实数形式的卷积冲激响应实用教案

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1、CH9 线性系统理论(lln) 一、什么是线性系统 二、调谐信号分析 三、卷积 四、五个有用函数 五、卷积滤波(lb)及其应用 要点总结第1页/共33页第一页，共33页。1 什么(shn me)是线性系统 1）定义(dngy)一维系统，一维系统， 不失一般性，以时间不失一般性，以时间t t作为作为(zuwi)(zuwi)系统变量。系统变量。二维系统，二维系统， 不失一般性，以空间坐标不失一般性，以空间坐标x,y作为系统变量。作为系统变量。第2页/共33页第二页，共33页。1 什么(shn me)是线性系统 2）性质(xngzh) 线性 1122121211111 1221122,x ty tx

2、tytx txty tytx ty tax tay taa x ta xta y ta yt假设若则称此系统是显然，对于线性系统若则 其中 是有理数显然，线性系统满足叠加性和线性系统齐次性。第3页/共33页第三页，共33页。1 什么(shn me)是线性系统 移不变性 0000,( , ),(,),x ty tx t Ty t Tf x yg x yf x x y yg x x y y对于线性系统，如果存在且则称此线性系统具有移不变性。对于二维系统，若则第4页/共33页第四页，共33页。2 2 调谐(tioxi)(tioxi)信号分析1）调谐(tioxi)信号 2cossin1,2j tx t

3、etjtjf 其中且1 1wtwtReRe(x)(x)Im(x)Im(x)第5页/共33页第五页，共33页。2 调谐信号(xnho)分析 2）线性系统对调谐输入(shr)的响应 11121221211,j tj tjt Tj tj Tx tey tKt x tKt extx tTeeeytKt xtKt x tTyty tTKtT x tTKtKtTy tKx t根据移不变性质显然因此结论：线性移不变系统对于调谐信号的响应等于输入信号乘以一个依赖于频率的复函数。第6页/共33页第六页，共33页。2 调谐信号(xnho)分析 3）调谐信号(xnho)与正弦型信号(xnho) 将输入的正弦型信号(

4、xnho)表示成调谐信号(xnho)； 计算线性系统对此调谐输入的响应； 取调谐输出的实部为真正的输出。 4）传递函数第7页/共33页第七页，共33页。2 2 调谐信号(xnho)(xnho)分析 jj tjj tj tjj tKKAecostRe eKeAeey tRe AeeRe AcostjsintAcostA 将将表表示示成成极极坐坐标标形形式式：假假设设输输入入为为余余弦弦函函数数，令令其其为为调调谐谐信信号号的的实实部部：x x t t调调谐谐输输入入的的响响应应为为余余弦弦函函数数的的输输出出为为其其中中为为乘乘积积增增益益函函数数，为为相相移移角角，对对输输入入信信号号加加以以

5、平平移移。第8页/共33页第八页，共33页。2 调谐信号(xnho)分析 5）线性移不变系统的重要性质 调谐(tioxi)输入总是产生同频率的调谐(tioxi)输出； 系统的传递函数 一个仅依赖于频率的复值函数，包含系统全部信息； 传递函数对调谐(tioxi)信号输入只产生两种影响 幅度的变化和相位的平移。第9页/共33页第九页，共33页。3 卷积第10页/共33页第十页，共33页。3 卷积 x ty tf t,xdf t,f t,xT dTf tT,T xdf tT,Tf t,f t, 线性系统、的另一种一般表示线性系统、的另一种一般表示y ty t根据移不变性质，简化根据移不变性质，简化y

6、 t-Ty t-T对t-T和进行变量变换，则对t-T和进行变量变换，则y ty t所以所以所以两个变量的f函数可表达成所以两个变量的f函数可表达成g t-g t-冲激响应冲激响应第11页/共33页第十一页，共33页。3 卷积 1）线性移不变系统(xtng)的两种表示形式 复数形式的传递函数； 实数形式的卷积冲激响应； 两者是统一的。 xd 因此线性系统总可以表示成卷积形式因此线性系统总可以表示成卷积形式y tg t-y tg t-第12页/共33页第十二页，共33页。3 卷积 2）卷积的几个(j )性质 交换性 加法的分配率 结合率 求导的性质fgg f fghfgfh fg*hfgh dfg

7、fgfgdt 第13页/共33页第十三页，共33页。3 卷积 3）离散(lsn)一维卷积 1jmnf ig jh if ig ifj g ijNmn对于两个长度为 和 的序列和，给出长度为的输出序列。 ppppppppppppg1gNg2f1g2g1g3f2hg fgNgN1g1fN 其矩阵计算形式为其矩阵计算形式为第14页/共33页第十四页，共33页。3 卷积 4）二维卷积和离散(lsn)二维卷积 二维卷积定义 离散(lsn)二维卷积定义 ,h x yfgf u v g xu yv dudv ,mnHFGH i jF m n G im jn第15页/共33页第十五页，共33页。第16页/共3

8、3页第十六页，共33页。3 卷积 二维卷积的矩阵计算( j sun)形式1122121221:,1;1;2:13:1pppppppistepFmn GmnFGFGMNMmmNnnstepFNfFfNstepGNNNGiN 设 大小为大小为扩展 和 矩阵为和大小为其中以下假定M=N。从矩阵构造一个维列向量 ，将的第一行转置，使成为 最上面的 个元素，然后其他行转置依次在下面。矩阵每一行生成一个循环矩阵，总共产生一个 个这样的矩阵。第17页/共33页第十七页，共33页。3 卷积2212213114:5:bNbNNpbpstepNNGGGGGGGGGGGstephGf按如下方式生成一个的块循环矩阵二

9、维卷积的矩阵形式，再行列转换回矩阵形式第18页/共33页第十八页，共33页。3 卷积 例：二维卷积的矩阵(j zhn)计算形式。1211,;34221101201:,220340000000ppFGFGStepFG 已知求第19页/共33页第十九页，共33页。3 卷积12032:40000pStepf 第20页/共33页第二十页，共33页。3 卷积1322131321231013:110011202000220 ,0000220001124:538628pGGGStepGGGGGGGGGGStepFG 其中第21页/共33页第二十一页，共33页。3 卷积 例：请花5分钟时间(shjin)计算。

10、01031,141 ,41010FGFG已知求。10FG03103-701=4-121104第22页/共33页第二十二页，共33页。在实际图像应用中，边缘在实际图像应用中，边缘(binyun)处四种卷积处理方法处四种卷积处理方法并不重要。并不重要。3 卷积 5）图像边缘处卷积处理方法 1）重复图像边缘的行和列，使卷积在边缘可计算； 2）卷绕输入(shr)图像，使之成为周期性； 3）在图像边缘外侧填充0或其他常数； 4）去掉不能计算的行和列，仅对可计算的象素进行卷积。第23页/共33页第二十三页，共33页。4 五个有用(yu yn)函数 1）矩形脉冲（Pi Function） 1, 1 2x1

11、2x1 2,x1 20,others A A-a/2-a/2a/2a/2A*Pi(x/a)A*Pi(x/a)对应对应(duyng)二维，即方形卷积二维，即方形卷积模板模板第24页/共33页第二十四页，共33页。4 4 五个有用(yu yn)(yu yn)函数 2）三角脉冲（ Lamda Function ） 两个相同(xin tn)矩形脉冲的卷积得到一个三角脉冲。 1,1 0,1xxxx B B-b-bb bB*La(x/b)B*La(x/b)第25页/共33页第二十五页，共33页。4 4 五个有用(yu yn)(yu yn)函数 3）高斯(o s)函数（Gaussian Function）

12、两个高斯(o s)函数的卷积产生另一个高斯(o s)函数。 222xG xe222222222223122223122222222222221212123122223121242xxyyx yxxyxxxyxxxeeeedyedyeedyeAeA eA Ae 其中第26页/共33页第二十六页，共33页。4 4 五个有用(yu yn)(yu yn)函数 4）冲激函数（Delta Function） 01001lim0ax dxx dxxxxxaaAx dxAf xx dxf，时，第27页/共33页第二十七页，共33页。4 4 五个有用(yu yn)(yu yn)函数 5）阶跃函数(hnsh) 1

13、,01 2,00,0 xu xxx1 1x0 x0u(x-x0)u(x-x0)0 0第28页/共33页第二十八页，共33页。4 4 五个有用(yu yn)(yu yn)函数 5）阶跃函数(hnsh) 阶跃函数(hnsh)是单位冲激函数(hnsh)的积分 单位冲激函数(hnsh)是阶跃函数(hnsh)的导数第29页/共33页第二十九页，共33页。5 5 卷积滤波(lb)(lb)及其应用 1）平滑 可采用矩形脉冲、三角脉冲或高斯脉冲为平滑函数(hnsh)。 等价于邻域处理中的平滑去噪。 2）边缘增强 带负的旁瓣（side lobes）的正尖峰函数(hnsh)，其边缘增强时产生两个效果。 * 增加边缘的梯度； * 在边缘的两侧加边。类似与拉普拉斯算子产生的效果。 3）去卷积 利用一个卷积去除另一卷积影响的技术。第30页/共33页第三十页，共33页。要点(yodin)总结 线性和移不变系统的定义； 调谐信号及其线性系统分析(fnx)、传递函数； 线性移不变系统与卷积的关系； 离散二维卷积的矩阵计算； 典型冲激响应函数及其应用。第31页/共33页第三十一页，共33页。上机实习(shx)题 编写实现(shxin)二维离散卷积的程序。第32页/共33页第三十二页，共33页。感谢您的观看(gunkn)。第33页/共33页第三十三页，共33页。