894带度量的向量空间

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1、 在解析几何中，对平面上的有向线段在解析几何中，对平面上的有向线段 与与 可可做做点乘点乘运算运算 ab bababa,cos|其中，其中， 表示有向线段表示有向线段 与与 的夹角，的夹角， 和和 分别有向线段分别有向线段 与与 的长度。利用点乘可得的长度。利用点乘可得 ba,ab|a|bab aaa |,cos bababa取定平面直角坐标系取定平面直角坐标系 后，设后，设 ,; jiO jbibbjaiaa2121 ,则易得则易得 2211bababa 在几何中，在几何中， 与与 均有直观的几何意义。均有直观的几何意义。但对一般的但对一般的n元实向量元实向量 |a ba,),( ),(21

2、21nnbbbaaa 则无法直接讨论它们的长度与夹角。我们仿照点乘的则无法直接讨论它们的长度与夹角。我们仿照点乘的坐标运算法，把坐标运算法，把 nnbababa 2211当作向量当作向量 与与 的的“点乘点乘”，就可反向引入向量的，就可反向引入向量的长度与夹角的概念。长度与夹角的概念。 一、向量的内积一、向量的内积 定义定义 设设 V 是实向量空间。任取是实向量空间。任取 ，设，设 则则 与与 的的内积内积 规定为规定为 V ,),.,(),.,(2121nnbbbaaa ),( nnbababa.),(2211 设设 ，则，则TnTnbbbaaa) , , ,( ,) , , ,(2121

3、TT ),( 性质性质 设设 V 是实向量空间。对任意是实向量空间。对任意 及及 ，均有，均有 V ,Rk（1） ),(),( （2） ),(),(),( （3） ),(),( kk（4） ，等号成立当且仅当，等号成立当且仅当 0),( 定义定义 定义了内积运算的实向量空间称为定义了内积运算的实向量空间称为Euclid空空间间，简称为，简称为欧氏空间欧氏空间。 二、向量的度量二、向量的度量 定义定义 设设V 是欧氏空间，任取是欧氏空间，任取 ，则，则 的的长度长度 规定为规定为 V | ),( | 定理定理 设设 V是欧氏空间，则对任意是欧氏空间，则对任意 均有均有 V ,|),( 上式称为上

4、式称为Cauchy-Schwarz不等式不等式。 注注 (1) 0| (2) 为为单位向量单位向量 1|称称 (3) 是单位向量（称上述过程是单位向量（称上述过程 为对为对 单位化单位化） |1 (4) 2222121| ),(nnaaaaaa 证明证明 (1) ，结论成立；，结论成立； (2) ，对任意实数，对任意实数 x，均有，均有 0),( xx即即0),(),(2),(2 xx因因 的系数大于零，故的系数大于零，故 2x0),)(,(4),(22 即即222|),)(,(),( 于是于是| ),( | 定义定义 设设 V 是欧氏空间，是欧氏空间， ，且，且 均不均不是零向量，则是零向量

5、，则 与与 的的夹角夹角 规定为规定为 V , , ,|),( ,cos 这里这里 , 0。 定义定义 若若 ，则称向量，则称向量 与向量与向量 正交正交，记为记为 。 0),( 例例 设设 ，则对任意，则对任意 与任意与任意 ，均有，均有 。 nmRA)(TAR )(AN 定理定理 设设 V 是欧氏空间，是欧氏空间， 与与 是是 V 中任意两个中任意两个向量，则有向量，则有 （1）三角不等式三角不等式： （2）勾股定理勾股定理：若：若 ，则，则 222 三、标准正交基三、标准正交基 定义定义 设设 V 是欧氏空间，是欧氏空间， 是是 V 中中 m个个非零向量。若非零向量。若 两两正交，则称两

6、两正交，则称 是是正交向量组正交向量组。由单位向量构成的正交向量组。由单位向量构成的正交向量组称为称为标准正交向量组标准正交向量组。 m ,21,21 m , 例例 在欧氏空间在欧氏空间 中，自然基是标准正交向量组。中，自然基是标准正交向量组。 nR 例例 在欧氏空间在欧氏空间 中，一个单位向量本身也是标中，一个单位向量本身也是标准正交向量组。准正交向量组。 nRm ,21 定理定理 设设 是欧氏空间是欧氏空间 V 的一个正交向的一个正交向量组，则量组，则 线性无关。线性无关。 m ,21证明证明 设设 是正交向量组，令是正交向量组，令m ,21 mmkk11两边同时与两边同时与 做内积，得做

7、内积，得1 ),(),(1111 mmkk0),(),(),( 1122111 mmkkkm ,21因因 两两正交，故两两正交，故 m ,210),( , , 0),(112 m于是于是0),(111 k又又 ，故，故 ，由此得，由此得 。 10),(11 01 k 同理可证同理可证 。所以。所以 线性无关。线性无关。 02 mkkm ,21 把两个线性无关的向量化把两个线性无关的向量化为两个正交的向量：为两个正交的向量： 设设 1, 2 线性无关，令线性无关，令 则则 22111 , 11111 / k 1121122 kk 因要求因要求 ，故，故12 ) ,() ,() ,() ,(011

8、112111212 kk 又又 ，故，故 。从上式解得。从上式解得 110) ,(11 ),(),(11121 k 已知已知 线性无关，故线性无关，故 。于是。于是 1, 2是是正交向量组。正交向量组。 21, 令令 ，则，则 是标是标准正交向量组。此外，准正交向量组。此外，222111|1 ,|1 21, , ,212111 2 定理定理 设设 V是欧氏空间，是欧氏空间， 是是 V 中中m个个线性无关的向量，则线性无关的向量，则 V 中存在中存在m个标准正交的向量个标准正交的向量 ，并且，并且 m ,21m ,21 ii ,.,.,2121 mi, 2 , 1 , Schmidt正交化方法：

9、正交化方法： 已知已知 线性无关线性无关 321, 1. 正交化正交化： 11 1111222),(),( 222231111333),(),(),(),( 2. 单位化单位化： ,|1111 ,|1222 333|1 例例 已知已知 中的中的 ，求三个标准正交的向量。，求三个标准正交的向量。 3R),0 , 1 , 1( ),1 , 1 , 1(21 )0 , 0 , 1(3 解解 1. 正交化正交化 11 )32,31,31()1 , 1 , 1(32)0 , 1 , 1(),(),(1111222 222231111333),(),(),(),( )0 ,21,21()32,31,31(

10、9631)1 , 1 , 1(31)0 , 0 , 1( 2. 单位化单位化），（313131|1111 ）62,61,61(|1222 )0 ,21,21(|1333 则则 即为所求的一个标准正交向量组。即为所求的一个标准正交向量组。 321, 定义定义 设设 V 是欧氏空间，则是欧氏空间，则 V 中由正交向量组构中由正交向量组构成的基称为成的基称为正交基正交基，V 中由标准正交向量组构成的基中由标准正交向量组构成的基称为称为标准正交基标准正交基。 例例 欧氏空间欧氏空间 V 的自然基的自然基 即是标准正即是标准正交基。交基。 n ,.,21 定理定理 设设 是欧氏空间，且是欧氏空间，且 ，

11、则，则 V 一定存在标准正交基。一定存在标准正交基。 )( nRV V 例例 已知欧氏空间已知欧氏空间 中的两个标准正交向量中的两个标准正交向量把把 扩充为扩充为 的标准正交基。的标准正交基。 3R)0 ,21,21(),31,31,31(21 21, 3R解解 1把把 扩充为扩充为 的一个的一个基基： 21, 3R 取向量取向量 ，易证，易证 线性无关，线性无关，因此它们是因此它们是 的一个基。的一个基。 )1 , 0 , 0(3 321, 3R2把把 化为化为 的一个的一个正交基正交基： 321, 3R)32,31,31( )31,31,31(31)1 , 0 , 0( ),(),(),(

12、),(222231111333 则则 两两正交，且都不是零向量，因此它们两两正交，且都不是零向量，因此它们是是 的一个正交基。的一个正交基。 321, 3R令令 3把把 化为化为 的一个的一个标准正交基标准正交基： 321, 3R令令 )62,61,61(|1333 则则 即为即为 的一个标准正交基。的一个标准正交基。 321 ,3R四、正交矩阵四、正交矩阵 定义定义 设设 ，若，若 ，则称，则称 A 是是正交正交矩阵矩阵。 nnRAIAAT显然，正交矩阵显然，正交矩阵 A 满足满足 。 TAA 1设设 是正交矩阵，其列向量组为是正交矩阵，其列向量组为nnijaA, 121111 naaa ,

13、 222122 naaa nnnnnaaa21, 由由 得得 IAAAATT 2121nTnTTTAA nTnTnTnnTTTnTTT 212221212111所以所以 jijijTi , 0 , 1 100010001又又 （欧氏空间），且（欧氏空间），且 niR njjjniiijTiaaaaaa2121 njnijijiaaaaaa 2211 （ 与与 的内积）的内积）) ,(ji i j 故有故有 jijiji , 0 , 1 ),( 即即 是是 中的标准正交向量组。中的标准正交向量组。 n ,21nR 定理定理 设设 ，则，则 A是正交矩阵的充分必要是正交矩阵的充分必要条件是条件是

14、A的列（行）向量组是标准正交的。的列（行）向量组是标准正交的。 nnRA 例例 设设 ，其中，其中 。证。证明：明：B是正交矩阵。是正交矩阵。 TIB23 )32,31,32( 证明证明 949294929192949294323132323132 T 91949894979498949123 TIB B的列向量组标准正交的列向量组标准正交 B是正交矩阵。是正交矩阵。 （另法）（另法） TTTIB)2( TTTI)2( TTI)(2 BITTT )(2 22)2( TTIBBB 22)2()2(2 TTII 2)(44 TTI 又又 ，而，而 )()(2 TTT 323132 )32 ,31 ,32(T1)32()31()32(222 故故 。所以。所以 TT 2)(IIBBTTT 44于是，于是，B是正交矩阵。是正交矩阵。 例例 设设 ，证明：若，证明：若 A可逆，则可逆，则 A可表可表示为示为 nnRA QRA 其中其中 Q是是n阶正交矩阵，阶正交矩阵，R是是n阶可逆上三角阵。上式阶可逆上三角阵。上式称为实方阵称为实方阵A的的正交分解正交分解。