完整版初中数学一元二次方程知识点总结与练习

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1、知识点总结：一元二次方程知识框架知识点、概念总结1. 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2 (二次)的方程，叫做一元二次方程。2. 一元二次方程有四个特点：(1) 含有一个未知数；(2) 且未知数次数最高次数是2 ；(3) 是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a丰0)的形式，则这个方程就为一元二次方程；将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0 时，应满足(a丰0);3. 一元二次方程的一般形式 ：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，？都能化成如下

2、形式 ax2+bx+c=0(0)。一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0 (a* 0)后，其中 ax2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。4. 一元二次方程的解法(1) 直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如(X a)2b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，x a是 b 的平方根，当b 0时，x a. b,x a. b，当 b0时，方程没有实数根。ix4-i + =0数学问题实莓问題升平寿补式法數学问題的琳实际问题的答秦(2) 配方法x配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元

3、二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式a22ab b2(a b)2，把公式中的a 看做未知数 x，并用 x 代替，则有x22bx b2(x b)2。配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为 1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式，如果 q0,方程的根是 x=-pVq；如果 qv0,方程无实根.(3) 公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程ax2bx c 0(a0)的求根公式：b、b24

4、ac2x(b 4ac 0)2a(4) 因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。5. 一元二次方程根的判别式2 2 2根的判别式：一元二次方程ax bx c 0(a 0)中，b4ac叫做一元二次方程ax bx c 0(a 0)的根的判别式，通常用“ ”来表示，即b24ac6. 一元二次方程根与系数的关系bc如果方程ax bx c 0(a 0)的两个实数根是, x2，那么论x2,XM2。也就是说，对于任何一个aa有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项 除以二次项系

5、数所得的商。7. 分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。8. 分式方程的一般解法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：(1) 去分母，方程两边都乘以最简公分母(2) 解所得的整式方程(3) 验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。知识点 1只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2 的整式方程叫一元二次方程。例题：x1、判别下列方程是不是一元一次方程，是的打，不是的打“X”，并说明理由(1)2x2-x-3=0.-y2=0.4(3) t2=0.x3-x2=1.x2-2y-1=0.(6)-g -3=0.(2)

6、 配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式,x23x =2.(8)(x+2)(x-2)=(x+1)2(9)3x2-44+6=0.(10)3x2=x-3.x41、若关于 x 的方程 a(x 1) =2x 2 疋兀 1 次方程，则 a 的值是()(A) 2(B) 2(C) 0(D)不等于 2项系数，c是常数项。特别警示：(1) “a 0”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分；(2)二次项系数、是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。知识点三一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，

7、叫方程的解。例题：21、已知方程3x 9x m 0的一个根是 1,则 m 的值是_22、设a是一元二次方程x 5x0的较大根，b是x3x 20较小根，那么a b的值是()(A) -4(B) -3(C) 1(D) 223、已知关于x的一元二次方程xkx 2 0 x的一个解与方程13的解相同。x 1(1) 求k的值；2(2)求方程x kx 2 0的另一个解。知识点四一元二次方程的解法一元二次方程的四种解法：2、已知关于x的方程m1 x23x时，方程为一次方程；当时，两根中有一个为零a。3、已知关于x的方程m(1) m 为何值时方程为元一次方程;(2) m 为何值时方程为一元二次方程。知识点二一元二

8、次方程的一般形式元二次方程的一般形式是：ax2bx20，其中ax是二次项，a叫二次项系数;bx是一次项，b叫一次一次项系数及常数项都2(1) 直接开平方法：如果x2k k 0，则x右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解;（3） 公式法：一元二次方程ax2bx c 0 a 0的求根公式是x -b24ac 0；2a（4） 因式分解法：如果x a x b 0则x1a,x2b。温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。例题：解方程：1、解下列方程：(1) 2.3 y22.3 y（2）12x 1丄x 132（3）（x 3)2

9、2x523 y26y 22y 2知识点五一元二次方程根的判别式对于一元二次方程ax2bx c 0 a 0的根的判别式是b24ac:（1） 当b24ac 0时，方程有两个不相等的实数根；（2） 当b24ac 0时，方程有两个相等的实数根；（3） 当b24ac 0时，方程无实数根。温馨提示：若方程有实数根，则有b24ac 0。例题：21、 已知方程x 3x k 0有两个不相等的实数根，则k= _ 。22、当 m 满足何条件时，方程mx 2 m 1 x 9m 10有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根？22 23、关于x的方程mx 2 m 2 x m 50无实根，试解关于x的方程m5x 2 m 2

10、 x m 0。24、已知关于x的一元二次方程x 4 m 1 x 2m 1 0，求证：不论 m 为任何实数，总有两个不相等的实数根。知识点六一元二次方程根与系数的关系温馨提示：利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。例题:（D）不存在0的两个不相等的实数根，且满足 -1，则 m 的(D) -3 或 1m,n 满足m26m 4, n26n 4，贝 U mn 的值为2px q 0的两个根，X11,X21是关于X的一元二次方程X qx p 0的两个根，则p,q的值分别等于多少?知识点七一元二次方程的实际应用列一兀二方程解应用题的一般步骤：（1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5

11、）检验（6）写出答案。在检验时，应从方程本身和实际问题两个方面进行检验。1、有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的二倍多5,求这个两位数。( )33(A)1或(B)1(C)442、已知，X的一元二.次方程X2m23 x m是关于值是()(A) 3 或-1(B) 3(C)11、关于x的一元二次方程23、方程x 3x 60与方程x26x 30的所有根的乘积是_若一元二次方程ax2bx c 0 a0的两个实数根为 为，X2，则捲X2bc,xix2aa2 2x kx 4k 3 0的两个实数根分别是Xi,X2，且满足为X2X1X2，贝y k的值为:4、两个不相等的实数5、设X

12、1, X2是关于X的一元二次方程X222、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格， 某种药品经过连续两次降价后，由每盒 200 元下调至 128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？1、下列方程中，关于x的一元二次方程是A.3 x 122 x 1B.l1x x22 0C.ax2 22、方程(m 1) x + mx 5 = 0是关于一元二次方程综合复习2 2bx c 0D.x 2x x 1兀二次方程， 则 m 满足的条件是()(A) mz1( B) mz0(C)3、右x 1疋兀2:二次方程axbx 2 0的K4、实数 b24ac是方程的根2a(A)ax2bxc 0(B)ax2bx

13、(C)ax2bxc 0(D)ax2bx25、方程x250的解是：A.x1x25B.x1x225C.x15兀(D) m= 1| m|丰1，则D.x125, x2250两个不相等的实数根，则k 的取值范围是()(A)k1(B)k17、在下列方程中，有实数根的是A)x 3x 10 B) 4x118、关于x的一元2二次方程2x2x( )/八51(A) m-(B)m3226、关于x的一元二次方程kx 2x 1(C)k0(D)k1且k0()2x1C)x2x 30D)x 1x 13m10有两个实数根X1,X2, 且mx2551(C)m-(D)m332x1x24，贝U m的取值范围是9.若(x+y ) (1

14、x y) +6=0，贝 U x+y 的值是()A . 2 B . 3 C. 2 或 3 D . 2 或310、若(m+1)xm(m 2) 1+2mx 仁 0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值是 _11、填上适当的数，使等式成立：x25x _=(x_)2.12、 当x=_时，代数式x23x比代数式2x2x 1的值大 2 .13、 某商品原价每件25 元，在圣诞节期间连续两次降价，现在商品每件16 元，则该玩具平均每次降价的百分率成本共 24 元，该经营户要想每天盈利200 元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?m 1 x m 0 m 0的两个根，且满足丄丄x-ix219、已知关于 x

15、的一元二次方程x2kx 1 0。(1)求证：方程有两个不相等的实数根;17、设XjX?是关于X的方程X2|，求m的值。成本共 24 元，该经营户要想每天盈利200 元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?设的方程有两根分别为x1,x2，且满足x1x2x-ix2求 k 的值。221.已知： ABC 的两边 AB、AC 的长是关于x的一元二次方程x22k 3 x k 3k 20的两个实数根，第三边 BC 的长为 5,问：k 取何值时， ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形?22、 一块长方形铁皮的长是宽的2倍， 四角各截去一个正方形， 制成高是5求这块铁皮的长和宽。cm，容积是5 0 0cm3的

16、无盖长方体容器。23、如图，有一面积为 150 m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠 围成，如果竹篱笆的长为 35 m,求鸡场的长与宽各为多少米？墙(墙长 18 m),另三边用竹篱笆lBnjF24、西瓜经营户以 2 元/千克的价格购进一批小型西瓜，以 3 元/千克的价格出售，每天可售出 200 千克，为了促销, 该经营户决定降价，经调查发现，这种小西瓜每降价0.1 元/千克，每天可多售出 40 千克，另外，每天的房租等固定25、在矩形 ABCD 中，AB=6cm , BC=3cm。点 P 沿边 AB 从点 A 开始向点 B 以 2cm/s 的速度移动，点 Q 沿边 DA 从点 D 开始向点 A 以

17、1cm/s 的速度移动。如果 P、Q 同时出发，用 t (s)表示移动的时间(OwtX1+ X2成立？请说明理由.3.已知关于 x 的一元二次方程 x2-2x+m- 1=0 有两个实数根 X1, X2.(1) 求 m 的取值范围；(2) 当 X12+X22=6X1X2时，求 m 的值.ab - b2(ab)a2- ab(aCb)X2是一元二次方程 x2- 6x+8=0 的两个根，则 X1?X2=_.2，例如：5?3，因为 5 3，所以 5?3=5X3 - 3 =6.若 X1,332_6 .已知方程 X +X-仁 0 的两个根为a、B.则-的值为5.若x满足x25x10，则1xX的值1. (I)已知a,b,c均不为 0，且a 2b 3b c 2c ac 2b2b 3a的值;4.对于实数 a, b,定义运算“？”