初中数学题及符号集合附详细解答

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1、符号： A x2 90%=1、怎么用尺规作图过直线外一点作已知直线的垂线？过此点用圆规画弧，与直线形成两个交点，分别过两点再以相同长度画弧，交点与原点相连就是已知直线的垂线。 可以用三角形全等来证明。 2、 已知两条等宽的纸条倾斜相交（注意不垂直） 求证：四边形ABCD是菱形 证明：很容易证明是平行四边形。两种思路： 由两平行线距离相等， 且由平行四边形面积公式可得，这平行四边形底也相等，所以邻边相等 由两平行线距离相等推出三角形全等，得邻边相等。3、 如图,已知各点坐标:A1(1，0) ，A2(1，1) ，A3(-1，1) ，A4(-1，-1) ，A5(2，-1) ，A6(2，2) ，A7(

2、-2，2) ，A8(-2，-2) ，A9(3，2)求A2007的坐标.解:(周期性)由A1+42 A1(1，0) (+2，+2) A1=4501+3 A9(3，2) A2005A2005(502,-501) A2006(502,502) A2007(-502,502)4、 ABC的中线为BD，过B作BEAC，过A作AEBD，AE与BE相交于E，连结CE交BD于点O问：BD与CE是何关系？请给出证明。BD与CE相互平分证明：连结ED由EBAD=CD得四边形EBCD是平行四边形平行四边形对角线相互平分5、 如图所示，在ABC中，M是BC中点，AN平分BAC，BNAN。若AB=14,AC=24,求M

3、N的长。解：延长BN到D，则ABNADN(ASA) N为BD中点NM为BCD的中位线 NM=DC=（24-14）=56、矩形内有一点P到各边的距离分别为1,3,5,7，则该矩形的最大面积为 64 平方单位。解：面积（长宽）当长和宽越接近时越大。所以长=宽=8时面积最大。面积为88=647、三角形三边长为，5，2，求最大边上的高为设x，由21- x222(5- x2) =x=4.2 h=8、如图所示，在ABCD中，AB=6，AD=9，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BGAE，垂足为G。BG=4，则CEF的周长为（8）首先AG2= 62（4）2=AG=2由ABGEBG得EG=AG

4、=2 且BE=BA由F=BAF=DAF得DF=AD=9 FC=96=3由平行线分线段成比例得FE:AE=FC:CD得FE=2由EC=96=3CEF的周长为3+2+3=89、平行四边形是（中心）对称图形。10、把两个全等三角形按各种方式拼成四边形，则这些四边形中平行四边形有（3）个。11、把三边长为4、5、6的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成 6 种不同的四边形，其中有3 个平行四边形。 12、以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有（3）个。13、以不在一条直线上的三个已知点A、B、C为顶点作平行四边形，这样的平行四边形可作 3 个。14、平行四边形两邻边上的高是2和3，高的夹角

5、是，则周长是（20）解：显然BAF=，设BF=x，则AB=2x由=12 =x=2 AB=4 同理得BC=6 平行四边形的周长为(4+6)2=2015、如图所示：矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板，则矩形ABCD的周长为（ 8 ）解：过G作GHAE于H，则图中分成四个相似的直角三角形 由GH=4，AH=2得AG2= AH2HG2得AG=2 由相似比2：2=2：GD=GD= 由相似比2：4=4：AB=AB= 矩形ABCD的周长为(2+)2=816、如图所示，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，问：当两张纸条垂直时，菱形的周长为最小，为什么？那么最小值为多

6、少？什么时间菱形的周长最大？最大值是多少？解：显然在打斜时菱形的边长变长此时AE=2,显然AE x=10046、一组数据的方差是2，将这组数扩大到原来的3倍，则所得新数据组的方差是（18），为什么？解：利用公式=+=(+= +=2=1847. 一个样本M的数据是：，它的平均数是5；另一个样本N的数据是：，它的平均数是34，那么下面结果一定正确的是（A），请说明理由。A=9 B. =9 C. =3 D=3解：=（n） =(34n25n) =950. 一个样本的容量为80，分组后落在某一区间的频数为5，则该组数据所占百分比为（6.25%），为什么？解：频数：出现的次数（即出现多少次）5/80=6.

7、25%51、某县抽取200名学生进行调查，画出如图所示的直方图。已知图中从左到右的4个小组所占百分比分别是4%，10%，16%，40%。则第五个小组的频数是（60），为什么？解：第五小组的频数为： 200(14%10%16%40%)=20030%=60. 【第五小组的频数即为第五组的人数(出现的次数)。】52. 如图所示，已知正方形ABCD中，M为AB中点，BN平分CBE，且DMNM请用两种证法证明：DM=MN（两种证法都是构造出全等三角形转化）证法一：取AD中点F，连接MF 由DFMMBN（ASA）得DM=MN证法二：过N作NGBE，NHBC 易得四边形NHBG为正方形；且证出四边形NHMB

8、为平行四边形得MB=NH=BG=AM=NG DAMMGN(AAS) 得DM=MN53、如图所示，以ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即ABD、BCE、ACF四边形ADEF是什么四边形，请证明。当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形。 当ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在。解：由EBDCBA(SAS) =DE=AC，且AF=AC 同理DA=EF两组对边相等的四边形是平行很容易计算当BAC=-2-=时DAF=，这时四边形就为矩形很容易当BAC=时形成不了四边形54. 如图所示，一块正方形地板由全等的正方形瓷砖铺成，这地板的两条对角线上的瓷砖全是黑色，其

9、余的瓷砖是白色，如果有101块黑色瓷砖，那么瓷砖总数是多少？为什么？解:做这道题先明白一个原理(对下去)得:对角线上的小正方形块数和边上的块数相等.接下来就好办了.一条边的小正方形块数(101-1)2+1=51(块)一共有5151=2601(块)55. 如图所示，有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的顶点A、B、C、D同时出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向点B、C、D、A移动。问：PE是否过某一定点？并说明理由。恒过对角线的中点O。连结PE和AC，设它们相交于K。只需证明K为AC的中点，与O重合即可。(通过APKCEK(AAS)56. 如图所示是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯

10、，纸杯口圆的直径EF长为10cm，母线OE(OF)长为10cm，在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点。求此蚂蚁爬行的最短距离为多少厘米？解：因为OEOFEF10（cm）所以底面周长10（cm）将圆锥侧面沿OE剪开展平得一扇形，此扇形的半径OE10（cm），弧长等于圆锥底面圆的周长10（cm）设扇形圆心角度数为N，则根据弧长公式得：N*10/18010所以N180即展开图正好是一个半圆因为F点是展开图弧的中点所以EOF90连接EA，则EA就是蚂蚁爬行的最短距离在直角三角形AOE中由勾股定理得EA2OE2OA210064164所以EA24

11、1（cm）即蚂蚁爬行的最短距离是241（cm）57. 如图所示，矩形ABCD，AD=6，AB=8，P为DC上一动点(不与D、C重合)，且BQAP。设AP=x，BQ=y，求x与y的函数表达式。解：(提示：用等面积法！(连结PB)58. 若双曲线y=上两点：点A(4，2)、C的纵坐标为8，O为原点。求AOC的面积。解：先算出C(1，8) 作ABx轴于B,CDx轴于D, SAOC=S（OCD)+S(CDBA)-S(OAB) =4+(8+2)*3/2-4 =1559已知抛物线y= 1与x轴的交点为A、B(B在A的右边)，与y轴的交点为C。当点B在原点的右边，点C在原点下方时，是否存在BOC为等腰三角形

12、的情形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。解：首先由图象分析函数只能在右边(B在原点右边)，m0 由y=0得0= +1 x=1m xBxA xB=1+m 由x0=yC=+1(注意是0) 由等腰直角三角形有|1+m|=|+1| 得1+m=-1 得-m-2=0 m=2(存在m使BOC为等腰三角形)60、如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，O为对角线的交点。现过点O作OEAC交AD于E。求AE的长。解：用等面积法+勾股定理：AOE的高是AB AO=AC= 由等面积法：AEAB=OE OE= 由勾股定理：= = AE=61. 如图所示，在梯形ABCD中，ABDC，ADC=，AD=D

13、C=4，AB=1，F为AD的中点，求F到BC的距离。解：用面积法。AF=FD=4=2 连接BF、FC 过点B作BEDC交DC于E。F到BC的距离为BFC中BC边上的高 则SBFC=S梯形SAFBSFDCBC高 即：(14) 41242=BC高 而=BC=5 1014=高 高=2 F到BC的距离为2。62. 如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(1，2)和(1，0)，且与y轴交于负半轴。以下结论：abc0；2a+b0；a+c1；a1正确的是( )，为什么？解：显然a0，0=b0，c0由1=02a+b 由得b=1 a+c=1 a163（1）已知线段a=8， b=4， c

14、=2.5， d=5，判断它们是否成比例线段？为什么？ （2）已知线段a=8， b=4， c=5， d=2.5，判断它们是否成比例线段？为什么？解：把四条线段按从小到大或从大到小排列，之后看是否成比例。它们都是比例线段。64.若与(a0)均有意义，则一定有(D)A. B. C. D以上结论都不对65. 某个图形上的各点的横、纵坐标都变成原来的1/2，连结各点所得的图形与原图形相比一定 是 (选“是”/“不是”/“无法确定”)位似图形。为什么？解：某个图形上的点A的横、纵坐标为(m,n)，则该点对应点为A(m/2,n/2)， 由y=kx+b 过(m,n) (0,0)得b=0 (m/2，n/2)一定

15、过直线y=x所以O、A、A三点共线，且|OA|=2|OA|. 可知新旧图形位似，【位似中心】为坐标原点O，【位似比】为1:2。66.二次函数y= x22x3在0x2这个范围有没有最大值？若有，请求该最大值；若没有则请说明原因。解：由图象得函数在此区间上无限接近最大值3，但始终取不到。没有。若题目改为在0x2这个范围则函数有最大值3。67. 有一个病毒，经过两轮传染后共有169人得了病，若每轮每个病毒传染人数相同，平均每个病毒传染了多少人？解：设平均每个病毒传染了x人 第一轮后，有x1个人被传染（增加了x人，原来有1人，x1） 第二轮后，有(x1)2个人被传染(即增加了(x1)x人，原来有(x1

16、)人，(x1)x(x1)= (x1)2 ) (x1)2=169 x+1=13（负值舍去） x=12 答：平均每个病毒传染12人。68. 如图所示，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形AOCB是梯形，ABOC，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（10，0），OBOC （1）求点B的坐标； （2）点P从C点出发，沿线段CO以5个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PHOB，垂足为H，设HBP的面积为S（S0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点P作PMCB交线段AB于点M，过点M作MROC，垂足为R，线段MR分别交

17、直线PH、OB于点E、G，点F为线段PM的中点，连接EF，当t为何值时，？解：(1)注意是OB=OC=10AB=6 点B(6，8)(2)(由相似三角形得出面积的求法)SHBP=BHPH由BNOPHO(有两角)得=(注意NO=BA=6)即=10(10BH)=6030tBH=4+3t PH=84tSHBP=(4+3t)(84t) =16 t24t16(0t2)(不能取2)(5t=10)69.(典型题)如图1所示，抛物线y x2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，2)，连接AC，若tanOAC=2.（1） 求抛物线对应的二次函数的解析式；（2） 在抛物线的对称轴L上是否存在点P，使APC

18、=90，若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由。（3） 如图2所示，连接BC，M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点，过点M作直线LL，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t。当t为何值时，BCN的面积最大？最大面积为多少？图1 图2解：(1) tanOAC=2 OA=1 二次函数经过C(0，2)，A(1，0) 二次函数解析式：y x23x2(2)(用相似或直角三角形知识都可以解！特别是相似)设对称轴L与x轴交于E点，过点C作CDL交L于D 且令CPD1，APE=2，PAE3（注意APC90是已知条件）对称轴：x 点P的坐标为(，PE)EA1 CDAPC90 1290 1

19、3解一（用相似解）：CDPPEA（有两角） 即 即（2PE）PE 解得PE或PE解二(用直角三角形解)由13得tan1=tan3即 即 解得PE或PE点P坐标为(，)或(，)(3)(用折分法)SBCNSCNMSBMN先求B点坐标：(2，0)（由对称轴看出） C点坐标：(0，2)由 得直线BC的解析式：yx2M点坐标(t，t2)SBCNMNtMN(2t) MN而MNt2(t23t2) t22t (t1)21当t1时，SBCN的最大值为1。70.如图所示，ABC沿AB边平移到ABC的位置，它们的重叠部分的面积(阴影部分)是ABC的面积的一半，若AB=，则三角形移动的距离AA是(A)A1 B C1

20、D解：利用小学学过的“三角形面积之比是对应线段的比的平方”来做设AB=x()2 x=1AA=171.如图所示，要建一个面积为130 m2的小仓库，仓库的一边靠墙且墙长16m，并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m墙的木板，求仓库的长(平行于墙的边长)和宽。解：设宽为x，则长为(3212x) (注意“32m”为右图红色部分)(3212x)x=130 (注意长：3212x16) 即2x233x130=0解这个一元二次方程得=10 =6.5由=10解得长：321210=13， 由=6.5解得长：33-13=20(舍去)答：仓库的长为13m，宽为10m。72. 如图。有一块三角形土地，它

21、的底边BC=100m，高AH=80m，某单位要沿着BC边修一座底面是矩形DEFG的大楼，当这座大楼的地基面积最大时，这个矩形的长和宽各是多少米？解：(用相似二次函数)矩形的长和宽分别为DG=x、DE=y由相似三角形得=AHx=100AM即80x=100(80-y) x=(80-y)矩形面积S=(80-y)y = y2100y=( y280y)= ( y280y+1600)+2000 = ( y40)22000当y取40时面积S取最大(2000)当矩形的宽等于40m，长为50m时面积最大。73. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，E是BA的中点，DFBC，垂足为F，则AED=EFB吗？

22、 为什么？证明：（凡是中点都是伸出！凑在一起）延长DE与CB相交于G，则DE=GE，AEDBEGEF为直角三角形斜边上的中线，EF=EG EFB=G又G=ADG ADG=AED（等角对等边）AED=EFB74. 如图，在等腰直角ABC中，ACB=90，D为BC的中点，DEAB，垂足为E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF （1）求证：ADCF （2）连接AF，试判断ACF的形状。证明：(1)要证明CGA=90，需证明12=90 只需证明1=3（23=90） 只需证明ACDCBF 可计算出CBFACD=180得CBF=90 由4=45得5=45 FB=DB=DC ACDCBF（SAS

23、）整理！ （2）ACF是等腰三角形 由ACDCBF得AD=CF 又由AB为线段DF的垂直平分线或ADBAFB（SAS）得AD=AF由上题得AD=CF CF=AFACF是等腰三角形75. 如图，D是ABC的BC边上的一点，且CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD中线。求证：AC=2AE证明：（伸出）延长AE使FE=AE，连结FD显然BEADEF AF=2AE EFD=EAB需证AC=AF 需证ADFADC（SAS） 由AD=AD FD=AB=CDADC=180BDAADF=180EADEFD=180(EADEAB)= 180BAD=180BDA整理！(难)76.如图1，在RTABC中，BAC=

24、90，AB=AC，点D、E是直线AC上的两动点，且AD=CE，AMBD，垂足为点M。延长AM交BC于点N，直线BD交直线NE于点F。试探求EDF与DEF的大小关系，并说明理由；若D、E运动到如图2所示，其它条件不变，EDF与DEF的大小关系存在吗？试说明理由；如图3，当D、E运动到图3所示位置，试探求EDF与DEF的大小关系，并说明理由。图1 图2图3证明：(利用AD=CE构造全等三角形，证两次全等)过点A作AG平分BAC与BF交于H，则BAG= 45=C由AB=AC ABH=CAN ASAABHCANAH=CN由AH=CN HAD=ECN AD=CE SASAHDCNEADH=CENFDE=

25、FED基本同理。77.如图，以ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断ABC与AEG面积之间的关系，并说明理由。（可用全等、直角三角形、轴对称等知识，但不能用相似）解：由三角形面积：底高过点C作CMAB交AB于M，过点G作GNEA交EA延长线于N只需证CM=GN需证CMAGNA由CA=GA AMC=ANG=90由MAC+MAE+EAG+GAC=180 90 90又NAG+EAG=180 （AAS）78.如图，在ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE求证：DEF是等腰三角形当A=40，求DEF的度数；DEF有没可能是等腰直角三角形？请说明理由。 用SAS证明很容易； 很容易 ，设BDE=FEC=x，BED=EFC=y有B+x+y=180DEF+y+x=180DEF=B (没可能)