的一个模型类，称(,)在X中是个例有效的，如果对于任一X中的模型M，和M中的任一指派v，只要Mv则Mv。个例有效下的普遍有效和在一个模型模型M下有效定义

36、与恒真有效的相关定义类似。与恒真有效性不同的是，在个例有效性下面，古典有效的推理仍然保持个例有效性。有下面的重要定理：Th 15：若L 的推理(,)是古典有效的，则它是个例有效的。对于个例有效性，这里还要指出的是，传统意义上的蕴涵传递性并不一定保持。就是说，若蕴涵，并且蕴涵（即/和/都是相对于某个A-模型类有效），则蕴涵不一定有效。因为直观上看，满足两者的赋值指派v不一定相同，所以在个例有效下面，我们要保证蕴涵的传递性，仍然需要借助于可扩展性。具体为如下定理：Th 16：弱个例有效性（cut for case-to-case validity）假定/和,/都是在X下个例有效的推理，并且X中的模

37、型M有下面属性：任何定义在AAA上的v（vV），都可以扩展为一个定义涵盖A的v（vV）。则,/在X中是个例有效的。七、对A-名字的定义讨论对A-名字的定义，原因在于分析一阶逻辑系统时，会遇到带有自由变元的拟公式，而这些公式和A-名字之间的关系，需要进行界定。带有一个自由变元的拟公式集可以被视为对一个A-名字a的定义。我们用一个有序对(a,)来表示一个定义，其中一些含一个自由变元x的拟公式集，a是一个A-名字。给定一个定义(a,)，字母a称为定义中的被定义项（defined terms），在中的其他A-名字称为给定项（given terms）。本身称为定义条件。我们称在一个定义(a,)中，从用所

38、有给定项对a进行定义。我们允许是空集，或甚至包含a的出现。特别地，当=时，我们可以把定义(a,)写作(a,)。这种定义依据的合理性，可以从数学练习中找到，例如我们在证明或计算某个结果时，会任取两个数字m，n，并为了实际证明，我们令m=n2，这样一种表达式就可以用前面的记号表示为（m，x=b2）。给定一个定义(a,)，和一个项t，令(t)表示用t取代中自由变元x的出现。借助这一记号，我们可以界定模型对定义的实现如下。称一个A-模型M实现一个定义(a,)如果：1.|a|=A，即，对于任和cA，ac当且仅当c=b或cb对于(a,)中的某个项b。2.对于任一uV，VD(u)=iI: Mu(i)，也就是

39、说，对于任一uV，和任一v=u，vV当且仅当Mu(a)。称一个由诸如(a,)定义构成的集合称为一个定义系统S。其被定义项是S中元素的被定义项，其给定项是S中元素的给定项，并且不是S中的某个被定义项。我们称一个模型M实现一个定义系统S，如果：1. ab对S中不同的被定义项a，b；2. M实现S中的每个形如(a,)的定义。称一个定义系统S是明晰的（unequivocal），如果S中的A-名字不是S中的两个不同定义如(a,) 和(a,)的被定义项。给定一个定义系统S和S中的A-名字a、b，称a在S中直接依赖于b（a immediately depends upon b），如果在某个S里的定义中，a是

40、被定义项，b是一个给定项。用符号表示为ab。我们用ab表示，对于某个序列a1,an，n1，a=a1，b=an，并且aiai+1对于i=1,2,n-1。也就是说，ab是一个关系的首尾两端。此外，称一个系统S是良基的，如果直接依赖关系的反面是良基的。根据上面引进的一些规定，我们有如下定理：Th 17：假定定义系统S是明晰的和良基的。令M是一个古典模型，则存在一个A-模型M实现S。除了上面的一些特征以外，S还可能具有一些其他的性质。称S是完备的（complete），如果每个S下的A-名字都是S的一个被定义项。下面定义两个模型的一般等值性（generically equivalent）。两个语言L下的

41、A-模型M=(I，A，V) 和M=(I，A，V)是一般等值的，如果存在一个从A到A的一一映射f，使得：1 对于所有a，bA，ab当且仅当f(a) f(b)；2 对于所有M上可能的赋值指派v，vV当且仅当:vV。由上面两个定义，我们可以得到如下定理：Th 18: 令S是一个完备的、明晰的和良基的定义系统。假定L下的的两个模型M和M都实现S。S中的A-名字所指的A-对象构成一个集合C，则M和M在这个集合C上的限制是一般等值的。下面讨论定义(a,)的一些特性。称一个定义(a,)在一个古典模型M中是完全的(total)，定义(a, )中给定项构成集合B，如果对于任何从集合B到I的函数u，存在一个iI使

42、得Mu(i)。这样会得到一个新的定理：Th 19：令S是一个由在模型M下那些完全的定义构成的完备系统，B是由S中A-名字指定的A-对象构成的集合，则任何实现S的模型M都在集合B上可扩展。下面再引入一个定义。给定一个系统S，模型M实现S，b是S中的一个被定义项或者(a,)中的一个给定项，对于一个可能的赋值指派v，只要v定义涵盖b就有Mv(a)，则我们称v符合S（v conforms to S）。有如下引理：Lm20 ：令S是一个完备的系统，M实现S。令v是M中一个可能的赋值指派，其定义域封闭，并且只定义在由S中的A-名字指定的A-对象集上。则vV如果v符合S。至此，我们概要性地讨论了包括A-对象的语义模型，即模型上的一些特征，同时讨论了关于真和有效性的定义。这些讨论为后面对一阶逻辑系统的分析做了一个铺垫。接下来我们将借助上面提到的一些重要的定理和结论，来看如何用一般语义学对一阶逻辑系统的有关性质进行证明。这些证明会使得我们对这种语义解释的特点有更清楚的了解，也将会使我们重新来关注怎样的一阶逻辑系统更自然地刻画了我们的推理过程。11