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1、2019年北师大版精品数学资料第二章综合能力检测本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2013陕西文，2)已知向量a(1，m)，b(m,2)，若ab，则实数m等于()ABC或D0答案C解析本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等由ab知12m2，即m或m.2若向量(2,3)，(4,7)，则()A(2，4)B(2,4)C(6,10)D(6，10)答案A解析本题考查向量的线性运算(2,3)(4,7)(2，4)平面向量的坐标运
2、算即对应坐标相加减3已知|a|6，|b|，且ab3，则a与b的夹角为()ABCD答案B解析设为向量a与b的夹角，则由cos可得，cos，又0，所以.选B.4设a，b是两个非零向量()A若|ab|a|b|，则abB若ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得baD若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|答案C解析本题考查向量共线的条件若|ab|a|b|，则a与b方向相反则存在ba.反之则不然5(2014重庆理，4)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实数k()AB0C3D答案C解析本题考查了平面向量的坐标运算与向量的垂直，因为2a3b(2k3
3、，6)，又因为(2a3b)c，所以，(2a3b)c0，即(2k3，6)(2,1)0，解得k3，本题根据条件也可以转化为2ac3bc0化简求解6直线()xy3和直线x()y2的位置关系是()A相交但不垂直B垂直C平行D重合答案B解析直线()xy3的方向向量为(1，)，直线x()y2的方向向量为(1，)，则(1，)(1，)1()()1(1)0，所以两直线垂直选B.7已知作用在A点的三个力F1(3,4)，F2(2，5)，F3(3,1)，且A(1,1)，则合力FF1F2F3终点的坐标为()A(1,9)B(9,1)C(8,0)D(0,8)答案B解析F(8,0)，设终点坐标为(x，y)，则解得8在RtAB
4、C中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是()A|2B|2C|2D|2答案C解析()22，|AC2成立；同理|2成立；而|CD|2|2.故选C.9如图，在ABC中，ADAB，|1，则()A2BCD答案D解析本题考查了向量的运算，()，又ABAD，0，|cosADB|cosADB|.10对向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，定义一种新的运算“*”的意义为a*b(x1y2，x2y1)，它仍是一个向量；则对任意的向量a，b，c和任意实数，下面命题中：a*bb*a；(a*b)*ba*(b*b)；(a)*(b)()(a*b)；(ab)*ca*cb*c正确命题的个数为()A3B2C1D0答案B解
5、析代入验证知不成立，成立，故选B.第卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，a，b，c，则_.(用a，b，c表示)答案acb解析acb.12(2013江苏，10)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_答案解析本题考查平面向量基本定理应用由已知()，1，2，从而12.13已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_，的最大值为_答案11解析本题考查平面向量的数量积建立平面直角坐标系如图：则(0，1)，设E(x0,0)
6、，则(x0，1)，(x0，1)(0，1)1，又(1,0)，x0，而0x01，最大值为1.14在直角坐标系中，已知(3,1)，(5,10)，若点A关于向量所在直线的对称点是A，则向量_.答案(1,3)解析设AA与向量所在直线相交于点M，则|cos，所以(1,2)，从而(2,1)，(1,3)15已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_答案5解析本题主要考查向量的坐标知识在解析几何中应用，如图，建立平面直角坐标系，根据题意设CDa，则A(2,0)，B(1，a)，P(0，y)，则(2，y)，(1，ay)，3(2，y)(3,3a3y)(5,3
7、a4y)，故|3|的最小值即当3a4y时，|3|min5.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(本小题满分12分)如图所示，M，N，P分别是ABC三边上的点，且，设a，b，试将，用a，b表示，并计算. 解析由题设得a，b，ba，(ba)，所以(ba)bab.同理可得ab，ab.将它们代入得0.17(本小题满分12分)已知a，b是两个非零向量，若a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，试求a与b的夹角.解析由条件知由得46ab23b20，即2abb20，即2abb2，代入式得a2b2，|a|b|.cos.a与b的夹角为60.18(本小题满分1
8、2分)已知向量m(1,1)，向量n与向量m的夹角为，且mn1.(1)求向量n；(2)设向量a(1,0)，向量b(cosx，sinx)，其中xR，若na0，试求|nb|的取值范围解析(1)设n(x，y)，则解得或n(1,0)或n(0，1)(2)a(1,0)，na0，n(0，1)nb(cosx，sinx1)|nb|.1sinx1，0.0|nb|2，即|nb|的取值范围是0,219(本小题满分12分)在直角坐标系中，已知(4，4)，(5,1)，在方向上的射影数量为|，求的坐标解析设点M的坐标为M(x，y)在方向上的射影数量为|，0.又(x，y)，(5x,1y)，x(5x)y(1y)0.又点O、M、A
9、三点共线，.解得(52,12)(3,3)20(本小题满分13分)设0|a|2，f(x)cos2x|a|sinx|b|的最大值为0，最小值为4，且a与b的夹角为45，求|ab|.解析f(x)1sin2x|a|sinx|b|(sinx)2|b|1.0|a|2，当sinx时，|b|10.当sinx1时，|a|b|4.由得|ab|2(ab)2a22abb222222cos452284，|ab|2.21(本小题满分14分)如图所示，在RtABC中，已知BCa，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值解析解法一：，0.，()()a2a2()a2a2a2cos.当0时，最大，其最大值为0.解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系设|c，|b，则A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)，且|2a，|a，设P点的坐标为(x，y)，则Q(x，y)(xc，y)，(x，yb)，(c，b)，(2x，2y)x(xc)y(yb)x2y2cxby，cos，即cxbya2cos.a2a2cos.故当cos1时，即0(与同向)时，最大，其最大值为0.
北师大版高中数学必修四：综合能力检测2及答案解析
