中学数学教师的学科知识

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1、中学数学教师的学科知识韩继伟指导委员会：黄毅英 （导师）林智中黄显华黄家鸣哲学博士论文 香港中文大学2005年2月（此论文之版权属香港中文大学所有。任何人士如欲发表论文之全部或任何部分，须获得研究院院长同意。）The subject matter knowledge ofsecondary school mathematics teachersByHan Jiwei Committee member: Prof. WONG Ngai-ying, SupervisorProf. LAM Chi-chungProf. WONG Hin-wahProf. WONG Ka-mingA Disserta

2、tion Submitted in Partial Fulfillment ofthe Requirements for the Degree ofDoctor of Philosophy The Chinese University of HongkongFebruary 2005The Chinese University of HongKong holds the copyrights of this dissertation. Any person(s) intending to use a part or whole of the materials in the thesis in

3、 a proposed publication must seek the copyright release from the Deans of the Graduate School摘 要教师知识的研究是近二十年来比较活跃的一个研究领域，主要研究教师所具有的与教学有关的各种知识，教师知识中的学科知识正是本论文的研究焦点。以往的数学教师的学科知识研究主要关注的是教师对数学概念、数学算法的理解，主要是关于“知道是什么”的知识的研究，缺少对教师在问题解决实践中所积累的“知道怎么样”的知识的研究。为此，我们以心理学的问题图式理论为根据，提出在教师的学科知识的研究中探索与教师的问题解决有密切关系的一

4、种新的类型的知识问题图式。为了探讨“教师的问题图式与教学是否有关系”这个基本问题，我们先须研究教师有什么样的问题图式，然后通过专家教师与普通教师的问题图式的比较探讨“教师的问题图式与教学的关系脉络”。研究中采用质化研究的方法，以中学数学教师为研究个案，通过问卷和访谈了解教师的问题图式，进而比较专家教师与普通教师的差别。研究发现，中学数学教师的问题图式是非常多样的，有各种不同类型的问题图式：“以数学概念为核心的问题图式”、“以结论或未知量为核心的问题图式”、“以基本图形为核心的问题图式”、“以数学结构为核心的问题图式”和“以数学思想方法为核心的问题图式”。专家教师的问题图式数量比普通教师要多，而

5、在问题图式的类型上，专家教师不仅有普通教师所拥有的问题图式类型，而且有普通教师所没有的问题图式类型，如“以数学结构为核心的问题”和“以数学思想方法为核心的问题图式”。总的来讲，专家教师的问题图式比普通教师更丰富。这意味着教师的问题图式与教学是有关系的。根据本研究的结果，研究者建议在未来的研究中需要通过实际的课堂观察进一步深入探讨教师的问题图式对教师教学有什么样的影响。并且将问题图式与其它学科知识联合起来研究以获得教师的学科知识的一个更丰富的图景。并应该在教师教育中加强对教师的问题图式和中学数学学科知识的培养与训练。AbstractTeacher knowledge was an active

6、research area in the last twenty years. It focuses on all kinds of knowledge that teacher knows related to teaching. The study explored subject matter knowledge in teacher knowledge. From the past research on subject matter knowledge, we find that researchers often focused on teachers understanding

7、of mathematical concepts and procedures. This is the knowledge of “knowing that”. The past researches on subject matter knowledge didnt touch on the knowledge of “knowing how”. Based on the theory of problem schema in psychology, we studied teachers problem schema, which is related to problem solvin

8、g.To explore possible relationship between problem schema and teaching, we have to identify the figure of schemas secondary school mathematics teachers have. Then we examined the differences between expert teachers and non-expert teachers to explore the relationship between teachers problem schema a

9、nd their teaching context. In this study, secondary school mathematics teachers were chosen for case studies. Qualitative research methods, including questionnaire and interview were adopted to find out teachers problem schemas.The study revealed that there are various types of problem schemas among

10、 secondary school mathematics teachers. They include: “schema organized by mathematics concept ”, “schema organized by conclusion or unknown”, “schema organized by basic figure ”, “schema organized by mathematical structure”, “schema organized by mathematical method of thinking”. Compared to non-exp

11、ert teachers, expert teachers have a wider set of problem schemas. Expert teachers not only have the schemas non-expert teachers have, but also have the schemas non-expert teachers dont have. “Schema organized by mathematical structure”, “schema organized by mathematical method of thinking” are two

12、of them. Generally speaking, expert teachers possess more profound problem schemas. Hence we see a relationship between the possess of problem schemas and teaching expertise.Based on the findings, it is recommended that the future study should explore further how teachers problem schemas influence t

13、heir teachings by means of classroom observation. The second recommendation is to study problem schema and other subject matter knowledge in one research to see a comprehensive view. It is also recommended that the development of teachers problem schemas and subject matter knowledge should be streng

14、thened in teacher education. 鸣 谢这份博士论文的作者名字是我的，但这个博士论文里面所凝聚的辛劳与汗水却是很多人的，在此，我要衷心感谢曾经给予我热情帮助和指导的老师和朋友们。感谢我的论文指导委员会的黄显华教授，在我学习过程中不断给我指导，将自己丰富的研究经验热情地毫无保留地传授给我。感谢黄家鸣教授总能给我很多的忠告和建议，使我能够冷静地反思自己的研究而有所进步与提高，他对学问的严谨精神与对他人的宽容态度是永远值得我学习的。同时，我也要感谢林智中教授所给予我的指导与关爱，他对我研究设计上的指导使我学会了如何从一个自己感兴趣的主题中设计出一个合适的值得研究又有能力研究的

15、问题，他也教会了我很多如研究方法、论文写作技巧等很多方面的知识，从他身上我学到了很多东西。并且，无论是当我遇到研究中的困难，还是生活中的困难，他的聪明、乐观与善良都是我走出困境的力量。每当看到他忙碌地工作而犹豫着不忍打扰他时，他总说学生在他那里总是享有绝对的优先权。在他心里学生的事情是最重要的，在学生心里他是一个无人可以替代的老师、一个与你真心相对的朋友。我更要感谢我的导师黄毅英教授，当我的兴趣从我们两个人都比较熟悉的数学观的研究转到我们都很陌生的教师知识的研究时，他不仅给了我探索新领域的勇气、支持与信任，而且给了我研究的自由，导师为我的学习生活所创造的宽松条件使我研究了一个自己感兴趣的问题，

16、尽管研究过程是艰苦的，但研究自己感兴趣的问题也是快乐的，博士论文研究的这段时间是我二十几年读书生活中最快乐的一段时光，这种研究的自由与快乐是我的老师给我的，在他身边学习的这段日子里我学到的得到的实在太多太多，如果时光倒流再给我一次重新选择的机会，我依然会选择做黄毅英教授的学生。我也要感谢香港中文大学的同学与朋友们。我们一起经历了求学路上的风风雨雨，一路上彼此支持，相互鼓励，最后我们一起长大了。那些一起哭过、笑过、吃过、玩过、闹过、调侃过、争论过的日子都将成为我记忆中最美丽的一道风景，感谢生活让我在这里遇见了你，使我的生命里有了你的足迹。我还要特别感谢在论文的资料搜集阶段给予我支持的那些中学数学

17、教师，我的研究占用了他们很多的时间，没有他们的热情支持与积极配合，我的论文不可能顺利完成。特别是感谢马云鹏教授在我收集资料和论文答辩时所给予的大力支持与帮助。最后，我要感谢我的家人，特别是我的丈夫韩大鹏先生对我的全力支持与无私奉献。无论家里发生了什么事情，他们都首先考虑到我的学业而选择独自承担，你们的爱是我成长的沃土，是我前进道路上的阳光，是我无论走到哪里都无法割舍的眷恋，衷心感谢你们多年的等待与不变的关怀。目 录摘 要iiiAbstractiv鸣 谢vi目 录viii图表目录xi第一章 引 论1第一节 研究背景1一、 教师知识及其成分3二、 教师知识的研究范式5三、 教师知识在教育活动中的作

18、用6四、 本研究在教师知识研究中的位置10第二节 研究问题的提出10一、 数学教学的主要任务与目的：问题解决11二、 问题解决中问题解决者所需要的数学知识12三、 问题解决教学中教师所需要的数学知识15第三节 研究的框架16一、 本研究的分析工具和思想基础：哲学上的广义知识观17二、 本研究的理论基础和研究方法基础：心理学上的问题图式研究18三、 研究的框架19第四节 研究目的19一、 了解中学数学教师的问题图式状况20二、 初步探讨问题图式与教学之间的关系20第五节 研究意义21一、 探索数学教师的学科知识研究中的新维度21二、 从数学的角度去研究问题图式21第二章 文献综述24第一节 教师

19、的学科知识24一、 教师的学科知识研究的历史概况24二、 教师的学科知识的理论研究26三、 数学教师的学科知识的实证研究33四、 哲学上的广义知识观47五、 对以往学科知识研究的知识观分析54第二节 心理学对问题图式的研究56一、 认知心理学上对问题解决研究的历史发展56二、 问题图式的存在及其影响59三、 问题解决专长背后的主要因素问题图式67四、 问题图式理论在教学中的应用73五、 小结81第三章 研究设计与方法82第一节 研究问题与研究阶段82一、 研究问题的进一步阐述82二、 研究阶段的设计83第二节 主要概念的操作性定义84一、 教师的学科知识84二、 问题图式84三、 专家教师84

20、四、 普通教师84第三节 研究方法的确定84第四节 研究对象的选择与确定86一、 学校的选取86二、 教师的选取87第五节 资料的收集90一、 预备性研究阶段的资料收集92二、 正式研究阶段的资料收集94第六节 资料的整理与分析95一、 资料的整理96二、 资料的分析96第七节 研究的局限性97一、 研究的理论框架上的局限性98二、 专家教师普通教师对比研究方法的局限性98三、 研究者本人给研究带来的局限性99第四章 研究结果100第一节 中学数学教师的问题图式100一、 “以数学概念为核心的问题图式”100二、 “以未知量或结论为核心的问题图式”104三、 “以基本图形为核心的问题图式”10

21、8四、 “以数学结构为核心的问题图式”119五、 “以数学思想方法为核心的问题图式”122第二节 专家教师与普通教师的问题图式的差别126一、专家教师与普通教师在问题图式类型上的差别126二、专家教师与普通教师在问题图式数量上的差别128第三节 教师的问题图式在其教学中的影响133第五章 研究结论与讨论139第一节 研究结论139第二节 讨论141一、 对问题图式的思考141二、 对教师的学科知识研究的思考145第三节 建议与思考151一、 对未来研究的建议与思考151二、 对教师教育的建议与思考152参考文献155附录一171图表目录图1. 1 教师知识研究的框架100图1. 2 研究的框架

22、19图4. 1 两位教师的问题图式的对比130表3. 1 被试教师背景情况89表3. 2 资料分类举例97表4. 1 对问卷中第五题的解答情况的统计123表4. 2 专家教师与普通教师的问题图式的对比131表4. 3 问题图式与教学的关系132第一章 引 论教师的学科知识研究是教师知识（teacher knowledge）研究领域中的一个问题。教师知识的研究是目前教育研究中一个非常重要的领域。近十年来，各个领域的研究手册，例如Richardson (2001)主编的教学研究手册（Handbook of research on teaching），Sikula (1996) 和 Houston

23、(1990) 主编的教师教育研究手册（Handbook of research on teacher education），Berliner (1996) 主编的教育心理手册（Handbook of educational psychology），Jackson (1992) 主编的课程研究手册（Handbook of research on curriculum）中都有很多的关于教师知识研究的综述。特别地，数学教育的研究手册如Grouws (1992) 主编的数学教学与学习研究手册（Handbook of research on mathematics teaching and learni

24、ng），English (2002) 主编的数学教育的国际研究手册（Handbook of international research in mathematics education）中也都有关于教师知识研究的综述。教师知识也是数学教育领域里一个非常重要的研究问题。根据Ball, Lubienski, & Mewborn (2001) 对数学教育研究所做的统计，1986年1998年期间所发表的48种重要教育研究的期刊中，有354篇是与数学教育有关的，这其中有15的论文是关于教师知识和教师观念的。一个不能否认的事实是：教师知识的研究已经成为包括数学教育在内的整个教育研究领域中的一个焦点。我们

25、所要研究的中学数学教师的学科知识正是教师知识这个大的研究领域中的一个问题。为了更好地了解教师的学科知识研究，我们首先介绍一下教师的学科知识研究所处的这个大背景教师知识的研究。第一节 研究背景20世纪60年代后期，受心理学上行为主义学派思想的影响，教学研究还集中在教师行为而不是教师知识与信念上。在这些研究中主要用教师的一系列可观察到的行为和技巧来刻划教学，然后研究教师行为与学生学习的关系。到了70年代前期，对教学的研究发生了很大的转变，对教师认知的研究开始快速增长。自从Wittrock (1986) 的教学研究手册（Handbook of research on teaching）发表以来，教师

26、知识已经成为教育研究中的一个焦点问题 (Ball，Lubienski, & Mewborn, 2001)。促成教学研究的焦点发生转变的因素主要有两个：一个是认知心理学的发展。心理学家开始接受这样的观点：人能够构建他们自己的世界，并用自己独特的方式对现实产生反应。这使得心理学家开始对知识、思维与行为之间的相互影响产生兴趣。这些对人类一般认知活动的研究为人们研究教学活动提供了新的理论和方法，直接促进了教师认知的研究（Calderhead, 1996）。另一个促使教学研究的焦点由教师行为转变为教师认知的因素是对已有的教师行为研究的不满。只从行为技巧的角度去研究教学会留下很多无法解释的教学技能。以往的

27、以过程结果（process-product）为范式的研究常常是以系统观察的进度表来测量课堂互动，并把这些行为与学生的学习结果联系起来，然而这些研究似乎没有对教学领域的研究产生太大的推动作用。有些研究所得出的结论甚至被批评为非常明显的无关紧要的结论（McNamara，1981）。并且，这些研究经常产生一些矛盾的结果或结论（Dunkin & Biddle, 1974）。与此同时，也有一些研究，如Jackson (1968) 和Smith & Geoffrey (1968) 开始强调教学的复杂性和教师自身的理解对他们的教学工作的重要贡献（Calderhead, 1996）。也有一些研究表明，对教师课

28、堂行为的训练离不开认知的过程（Carter, 1990）。Wagner (1973) 比较了两种教师训练方法的差异。一种是微格教学（microteaching）训练方法，让职前教师学习怎样使用教学技巧。另一种是认知识别（cognitive-discrimination）训练, 教师在适当的时候学习技巧但是并不进行实践。结果发现，认知识别训练的效果要比微格教学的效果好。类似地，Gliessman, Pugh, & Bielat (1979) 等研究也得出了类似的结论。这些研究，也促进了教学研究的焦点由教师行为的研究转向教师认知的研究。当对教学的研究从教师行为转向教师认知以后，人们并不是直接就进入

29、了教师知识的研究。教师知识的研究是教师认知研究发展过程中的一个阶段。对于教师认知研究的历史，Calderhead (1996) 做过如下的概述。具体来讲，教师认知研究大致经历了三个历史阶段。第一个阶段研究的主要是教师决定（teachers decision-making）。教师决定被看成联系思维和行为之间的纽带。于是研究者们用各种方法探讨教师所使用的决定，以及这些决定对教学结果的影响。然而研究者们很快就意识到教师决定的概念在解释教师的心理活动上有很大的局限性。更多的教师认知活动无法用教师决定来解释。这样一来，教师认知研究由教师决定迅速扩大到感知、思维、判断、反思、评价等方面。这便是教师认知研究

30、的第二个阶段。教师认知研究的第三个阶段才开始教师教学实践背后的知识与信念的研究，也就是我们在下面将要介绍的教师知识的研究。一、 教师知识及其成分 Fan (1998，页44) 中指出，研究者们所使用的教师知识这个概念有几种不同的含义：（1）教师所知道的东西；（2）关于教师的知识；（3）与教师有关的关于教学的知识。我们在这里所说的教师知识意指教师所知道的东西。研究者不仅在教师知识的所指上有不同的观点，对于教师知识包含哪些成分这个问题的看法更是各不相同，不同的研究者从不同的立场出发提出不同的教师知识成分。在这里我们首先要介绍的是Shulman关于教师知识成分的观点。随着心理学的发展，主要是行为主义

31、学派的地位被认知学派所取代，教育领域里对教学的研究也从对教师行为的研究转变为对教师认知的研究。在这样的背景下，Shulman (1986a，1986b) 中开始强调研究教师学科知识（subject matter knowledge）的重要性。针对当时教学研究中只重视过程结果的研究范式，Shulman 提出要加强教师学科知识的研究，并称教师学科知识这个维度的研究为当时教学研究中 “丢失的范式”（missing paradigm）。在Shulman提出这个问题后不久便出现了大量的各个学科的教师学科知识的研究。并且同样重要的是，Shulman 不仅使人们重新开始关注教师学科知识的研究，而且第一次提出

32、了教学内容知识（pedagogical content knowledge）的概念，对后来的研究者们开始大量地研究这两种类型的教师知识起了重要的推动作用。尽管不同的研究者对教师知识类型的分类差别很大，但是一个不争的事实是：教师知识的研究是以学科知识和教学内容知识这两种类型的知识为核心展开的，从各种教师知识的研究综述中我们很容易看到这一点：无论是哪个领域从哪个角度所做的教师知识的研究综述, 大部分都要概括教师的学科知识和教学内容知识的研究，对教师的学科知识和教学内容知识的研究已经成为教师知识研究中一个重要的关注点。除了教师的学科知识和教学内容知识外，教师知识还有其它的一些成分。Shulman (

33、1987) 中提出教师应该掌握如下的七种知识：内容知识（content knowledge）、一般教学法知识（general pedagogical knowledge）、课程知识（curriculum knowledge）、教学内容知识（pedagogical content knowledge）、关于学生及其特点的知识（knowledge of learners and their characteristics）、教育背景知识（knowledge of educational contexts）和关于教育宗旨、目的、价值及其历史、哲学背景的知识（knowledge of educatio

34、nal ends, purposes and values，and their philosophical and history grounds）。Shulman所提出的教师知识的成分在教师知识的研究中产生了很大的影响。有很多研究者都以他的观点为基础提出自己的对教师知识的成分的看法。例如，Grossman (1995) 中提出教师知识包括六个成分：内容的知识（knowledge of content），主要包括学科知识与明确的学科教学法知识（也即教学内容知识）；学习者与学习的知识（knowledge of learner and learning），主要包括学习理论的知识、学生的身体的、社会

35、的、心理的、认知的发展、动机理论与实践以及学生的道德、社会经济以及性别的差异；一般教学法知识（knowledge of general pedagogy），主要包括课堂组织与管理的知识和一般教学法知识；课程的知识（knowledge of curriculum），主要包括课程发展的过程和不同年级的学校课程；背景的知识（knowledge of context），主要包括教师工作情境中的背景知识；自我的知识（knowledge of self），主要是指教师的关于他们自己的价值、倾向、优缺点、教育哲学、教学目的等的知识。Grossman对教师知识成分的看法与Shulman 有很大的相似，Shul

36、man所说的内容知识主要指学科内容知识，而Grossman则将Shulman的学科内容知识和教学内容知识统称为内容知识。Borko & Putnam (1996) 也以Shulman的观点为基础，提出教师知识主要包括一般教学法知识、学科知识和教学内容知识。 除了Shulman提出的这几种类型的知识，也有研究者从实际的课堂教学的立场出发，提出教师在自身的实际教学实践中会发展出一种教学的实践知识，因此提出教师知识中应当包含实践知识（practical knowledge）的成分。这样的研究者有很多，例如，Carter (1990), Elbaz (1983), Connelly & Clandin

37、in (1985) 等。 总之，研究者从不同的角度出发提出不同的教师知识的成分，对于这些不同的观点我们在这里不做更详细的介绍，但我们需要说明的一点是：尽管研究者们所提出的教师知识的成分也有一定的基础，但对于教师知识的分类还是有一定的随意性，实际上并不存在一个刻划教师知识的内部结构的唯一方式（Borko & Putnam, 1996, 页675）。并且，尽管研究者们提出了很多种类型的教师知识的成分，但许多种类型的知识都只停留在表面上，教师知识的实证研究仍然主要集中在教师的学科知识、教学内容知识和一般教学法知识这三种知识的研究上。二、 教师知识的研究范式Bruner (1985) 中提出，思维有两

38、种基本的模式：范式性的（paradigmatic）和叙述性的（narrative）。Grossman (1995) 和Munby, Russell, & Martin (2001) 从这个思想出发，提出在教师知识的研究中，对于什么是专业知识以及怎样概念化知识（how to conceptualize knowledge）等基本问题的看法上也存在着上述两种不同的取向。并且，Munby, Russell, & Martin (2001) 将这两种不同的取向称为教师知识研究中的一个根本的张力（a root tension）。他们在一些基本概念（如认知者、被认知者、知识、经验、教学活动等）上的取向是截

39、然不同的。Grossman (1995) 和Munby, Russell, & Martin (2001) 认为在教师知识的研究中这两种范式都很重要，只有同时使用这两种思维方式，才能对教师知识的研究及其发展有一个更为全面、完整的理解。为此，我们对这两种不同的研究范式做一个简单的介绍。范式性思维方式强调适用于很大范围的一般性的法则与原理，自然科学知识通常都是以范式性思维方式来描述的。以范式性思维方式为指导的教师知识研究将教师知识划分成抽象的、独立的类别，如学科知识、教学内容知识、课程知识等，然后分别加以研究。在这类研究中将教师知识用命题的方式表达出来，比如人们可以自由地谈论教学的知识基础，这种知

40、识既包括一些格言（maxims），也包括一些从课堂研究中得出的发现，是从理论的角度、命题式的立场去理解教师知识。这些都是一种与范式性的思维方式相关的研究。在这类研究中，对教师知识的分类千差万别，彼此之间有很大的差异。对于教师知识成分的不同分类方式，Borko & Putnam (1996) 曾经指出，人们对知识所做的分类并不代表知识在人头脑中实际的存储方式，这种知识划分只不过是帮助我们思考教师知识的启发装置（heuristic device）。也就是说，实际上教师头脑中的知识并不是抽象的、孤立的、离散的，而是各种类型的知识复杂地交织在一起 (Borko & Putnam, 1996)。 因此，

41、除了Borko & Putnam，还有很多研究者如Phillips (1996), Munby, Russell, & Martin (2001) 等都提醒研究者不要轻易排斥与己不同的教师知识分类，不同的教师知识分类都是以不同的方式从不同的角度对教师知识所进行的一种探索，研究教师知识不能被教师知识的分类法所限制。在教师知识的研究中，除了范式性的思维方式外，也有叙述性的思维方式。主张叙述性思维方式的研究者反对一般性知识的思想，他们认为，教师知识是内在的个人的，非常依赖于某一特殊课堂的独特背景，教师们也经常用轶事、故事等叙述性的方式去表达或交流他们的知识。因此，在教师知识的研究中产生了与范式性思维

42、方式不同的一类研究范式，也就是叙述性研究范式，他们坚持实践的认识论（epistemology of practice）。这类研究关注的是教师从课堂实践中所获得的具有个人特点和背景印记的教学知识。对教师来讲，叙述性思维来得可能比范式性思维更自然。这类的教师知识研究有各种各样的标题。Grimmett & MacKinnon (1992), Leinhardt (1990) 中是技艺知识（craft knowledge），Schn (1983)中是行动中的知识（knowledge-in-action），Leinhardt (1988) 中是情境知识（situated knowledge），Carte

43、r & Doyle (1987) 中是以事件为结构的知识（event-structured knowledge），Connelly & Clandinin (1985)中是个人实践知识（personal practical knowledge）。也有一些研究，虽然没有使用知识这个术语，但是也是在探讨这种类型的教师知识。比如，Calderhead (1988), Clandinin (1986) 中是意象（image），Munby (1986) 中是暗喻（metaphors），Richert (1992) 中是声音（voice）。三、 教师知识在教育活动中的作用教师知识之所以成为教育研究中的焦点

44、问题，与教师知识在实际教育活动中所起的重要作用是分不开的。它不仅影响教师在课堂上对知识的表述，而且影响课程的实施，同时也影响教师对学生认知特点的了解。各种教育实证研究的结果也发现：教师的知识和观念对教师的课堂教学行为、教师决定等很多方面都有很大的影响。由于我们进行的是教师知识中教师的学科知识的研究，因此，我们主要以教师的学科知识为例从以下四个方面来论述教师知识在教育活动中的作用。第一，在课堂讲解方面， Brown & Borko (1992) 指出，教师的学科知识越强，教师联系学科内各种主题的能力也越强，教师往往更容易表现出能够为学生提供概念上的解释（conceptual explanatio

45、n），而不是单纯的法则上的解释。特别地，对数学教育而言，有着丰富学科知识的教师，更倾向于将问题解决看成数学教学的核心而更强调教学中的概念性的方法（conceptual approach to teaching）。相反地，如果教师在学科知识上存在问题，就会给教学带来负面的影响。比如Frykholm (1996) 的研究表明，尽管新教师认为自己已经接受了教学改革的理念，但是由于新教师未能深刻地联系地理解自己所要教的数学，所以很难做到给学生创造一个改革文献中所倡导的丰富的学习机会。从课堂讨论和与学生交流的角度来看，教师要想促进课堂中的讨论、处理学生在从事真正的数学活动中所提出的各种问题，教师本身也必

46、须对数学有深刻的理解（Ball, 1990），只有这样，才能真正理解学生学习中的困难，与学生进行富有启发性的交流。第二，教师的学科知识不仅影响教师的教学行为，同时也影响教师的决定（teachers decision），如选择和组织教学内容、活动、任务和课程材料等（Shulman & Grossman, 1988）。Sanchez & Linares (2003) 的对教师函数知识的研究就发现，教师对于函数的理解影响他的教学计划设计。研究中的两位教师（Juan 和Rafael）在函数概念的理解上强调函数的运算和代数表征形式。他们认为图象只是代数表征形式的补充，因此在教学设计上，他们就优先考虑代数

47、表征和计算活动，而不是理解图象。相反，另外两位教师（Jose 和Alberto）却认为图象是解决现实问题的工具，在组织教学中Jose 仅仅围绕模型和对应来进行函数教学，Alberto则强调要在教学中表现图象和代数形式的作用。第三，教师知识不仅影响教学行为和教学决定，而且也影响教师对学生认知的理解。 Schmidt (1996，1997) 的一系列研究，以及在这一系列研究的基础上发展而来的Dooren, Verschaffel, & Onghena (2002) 的研究都表明：教师自身解决问题的方式影响他们对学生的解题策略的评价。研究数据显示教师在文字题考试中所使用的策略与他们在问卷中给这种策略

48、的平均评估分数显著正相关。中学数学教师自己使用代数解法的次数比较多，整体上给学生代数解法的打分就比较高，而和中学数学教师相比，小学数学教师给学生代数解法的打分低，给算术解法的打分高。最后，教师知识也影响课程的实施。Belfort & Guimaraes (2002) 设计了一个中学教师的在职培训课程。这个课程的主要目标是补充教师的学科知识。把学科知识和一系列的活动联系来，这些活动的目的是为了缩短教师所学的数学和教师所教的数学之间的鸿沟。这个在职培训课程通过这些活动给教师提供了从一个更高的观点评论他们所教的数学（代数、几何、数的结构、微积分与概率）的机会。为了评估培训课程的效果，研究者选择了两位

49、不同背景的教师，通过访谈和观察，了解他们参加这个在职教师培训课程前和参加课程后在教学实践上的不同。其中的一位教师 (Ricardo) 在参加教师培训课程之前通常只教课本上的东西，把课本当成教学的唯一资源。参加教师培训课程之后，Ricardo改变了学校所采用的数学课本，并使用不同来源的数学材料。因为他认为原来的课本中练习和训练太多，却没有教学生数学的概念。另一位教师（Ada）不仅改变了她所采用的教材，而且从根本上改变了使用教材的方式。并且她意识到自己的数学知识大部分是机械的 (instrumental)，概念性的理解很少。教师教学、学生学习、课程是教育活动中的三个根本要素，可以说，教师知识与教育

50、中的三个根本要素都有着密切的联系。这也是教师知识和观念成为当前教育研究中焦点问题的重要原因之一。教师知识不仅是影响教育活动的重要因素之一，同时它也和教育改革等实践活动密切相关。Ball, Lubienski, & Mewborn (2001) 曾经这样论述教师知识对教育改革的价值。她指出，在过去的四十年里，数学教育经历了几场大的改革运动。每一场教育改革都试图提升学校数学的教学质量，改变学生的数学学习经验，提高学生对基本概念和技能的掌握。然而，教育改革是艰难的。许多学生所经历的数学课堂与以前没有什么两样。可以说，如今的数学教育和1950年甚至是1900年没有什么差别。学生依然做着一页页的和与积的

51、练习，以及一些不可能的文字题。学生依然被告知利用“颠倒相乘”来做分数的除法，利用“My Dear Aunt Sally” (Multiplication Division Addition Subtration) 来记住“先乘除后加减”。教师依然在数学课堂上反复地解释怎样进行算法的操作，怎样运用这些法则。这些做法不见得没有帮助。但是，同英语教学一样，这些做法的结果是：能以优异的数学成绩离开学校的学生是非常少的。面对过去教育改革的失败，不可能用一个因素去解释。比较重要的因素有：数学的错误表征（the misrepresentation of mathematics）、对知识和学习的看法、学校和教

52、学的社会组织因素、课程材料和评估以及教师教育和专业发展（Ball, Lubienski, & Mewborn, 2001）。但是，上面所提到的这些重要因素下面有一个共同的根本因素，那就是我们对于教好数学所需要的数学知识的理解。到目前为止，这依然是一个没有解决的问题。解决了这个根本问题，我们不仅可以解决对知识和学习的看法等认识上的问题，能够找到合适的表征数学的方式，而且通过这个根本问题的解决，可以为课程设计与评估、教师教育与专业发展、社会组织等行动和政策提供知识基础和理论依据。因此我们说，教师知识和各种教育实践活动有着密切的联系。随着教师知识研究的不断发展，各个国家也开始重视教师知识的实际状况和

53、水平。目前美国、英国等国家的教育部门都对教师知识提出了具体的要求。在美国，一般性的教育文件有National Board for Professional Teaching Standards (1991), Interstate New Teacher Assessment and Support Consortium (1993)，American Council on Education (1999)。在英国有Department for Education and Employment (1998)。这些教育文件号召教师要很好地懂得自己学科的内容知识。这些学科知识应当是深入的、联系的、

54、概念性的，并且应当包括对这个领域的认识论上的知识。特别地，针对数学教师学科知识的文件有Conference Board of the Mathematical Science (2000), Leitzel (1991), National Council of Teachers of Mathematics (1991), National Council of Teachers of Mathematics (2000)。在这些文件里，专家根据课程提出一些参考意见，罗列出了教师需要掌握的数学主题。鉴于教师需要有一个联系的数学观点，文件中所罗列的主题通常超越了课程里的数学主题。目前，这种教育

55、文件的制定更多地是从政策的层面来考虑问题，为了使这类文件的制定能够更好地指导教师教育和教师专业发展的实践，实际上依然离不开“教学需要什么样的知识基础”这个根本问题的研究。由此也可以看出教师知识研究对教育实践的重要价值。四、 本研究在教师知识研究中的位置在前面我们已经介绍了教师认知发展的三个历史阶段：第一个阶段研究教师决定，第二个阶段研究教师的感知、思维等，第三个阶段研究教师知识。而在教师知识的研究中又有两种不同思维取向的研究：一种是叙述性思维取向的研究，一种是范式性思维取向的研究。在范式性思维取向的研究中，研究者们所进行的实证研究主要集中在一般教学法知识、教学内容知识和学科知识这三种知识的研究

56、上。本论文的研究正是教师知识研究中的学科知识。而在教师的学科知识研究中有物理、英语、数学等不同学科的研究。我们所研究的是数学学科知识。在第二章第一节中我们将会介绍数学学科知识的研究中主要有两种取向，一种是关于数学的知识，一种是数学的知识。我们所研究的是数学的知识。为了将上述的这些内容更清晰地表达出来，我们用下面的图1.1来表示本论文的研究在整个教师知识研究中的位置：第一个阶段：教师决定第二个阶段：教师的感知、思维等第三个阶段：教师知识教师认一般教学法知识教学内容知识学科知识 叙述性研究范式性研究 知物理、英语等学科知识数学学科知识关于数学的知识（knowledge about mathemat

57、ics）数学的知识（knowledge of mathematics）图1. 1 教师知识研究的概况第二节 研究问题的提出上面我们已经提到，教师知识研究所要探索一个基本问题是：为了教学，教师需要什么样的知识。对于数学教师的学科知识研究而言，这个基本问题就变为：为了数学教学，教师需要什么样的数学知识。表面上看来，我们只是加上了“数学”两字就将教师知识研究的基本问题变成了数学教师的学科知识研究的基本问题，但我们需要强调的是，虽然教师知识中的一般学科知识理论对数学教师的学科知识的研究有很大的影响，但这并不意味着只要将教师知识中的一般学科知识理论放在数学课堂教学的情境中就等于数学的学科知识研究。这是因

58、为数学有其独特的一面，数学教学也有其不同于很多其它学科的独特目的与追求。为了达到数学教学的这些目的，对数学教师的学科知识的要求自然有其数学特殊的一面。因此，数学教师的学科知识研究应当从数学教学出发，首先思考数学教学活动的主要任务与目的是什么？从而进一步思考为了完成这些教学任务，学生需要学习哪些数学知识？教师需要具备哪些数学知识？一、 数学教学的主要任务与目的：问题解决 Halmos (1980，页524) 中曾经说过：“问题是数学的心脏”。毫不夸张地说，问题和问题解决是推动数学发展的根本动力。好的数学问题不仅会产生新的数学理论、新的数学分支和新的数学方法，而且会产生新的数学问题，从而推动数学的

59、发展。1990年数学家希尔伯特（Hilbert）在巴黎国际数学家大会上致词，为总结上一世纪的数学发展，并展望二十世纪的数学，提出了著名的二十三个问题，他指出：“某类问题对于一般数学进展的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题的缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界”。Kilpatrick (1982, 页2) 中就直接指出：“所有的数学都是在形成问题及解决问题

60、的过程中创造出来的”。问题和问题解决不仅对数学来讲是至关重要的，对数学教育而言也是非常重要的。National Council of Supervisors of Mathematics (1977) 中就曾提出：“学会问题解决是学习数学的最主要的原因”。 Polya (1962, 页331) 中也曾经指出：“在我看来，中学数学课程的主要目的之一是发展学生的解题能力”。二十世纪八十年代的数学教育甚至提出：问题解决是学校数学的中心（National Council of Teachers of Mathematics, 1980），并且可以说这个观点曾经是整个八十年代数学教学与数学教育研究的主流

61、思想。Mayer (2000, 页134) 中也曾提出：“数学教学的一个主要目标之一就是发展学生的数学问题解决的专长”。至于问题解决是否应该成为学校数学教育的唯一目的我们在这里不去讨论，但无论数学教育的目的是什么，一个毋庸置疑的事实是：问题解决是包括数学教学与数学学习活动在内的一切数学活动的核心。在数学教学中，教师除了要帮助学生学习数学的概念、定义、法则等数学基础知识和培养学生的数学观之外，一项重要的教学活动和任务就是帮助学生学习解决数学问题。即使是对数学概念和法则的教学，其最终目的也不是要学生记住那些数学内容，而是要应用这些数学知识去解决问题。并且，只有通过应用这些数学知识去解决问题，才能加

62、深对这些数学知识的理解。对于数学教学的其它目的，如数学观的培养也无法脱离实际的问题解决活动。数学观的培养不可能只通过数学哲学的抽象的讲解来实现，也必须通过不断解决来自数学内部和外部的问题，才能逐渐认识数学的价值和本质，只有通过这种数学实践活动所获得的数学观才有意义和价值。因此我们说，问题解决对数学教育有着特殊的意义，它不仅是数学教育的一个主要目的，同时也是数学教育中的一个主要活动。二、 问题解决中问题解决者所需要的数学知识问题解决是一项复杂的活动，其中涉及很多的影响因素。不同的研究者从不同的角度探索影响问题解决的因素。这其中，有外在的因素，如文化、社会环境的因素。也有内在的因素，如动机等。这些因素都影响个人在问题解决上所做的工作的数量和质量。从个体的认知的角度来看，在认知系统中，主要有相对而言不易