北京市东城区第一学期期末检测高三数学理科含答案

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1、东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测高三数学（理科） 学校_班级_姓名_考号_本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则（A） （B） （C） （D） （2）在复平面内，复数 的对应点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限（3）设，则“”是“直线与直线平行”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件a =a+2否开始S=

2、1是a=3S=SaS 100?输出a结束（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （4）执行右图所示的程序框图，输出的a的值为（A）（B）（C）（D）（5）在中，则（A） （B）（C） （D）（6）已知直线与圆相交于，两点，若，则的取值范围为 （A） （B） （C） （D）（7）在直角梯形中，,，点在线段 上，若，则的取值范围是（A） （B） （C） （D）（8）定义设实数满足约束条件则 的取值范围是（A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）若函数为奇函数，当时，则的值为 （主视图）（侧视图）（俯视图）1211（10）

3、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （11）若点为抛物线上一点，则抛物线焦点坐标为 ；点到抛物线的准线的距离为 （12）函数的最大值为 （13）如图，已知点,点在曲线 上，若阴影部分面积与面积相等时，则 （14）设等差数列满足：公差，且中任意两项之和也是该数列中的一项. 若，则 ； 若，则的所有可能取值之和为 .三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）已知函数（）求的值；（）求在区间上的最大值和最小值（16）（本小题共13分）已知是一个公差大于0的等差数列，且满足, .（）求数列的通项公式；（）若数列满足：，求数列的前项和.（

4、17）（本小题共14分）BACAADAEAA1B12AC1如图，在三棱柱中，平面， ，分别是，的中点（）求证：平面；（）求证：平面平面； （）求直线与平面所成角的正弦值（18）（本小题共13分）已知，函数（）当时，求的最小值；（）若在区间上是单调函数，求的取值范围（19）（本小题共13分）已知椭圆上的点到其两焦点距离之和为，且过点 （）求椭圆方程；（）为坐标原点，斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点，若，求的面积.（20）本小题共14分）若无穷数列满足：对任意，；存在常数，对任意，则称数列为“数列”. （）若数列的通项为，证明：数列为“数列”； （）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列

5、”，证明：对任意，；（）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：存在 ，数列为等差数列.东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）C（5）C （6）A （7）C （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10） （11） ，（12） （13） （14）三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分） 解：（）由，得所以 8分（）因为，所以 当，即时，函数在区间上的最大值为当，即时，函数在上的最小值为13分（16）（共13分） 解：（）设等

6、差数列的公差为，则依题设由,可得由，得，可得所以可得6分（）设，则.即，可得，且所以，可知所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列所以前项和13分（17）（共14分）证明：（）取的中点，连结，交于点，可知为中点， 连结，易知四边形为平行四边形， 所以 又平面，平面，所以平面4分证明：（）因为，且是的中点，所以因为平面，所以所以平面又，所以平面又平面，所以平面平面分解：（）如图建立空间直角坐标系，则，, ，zAC1B12A，EADA设平面的法向量为.MAA1BA则 yAFAACA所以 xA令.则.设向量与的夹角为， 则.所以直线与平面所成角的正弦值为. 14分（18）（共13分）解：（）当时，（

7、），所以，当时，；当时，所以，当时，函数有最小值分（）当时，在上恒大于零，即，符合要求当时，要使在区间上是单调函数，当且仅当时，恒成立即恒成立设，则，又，所以，即在区间上为增函数，的最小值为，所以综上， 的取值范围是，或13分（19）（共13分）解（）依题意有， 故椭圆方程为 分（）因为直线过右焦点，设直线的方程为 .联立方程组消去并整理得 （*）故，又，即所以，可得，即 方程（*）可化为，由，可得 原点到直线的距离. 所以 13分（20）（共14分） （）证明：由，可得，所以，所以对任意，又数列为递减数列，所以对任意，所以数列为“数列”5分（）证明：假设存在正整数，使得由数列的各项均为正整数，可得由，可得且同理，依此类推，可得，对任意，有因为为正整数，设，则.在中，设，则与数列的各项均为正整数矛盾所以，对任意，.10分（）因为数列为“数列”，所以，存在常数，对任意，设由（）可知，对任意，则若，则；若，则而时，有所以，中最多有个大于或等于，否则与矛盾所以，存在，对任意的，有所以，对任意， 所以，存在 ，数列为等差数列.14分