动量定理动量守恒实用教案

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1、 这就是质点的动量定理：物体在运动过程中所受到这就是质点的动量定理：物体在运动过程中所受到的合外力的合外力(wil)(wil)的冲量，等于该物体动量的增量。的冲量，等于该物体动量的增量。动量定理(dn lin (dn lin dn l)dn l)的几点说明：(1)(1)冲量(chngling)(chngling)的方向： 冲量 的方向一般不是某一瞬时力 的方向，而是所有元冲量 的合矢量 的方向。IiFtF d 21dtttF(2)(2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程xxttxxmvmvtFI1221d yyttyymvmvtFI1221d zzttzzmvmvtFI1221d 第1页/共

2、29页第一页，共30页。(3)(3)动量定理在打击或碰撞(pn zhun)(pn zhun)问题中用来求平均力。t2t1t FF 打击或碰撞，力 的方向保持不变，曲线与t t轴所包围的面积就是t t1 1到t t2 2这段时间内力 的冲量的大小，根据改变动量的等效性，得到平均力。FFPtF21ttF tF tdtPF将积分(jfn)用平均力代替动量定理(dn lin dn l)写为平均力写为2121dttF tFtt平均力大小：第2页/共29页第二页，共30页。例 动量定理解释(jish)(jish)了“逆风行舟”船前进方向风吹来风吹来取一小块风dm为研究(ynji)对象00PPPIPImPd

3、00初初mPd末末由牛顿第由牛顿第三定律三定律前进方向风对帆的冲量风对帆的冲量(chngling)大小大小PI方向与方向与 相反相反PtPF第3页/共29页第三页，共30页。例题2-2 质量(zhling)m=3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间(1)t=0.1s， (2)t=0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。 解：以重锤为研究对象(duxing)(duxing)，分析受力，作受力图： 解法一：锤对工件的冲力变化范围(fnwi)(fnwi)很大，采用平均冲力计算，其反作用力用平均支持力代替。 在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。0()NF

4、mg tmvmv初状态动量为2mgh末状态动量为0 0NFmg第4页/共29页第四页，共30页。()2NFmg tmgh得到(d do)(d do)2/NFmgmgh t解得代入m、h、t的值，求得：(1)(1)51 92 10 NNF.=?61 9 10 NNF.=?(2)(2)第5页/共29页第五页，共30页。 解法二：考虑从锤自由下落到静止的整个过解法二：考虑从锤自由下落到静止的整个过程程(guchng)(guchng)，动量变化为零。，动量变化为零。重力(zhngl)(zhngl)作用时间为2 /th g支持力的作用(zuyng)(zuyng)时间为t t根据动量定理，整个过程合外力的

5、冲量为零，(2 /)0NF tmg th g得到解法一相同的结果2/NFmgmgh t即第6页/共29页第六页，共30页。例题2-3 一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为m及的m物体(wt)A和B， m大于m。B静止在地面上，当A自由下落距离h后，绳子才被拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体(wt)的速度，以及能上升的最大高度。mmBAh解：以物体A A和B B为系统作为研究(ynji)(ynji)对象，采用隔离法分析受力，作出绳拉紧时的受力图：Agm1TBm g2T 绳子绳子(shng zi)(shng zi)刚好拉紧前刚好拉紧前的瞬间，物体的瞬间，物体A A的速度为：的速度为：ghv2 取竖直向上

6、为正方向。第7页/共29页第七页，共30页。 绳子拉紧后，经过绳子拉紧后，经过(jnggu)(jnggu)短暂时间的作用，两短暂时间的作用，两物体速率相等，对两个物体分别应用动量定理，得到：物体速率相等，对两个物体分别应用动量定理，得到：)()(1mvmVtmgT 2( )0Tm gtm V 忽略重力，考虑(kol)(kol)到绳不可伸长，有：21TT 解得：2mghVmm当物体(wt)B(wt)B上升速度为零时，达到最大高度022 VaHmmagmm222m hHmm 第8页/共29页第八页，共30页。例题2-4 2-4 矿砂从传送带A A落到另一传送带B B，其速度v1=4m/sv1=4m

7、/s，方向(fngxing)(fngxing)与竖直方向(fngxing)(fngxing)成3030角，而传送带B B与水平成1515角，其速度v2=2 m/sv2=2 m/s如传送带的运送量恒定，设为k=20 kg/sk=20 kg/s，求落到传送带B B上的矿砂在落上时所受到的力解解: :设在某极短的时间设在某极短的时间t t内落在传送带上矿砂的质量为内落在传送带上矿砂的质量为m m，即，即m=km=kt t，这些矿砂动量，这些矿砂动量(dngling)(dngling)的增量为的增量为第9页/共29页第九页，共30页。于是(ysh)()3.983.98m/smvmk t其量值可用矢量(

8、shling)(shling)差方法求得 参看图 (b) (b)21()mvmvmv()F tmv 设这些(zhxi)(zhxi)矿砂在t t时间内的平均作用力为F F，根据动量定理，()79.6NmvFt作用力F的方向与(m)的方向相同，图(b)中的角可由下式求得： 2()sin75sinmvmv29第10页/共29页第十页，共30页。 物体物体m m与质元与质元dmdm在在t t时刻时刻(shk)(shk)的速度以及在的速度以及在t+dtt+dt时刻时刻(shk)(shk)合并后的共同速度如图所示：合并后的共同速度如图所示：mdmvutttd m+dmvvd F 把物体与质元作为把物体与质

9、元作为(zuwi)系统考虑，初始时刻系统考虑，初始时刻与末时刻的动量分别为：与末时刻的动量分别为：uvmmd 初始时刻)d)(d(vv mm末时末时刻第11页/共29页第十一页，共30页。对系统利用(lyng)动量定理uvvvmmmmd)d)(d( tdF vvvmmmddddtdF 略去二阶小量(xioling)，两端除dtFuv tmmtdd)(dd 值得注意的是，dm可正可负，当dm取负时，表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题，utmdd为尾气推力。第12页/共29页第十二页，共30页。例2-5 质量为m的匀质链条，全长为L，手持其上端(shn dun)，使下端离地面为h.然后放手让它

10、自由下落到地面上，如图所示.求链条落到地上的长度为l时，地面所受链条作用力的大小. Lh 解：此题可用变质量物体(wt)运动微分方程求解，用链条为系统，向下为x正向，x t时刻，落地面链段时刻，落地面链段ml速度速度(sd)为零，为零，即即u=0，空中链段（，空中链段（m-ml）速度）速度(sd)为为v，受力如图。受力如图。Llx()lmm gFd() ()dllmm vmm gFt 由变质量物体运动微分方程可得第13页/共29页第十三页，共30页。因在自由下落中 ，所以上式化简为ddvgtd()dlvmmFt 22 ()vg lh 或dd()()()ddlllvvmmmmmm gFtt因 ,

11、 ,又d,dlmlml vLt 所以(suy)22 ()mm lhFvgLL 地面所受链条(lintio)的作用力的大小2 ()g(32 )lm lhmlmFFmgglh gLLL第14页/共29页第十四页，共30页。=iiiPm v=rr常量 如果系统所受的外力之和为零（即 ），则系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒定律. .0iF条件(tiojin)0iF定律(dngl)0ixFixixvmp0iyFiyiyvmpizizvmp= =常量(chngli(chngling)ng)0izF直角坐标系下的分量形式第15页/共29页第十五页，共30页。3.自然界中不受外力的物体是没有的，但如

12、果系统(xtng)的内力外力，可近似认为动量守恒。2.若合外力不为 0，但在某个方向上合外力分量(fn ling)为 0，这个方向上的动量守恒。1.对于一个质点系，若合外力(wil)为 0，系统的总动量保持不变，但系统内的动量可以相互转移。明确几点第16页/共29页第十六页，共30页。例题2-6 如图所示,设炮车以仰角 发射(fsh)一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为M和m，炮弹的出口速度为v，求炮车的反冲速度V。炮车与地面间的摩擦力不计。解: : 把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖直方向上的外力有重力 和地面支持力 ，而且 ，在发射过程中 并不成立（想一想为什么？），系统所受的外力矢量和不

13、为零，所以这一系统的总动量不守恒。NGNGNG vmM第17页/共29页第十七页，共30页。经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速度 ，按速度变换定理为uuvV它的水平(shupng)分量为Vvux cos于是，炮弹在水平方向(fngxing)(fngxing)的动量为m(vcos m(vcos -V)-V)，而炮车在水平方向(fngxing)(fngxing)的动量为-MV-MV。根据动量守恒定理有 cosvMmmV 由此得炮车(po ch)(po ch)的反冲速度为 0cos VvmMV 第18页/共29页第十八页，共30页。解: :物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于

14、重力，故在爆炸中，可认为动量守恒(shu (shu hn)hn)。由此可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍等于零，即例题2-7 一个(y )静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速度（大小和方向）。 所以，这三个动量必处于所以，这三个动量必处于(chy)(chy)同一平面内，且第三同一平面内，且第三块的动量必和第一、第二块的块的动量必和第一、第二块的合动量大小相等方向相反，如合动量大小相等方向相反，如图所示。因为图所示。因为v1v1和和v2v2相互垂直相互垂直所以所以1 122330m vm

15、vm vm3v3m2v2m1v1 第19页/共29页第十九页，共30页。222211233)()()(vmvmvm 22312121.2m/s2vvv由于 和 所成角 由下式决定：1v3v 0180,45, 1012vvtg因所以135即 和 及 都成 且三者都在同一平面内1353v1v2v由于 , ,所以 的大小为3vmmmmm2,321第20页/共29页第二十页，共30页。 例题例题2-8 质量为质量为m1 和和m2的两个小孩，在光滑水平冰面上的两个小孩，在光滑水平冰面上用绳彼此用绳彼此(bc)拉对方。开始时静止，相距为拉对方。开始时静止，相距为l。问他们将。问他们将在何处相遇？在何处相遇

16、？解: :把两个(lin )(lin )小孩和绳看作一个系统，水平方向不受外力，此方向的动量守恒。 建立如图坐标系。以两个小孩的中点为原点，向右建立如图坐标系。以两个小孩的中点为原点，向右为为x轴为正方向。设开始时质量为轴为正方向。设开始时质量为m1 的小孩坐标为的小孩坐标为x10,质量为质量为m2的小孩坐标为的小孩坐标为x20，他们在任意时刻的速度分，他们在任意时刻的速度分别别(fnbi)v1为为v2,相应坐标为相应坐标为x1和和x2由运动学公式得由运动学公式得Cm2m1x10 x20 xOO第21页/共29页第二十一页，共30页。10120200ddttxv txvt11010dtxxv

17、t22020dtxxv t在相遇(xin y)时，x1=x2，于是有即1020210()dtxxvvt因动量守恒(shu hn)，所以 m1v1+ m2v2=0代入式上式得1121020110022(1) ddttmmmxxv tv tmm第22页/共29页第二十二页，共30页。2202101012dtm xm xv tmm即所以(suy)2202102201 101101212cm xm xm xm xxxxmmmm上述(shngsh)结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们共同的质心相遇。上述(shngsh)结果也可直接由质心运动定律求出。第23页/共29页第二十三页，共30页。XOtt+

18、dtvt 时刻 火箭的速度Mt 时刻 火箭的质量dmt +dt 时刻喷出气体的质量ut +dt 时刻喷出气体相对于火箭的速度M+dMt +dt 时刻火箭的质量v+dvt +dt 时刻火箭的速度选地面参考系，并建立(jinl)直角坐标系第24页/共29页第二十四页，共30页。由于火箭在喷出气体前及喷出气体后系统(xtng)动量守恒：在火箭(hujin)喷出气体 dm 前 ，系统动量：喷出气体(qt) dm 后 ，火箭的动量：喷出气体 dm 的动量：选 t t 时刻火箭及内部气体为系统，对于地面参考系d(d )muvv(d)(d )MMvvMvMv(d)(d )MMvvd(d )muvv第25页/

19、共29页第二十五页，共30页。将（2 2）、（3 3）式代入（1 1）式中并整理(zhngl)(zhngl)得到：dd(2)mM dd0(3)Mv dd0(4)u MM v dd(5)MvuM d(d) (d )(d )m vv uMM vv(1)Mv第26页/共29页第二十六页，共30页。设火箭在点火(din hu)前质量为Mi，初速度为 vi设火箭在燃料(rnlio)烧完后质量为Mf，速度为 vf 火箭速度的增量与喷出气体的相对速度成正比。与火箭始末火箭速度的增量与喷出气体的相对速度成正比。与火箭始末质量质量(zhling)(zhling)的自然对数成正比。的自然对数成正比。dd(6)ff

20、iivMvMMvuM ln(7)ififMvvuM提高火箭速度的途径有二：提高火箭速度的途径有二：第一条是提高火箭喷气速度第一条是提高火箭喷气速度u第二条是加大火箭质量比第二条是加大火箭质量比M0/M( (选优质燃料选优质燃料 ) ) ( (采取多级火箭采取多级火箭) )第27页/共29页第二十七页，共30页。选择进入下一节2-0 2-0 教学(jio xu)(jio xu)基本要求2-1 2-1 质点系的内力 质心 质心运动定理2-2 2-2 动量定理 动量守恒定律2-3 2-3 功 动能 动能定理2-4 2-4 保守力 成对力的功 势能2-5 2-5 质点系的功能原理 机械能守恒定律2-6

21、 2-6 碰撞2-7 2-7 质点的角动量和角动量守恒定律2-8 2-8 对称性和守恒定律第28页/共29页第二十八页，共30页。感谢您的观赏(gunshng)第29页/共29页第二十九页，共30页。NoImage内容(nirng)总结这就是质点的动量定理：物体在运动过程中所受到的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。(2)在直角坐标(zh jio zu bio)系中将矢量方程改为标量方程。在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。代入m、h、t的值，求得：。求绳子刚被拉紧时两物体的速度，以及能上升的最大高度。以两个小孩的中点为原点，向右为x轴为正方向。由于火箭在喷出气体前及喷出气体后系统动量守恒：。将（2）、（3）式代入（1）式中并整理得到：。感谢您的观赏第三十页，共30页。