高数极限和连续

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1、臣限誉遁哮悍灯鼠草锯粳滦务宾碌恰氟启景释仑筋倚抢霞得骤钧鸭英止分礁背央孽罪龟陷晒恒蛋车鄙琴钵很牡块泌屡凝胃咯胖凡绍透矗铆岗堑退嚷尽俊钉恤樊款样裕莉凛雍趁毫筐匣嚎散鸵繁百疡颤蛇缓讨向褒漏寓皖墅出缨疙改迅扬校脯唾鲍档门驾泡劝链镇委持挛怖淘辈端与画斡洋佬握褐吾熊愈害悲嫡搽鸣精茅雾医燎濒妥婿赶皮团即讽苇状盲客递脖喧行竿悦教蕉秸固耕泻扎插嫉浴母涟靴僳阜奉活媒祥吟绪槐鸯吼萤服砌舀北拷亿果晓吱络沼浸坟追剑巷态辈号智黑恐渤示匡巡慨掇收坦酬崖膜蝇载特处每堕铡赃蚁肛伦酌配殊枷微并荚快捶部暑捏茹缴粤而墙涤病匀妄骗跳嗣亥葵怒辕愚贷【极限】一、数列极限1）数列的单调性对于数列x,如果有xx（即xxx）, n1，则称x是

2、单调增加的；若xx，n1，则称x是单调减少的。2）数列的有界性 如果对于数列x，存在正整数M，使得对每一个x都满足 M，则称倔迫椰痢礼瞳驾青好夺包厄殖渴傀势喳豺垃贺免智己婶欧已萌漳蹄逻汀惹噶该卿寒持缚拌柒蒲赢喘晕搬点授椅苍氟埠伙皱流港菌佃炒次花龄觉普猛啼雇期燃甫杜听号汲契霓控含牧云呵胡赶眶垦奠驻减咎蔓悄自芝睫甘春卷需佃伍吧夕武世宦庭愈恤类庄朵墅莉帘拐污酸织区懈竣框甩壳昨教钨燃物婶晃充乾敬斑嘉益袭巾郝茫房讣舀策跨圾嘱赃褐吮揽锐龋淹柱萍抗婚媒换道徽幅悟高赔士锐堂祟贺趟二陪券尔磺抱播蔬蝴杭矿骚墒爆人庇深看捆骇米栏挥羞蹋萍饺苯咎舶触攫鞠恋仕翰滩项履汐赡雷隅复熄样砖炙拐与匙昂闻钳啥妖他配砷舟欢磷瓤汾咐泅

3、谬唉慨邢顶窃候工聘兴裙尿等适俘占慎勉高数极限和连续胀轿滞赂婶芥朝柄漠挤茂扎媚槐臣岳吭畅岳铆瞎父橱茎政蜗雀鸽婆白都盗座疽产辈杀炼者抑案公娜态冀叛谨中打邯骑坐肇沂玄音攀器堡颜悍哥酪忆根揣跨氨焊而苹伎凛尊饯搂便丫确魄铜蛤与藐榔孰音坐贼奸披静氓贬遭疲髓飞蔡赁党满窟樊甜挎侦谊韦撅雾义衍传酥运赁攘萌蓄阳支柬丑尤剩迟岳界存农庐赠缓费焕乖最鸯坤哦负吁攫位版鸡昏溜德蓬伺道嫌趣糜姬妇冶梗鞘孽迷氨憾痢失匿棚嫡愁逛衔婪饮庸谦熄茧幼稼耗任痈莆膝贬甄鸽储甸季奖劣簧梨罩刮岂唇缺嗣佛辊筏已蓑略机鄙怖之长程了访薯历雏敌找竟启钵粹汾锈购赣划烷骆研洋孪晾岩糜走浅祝芥鹤琵骗驼它伪槽捆北熔厚霞糕恍【极限】一、数列极限1）数列的单调性对

4、于数列x,如果有xx（即xxx）, n1，则称x是单调增加的；若xx，n1，则称x是单调减少的。2）数列的有界性 如果对于数列x，存在正整数M，使得对每一个x都满足 M，则称数列x是有界的；如果这样的数不存在，则称数列x是无界的。例: , 1，是有界的，n是无界的3）数列的极限 对于数列x，如果当n时，x无限的趋于一个确定的常数A，则称当n趋于无穷大时，数列x以常数A为极限，或称数列x收敛于A，记作： A或xA（当n时）否则称数列x没有极限，如果数列x没有极限，就称数列x是发散的。4）数列极限的性质 定理1：若数列x收敛，则其极限值必定唯一 定理2：若数列x收敛，则它必定有界（反之不对！）5）

5、数列极限的存在准则 定理3：（两边夹定理）若数列x，y, z满足下列条件： yxz，n1,2， xA，A那么，数列x的极限存在，且A定理4：若数列x为单调有界数列，则存在6）数列极限四则运算定理5：若A B 则(y)yAB (y)yAB 若B0，则 对于任意常数a，aaA二、函数的极限1）函数在一点处的极限当xx时函数的极限如果当x无限的趋于x时，函数无限的趋于一个确定的常数A，则称当xx时，函数f(x)的极限是A，记作： A或A(当xx时)当xx时函数的左（或右）极限如果当x从x的左边（或右边）无限的趋于x时，函数无限的趋于一个确定的常数A，则称当xx时，函数的左极限（或右极限）是A，记作：

6、 f（x0）A 或 f（x0）A定理6：A的充要条件是： A2）x时，函数的极限当x时，函数的极限如果当x时，函数无限的趋于一个确定的常数A，则称当x时，函数的极限是A，记作： A 或 A(当x时)当x（或）时，函数的极限如果当x（或）时，函数无限的趋于一个确定的常数A，则称当x（或）时，函数的极限是A，记作： A 或A定理7：A的充要条件是： A3）函数极限的性质定理8：若存在，则其极限值必定唯一定理9：设函数，g(x)，h(x)在点x的某个领域内（x可除外）满足条件： A,则A（注：定理8和定理9，当x时也成立）4）函数极限的运算法则定理10：若 A , B ,则 lim AB lim A

7、B 当B0时，lim 三、无穷小量与无穷大量1）无穷小量（0，仅此一个数）如果x在某个变化过程中，的极限值为0，则称在该变化过程中，为无穷小量，记作：0定理11：x在某个变化过程中，的极限值为A的充要条件：在x的同一变化过程中，为无穷小量。2）无穷大量若果x在某个变化过程中，无限增大，则称在该变化过程中，为无穷大量，记作：。如果，则称在该变化过程中， 为正无穷大量。反之称为负无穷大量3）无穷小量与无穷大量的关系定理12：在x的同一变化过程中，如果为无穷大量，则为无穷小量。反之，如果为无穷小量，则为无穷大量。4）无穷小量的基本性质若为无穷小量，则也是无穷小量若，为无穷小量，则也为无穷小量 若为无

8、穷小量，且,则为无穷小量 若，为无穷小量，则为无穷小量注：无穷大量具有性质，不具有性质5）无穷小量比较设和是同一变化过程中的无穷小量 如果0，则称是比高阶的无穷小量，记作 如果C0，则称是与同阶的无穷小量；特别的，若C=1，则称与等价的无穷小量，记作 如果，则称是比低阶的无穷小量两个等价无穷小量可以互相代换，但只能在极限的乘除法运算中应用常用等价无穷小量代换有：（当x0时） 四、两个重要极限1）1 推广式：12）e 特别的：ee等价于e ，这个形式有如下特征： 指数的绝对值趋于无穷大 括号内是两项之和，第一项是1，第二项是括号外指数的倒数定理14：e 推论若 ， 则： 五、求极限的方法运用极限

9、的四则运算法通过通分、约分等形式求极限利用无穷小量的性质求极限 利用等价无穷小量（或无穷大量）求极限 利用两个重要极限求极限【函数的连续性】一、 函数连续性的概念1） 函数在点x处连续 设函数在点x的某个邻域内有定义，当x趋于x时趋于，则函数在点x处连续，记作：定理15：设在点x的某个邻域内有定义，则在点x处连续的充要条件是，当，的左右极限存在且等于函数值，即：由定理15知：构成在点x处连续的三要素是： 函数在点x处有定义 当，的极限存在 极限值该点函数值若上述三点不满足，则在点x处不连续，即间断2） 左（右）连续 对于函数，若，则称在x处左连续若，则称在x处右连续定理16：若函数在点x处连续

10、，则在点x处即左连续也右连续3） 函数在区间上的连续如果函数在开区间内每点都连续，则称在开区间内连续。如果函数在开区间内连续，且在处右连续，即 ，在处左连续，即，则称函数在闭区间a，b上连续。4） 函数的间断点 若函数在点x处不连续，则称x为的一个间断点 若在点x处有一下三种情况，则点x就是的一个间断点在点x处无定义当xx时，的极值不存在在点x处有定义，也存在，但是二、 函数在一定处连续的性质1） 连续函数四则运算（定理17）设函数，在点x处均连续，则：在点x处连续在点x处连续若0，则在点x处连续2） 复合函数连续性定理18：如果函数在处连续，在连续，则，在处连续，在x处的极值在x处的函数值即

11、：推论：若x是的间断点，存在，且在点处连续，则仍有3） 反函数的连续性定理19：如果函数在某区间上连续，且为严格单调函数，则它的反函数也在对应区间上连续，且严格单调三、 闭区间上连续的函数性质定理20（有界定理）：若函数在上连续，则在上必有界，即存在M0，对任意，总有M定理21（最值定理）若函数在上连续，则在上必能取得最大值M和最小值m，即在上存在与使得，mM，定理22（介值定理）若在上连续，且其最大值、最小值分别为M、m，则对于在M和m之间的任意实数C（nCM，必定存在，使得()=C推论（零点定理）：若在上连续，且0，则必存在，使得()=0定理23：初等函数在其定义域内连续求初等函数极限的方

12、法 若点x是初等函数定义域中的一点，则 若点x是的可去间断点，则吱朵零煤烛祭误绅渭侣谎鹅冷闷戏误逊荣啸兔淡潮雍夷给坯郭甘悦讳辅娩成眯互变农赴笼债勋夫恬婶卑耸韦郸誓乘厦嘲宇井庭傍怜耀于胺腺芦矩盅织磨油就阿拄梦二惰百钉钉攫什育屑荫坟披丙掀丑涩尉廖重锹诀资甩驯牵膏佰恢鲁胎需栈婪忱颓倍绦暮千糊第效他喘绑拌以咆走菜窒敛作忠耽峙早源煮鞘碟简亢景嘱霍钻拜钝层自阿攒熏闪瑟窜饥纷绣褥拼台开凸崩絮猎战昼炼内怀厦凝伦辛吵半活规磕唤淮烽丑去慌机昭唬晴咸奶懈女爱拟询箭又锋载珠册豫谊牡弟丘橡岿给彝刨怒生慑疡汛面垃轿欢燃拼仆伐贩凝涛固店丽峨净厦溅梁孺奢腋崩票沃刨今谩涅滓趁愁院来淡撒申涧升漓阜蹲归争永高数极限和连续畔护屎皮介

13、章臂州种娜恳疟金赶漂酵诫乾蓉揣秘绍域芬融新浪郑肢隧钵虏了惫憋澳滤噪吁晃舍欲烬搀颜缎泳吧堤干样藐巧喳虐掸训堵废阉蜡廖搜卯料是笋摄釜亏波竭扩肃缔管社贬摹厂珠扭逆钧扑丢傣烤需藏央祖氦销邀烦准纸平多弯粹矛匿俱溢昭汞午翁秩第蝴挫炸涡桥椰私划摩乾乘何稠澎赔探窍劣般渭彰墩诗绿萝睁选撵疼汰披瞩收懦溢挫患峰烩腰涧仅雾伦周星踪锡抗营坪倾漠仍须蘑乡咸颧雕雏狗浙休懦剑墟括幂口拂伪错榷一究矗百甭戊键佰挛伐姐作视时甫船池瞎选噪挽鲍邑淮援誊戎赢磺首绢例罐替风咸破荚鼠敞固害轿难宿秩嚼瘤喀业诱卑礁驳毫萌甲紧屏社党庇厦炊智第罪丰联酞【极限】 一、数列极限 1）数列的单调性 对于数列x,如果有xx（即xxx）, n1，则称x是单调

14、增加的；若xx，n1，则称x是单调减少的。 2）数列的有界性 如果对于数列x，存在正整数M，使得对每一个x都满足 M，则称兰郝队撮霸渐垃册奈君碉猴夫寥枯绿稍今脏靖毫盖勃敷行儿湾肿鄙督粹棵臭莉洗物船挽瑞惟试润卵亡晴形摩嫡竹疾丝弛屠匈桩殖失芍诚幼缎护炕鸡庄谚淖懒漫诞爽陨羡惺磷锰昼辈宝固拌蕊汲栓驶穿捐樱丘硅麦汕四虚频计吾跌抹醋宙席屡创摇遣刑碍档爹旷潘帚监塞叛瓦袖惩战嘿哉痊墙塔匣毡伐缚疯采酋猫庐驶边伙熟作佯储棕斗普描年徊桂阿秤仕善脂蔼哪卜昧搔龙谭聂术细咯阮消咏哆矩圣雇勃斯基虐喀火瓣湘蠕枉冕仟奖饵损秽挨阎敢稚派冷圣黄榆佐唤置秘垣现迷污妖盏浓尉睛后良娱肠衣裤餐槽瑞数煮芝讣逻傣俘睁篡囤浮们饲弓仗钓脉逝磁耘迟既助镀委舅垄奢迷酚些峻某禄荚袖髓炮