浅谈导数与应用(毕业论文)

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1、 联合大学学生毕业论文题目：浅谈导数与应用 贺耀武指导教师：珂数学与信息学院数学系数学教育专业 06 级三年制 2 班2008年 12 月 5 日主要容简介:导数概念是数学分析基本概念，是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野, 是研究函数性质、证明不等式、求曲线的斜率问题和求函数的极值最值等问题的有力工具。本文就导数与应用，谈一点个人的感悟和体会。首先，就导数的概念入手，依次讲述了导数的几何意义、可导与导函数与可导与连续的关系、求导数的方法、复合函数的导数和导数的运算等方面的容。并举了大量的例题，其中一些例题方法新颖，可供读者参考。其次，主要讲

2、了导数的应用。导数在函数中应用，包括函数的单调性、极值最值的求法。用导数证明不等式的方法以与求曲线斜率的方法等。在每个应用后都附有相关例题加以说明。来突出导数应用的广泛性。总之，运用导数可以使问题简单化，通过对本文的阅读读者会对导数有更深的了解与认识。浅谈导数与应用摘要：导数概念是数学分析基本概念，是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野, 也是研究函数的性质、证明不等式、求曲线的斜率问题和求函数的极值最值等问题的有力工具。本文就导数的应用，谈一点个人的感悟和体会。关键词：导数极限应用函数不等式一、导数的概念与运算1导数的概念：设函数y=f(x)

3、在处附近有定义，如果x0时，y与x的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数y=f(x)在x0处的导数，记作；2 导数的几何意义：函数y=f(x)在处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率，即斜率为过点P的切线方程为：.3. 导函数、可导：如果函数y=f(x)在开区间的每点处都有导数，即对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数y=f(x)在开区间的导函数，简称导数。此时称函数y=f(x)在开区间可导.4 可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点处可导，那么函数y=f(x)在点处连续. 5. 依定义求

4、导数的方法：（1）求函数的改变量（2）求平均变化率（3）取极限，得导数6几种常见函数的导数：(C为常数)；()；。7导数的四则运算法则：；8 复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数ux=(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数yu=f(u)，则复合函数y=f( (x)在点x处也有导数，且 或=f(u)(x).9. 求导数的方法:(1)求导公式 (2)导数的四则运算法则(3)复合函数的求导公式 (4)导数定义10.导数的概念与运算的相关例题例1（1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；（2）运动曲线方程为，求t=3时的速度分析：根据导数的几何意义与导数的物理意义可知，函数y=f(x

5、)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数解：（1），即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0因此曲线在（1，1）处的切线方程为y=1（2） 注：切线是导数的“几何形象”,是函数单调性的“几何”解释,要熟练掌握求切线方程的方法.例2若f（x）在R上可导，（1）求f（x）在x=a处的导数与f（x）在x=a处的导数的关系； （2）证明：若f（x）为偶函数，则为奇函数.分析: （1）需求f（x）在x=a处的导数与f（x）在x=a处的导数；（2）求，然后判断其奇偶性.（1）解:设f（x）=g（x）,则=f（x）在x=a处的导数与f（x）在x=a处的导数互为相

6、反数.（2）证明:=为奇函数.注: 用导数的定义求导数时，要注意y中自变量的变化量应与x一致.例3已知函数，数列的第一项，以后各项按照如下方式取定：曲线y在处的切线与经过（0，0）和两点的直线平行（如图）。求证：当n时： （I）；（II）证明：（I）曲线在处的切线斜率过和两点的直线斜率是.（II）函数当时单调递增，而，即因此又令则因此 故例4. 已知一个函数的图像过点P（0，2），并且在点M（1，f（1）处的切线方程为（）求函数的解析式；（）求函数的单调区间解：（）由的图像经过P（0，2），知d=2，所以,.由在处的切线方程是，知.故所求的解析式是 .（）,解得 当当故在是增函数，在是减函数，

7、在是增函数例5证明过抛物线y=a（xx1）（xx2）（a0，x1x2）上两点A（x1，0）、B（x2，0）的切线，与x轴所成的锐角相等.解：，即，即.设两条切线与x轴所成的锐角为、，则，故tan=tan.又、是锐角，则=.二、导数的应用 1.以导数概念为载体处理函数图像问题函数图像直观地反映了两个变量之间的变化规律，由于受作图的局限性，这种规律的揭示有时往往不尽人意. 导数概念的建立拓展了应用图像解题的空间。例1设函数的图像为C1，函数的图像为C2，已知在C1与C2的一个交点的切线互相垂直.（1） 求，之间的关系；（2） 若0，0，求的最大值.分析 由导数的几何意义以与两切线的位置关系即可求出

8、，的关系，求的最大值可借助不等式求解.解析 （1）对于C1：，有，对于C2：有，设C1与C2的一个交点为（），由题意知过交点（）的两条切线互相垂直，即又点（）在C1与C2上，故有由消去可得，（2）由于0，0且，所以，当且仅当时，取等号，即的最大值为.本题以函数图像为背景考查导数的几何意义和语言转化能力，而应用导数的几何意义是解决这类问题的关键，即某一点的导数值，即为该点的切线斜率.2以导数知识为工具研究函数单调性对函数单调性的研究，导数作为强有力的工具提供了简单、程序化的方法,具有普遍的可操作方法。利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数，通过判断函数定义域被导数为零的

9、点所划分的各区间的符号，来确定函数在该区间上的单调性当给定函数含有字母参数时，分类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性例2讨论下列函数的单调性：1（且）；2（且）；解： 1函数定义域为R当时，函数在上是增函数当时，函数在上是减函数2函数的定义域是或若，则当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数若，则当时，函数在上是减函数；当时，函数在上是增函数3证明不等式彰显导数方法运用的灵活性把要证明的一元不等式通过构造函数转化为再通过求的最值，实现对不等式证明，导数应用为解决此类问题开辟了新的路子，使过去不等式的证明方法从特殊技巧变为通法，彰显导数方法运用

10、的灵活性、普适性。例3 求证证明：我们给出以下几种证明方法，显然，所要证明的不等式等价于（）方法1由，得于是，要证不等式（），只要证，也即证，这等价于因而原式得证方法2要证不等式（），只要证明下面的不等式就可以了（）这等价于,也就是即因而原不等式得证方法3由二元基本不等式，得如果对柯西不等式比较熟悉，那么证明不等式（）是显而易见的对于以上方法关键要能对所给不等式作熟练等价变形对于此题也可运用构造函数法，通过导数研究函数的单调性，从而求出函数的最大值，进而可以证明最大值小于.方法4设函数对求导：令，得；令，得上单调递增，在上单调递减，的最大值为。因而不等式得证。 显然此法比前几种方法简洁明了多了

11、。4求曲线在点（）处的切线的斜率，运用导数的几何意义函数在某点的导数，其几何意义是曲线在该点处切线的斜率，利用导数可以十分便捷地分析处理解析几何中的有关切线问题。例4 已知函数.(I) 求曲线在点处的切线方程；(II) 设.如果过点可作曲线的三条切线，证明：.解析：（I）求函数的导数：,所以曲线在点处的切线方程为：,即.(II)如果有一条切线过点,则存在，使.因而根据题意，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根.设,则.当变化时，的变化情况如下表：+-极大值极小值由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实根；当时，解方程得,即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程 得,即方程

12、只有两个相异的实数根。综上，如果过点可作曲线的三条切线，即有三个相异的实数根，则，即。此题巧妙地运用导数知识求得了函数的极值，利用极值的取值围讨论了三次方程的根的情况，以达到了证明不等式的目的。5由导数来求最值问题的方法可知，解这类实际问题需先建立函数关系，再求极值点，确定最值点与最值在设变量时可采用直接法也可采用间接法求函数极值时，导数值为0的点是该点为极值点的必要条件，但不是充分条件。运用导数确定函数单调区间的一般步骤为：（1）求出函数y=f(x)的导函数；（2）在函数定义域解不等式得函数y=f(x)的单调增区间；解不等式得函数y=f(x)的单调减区间。例5（1）如图所示，在二次函数f(x

13、)=4x-x2的图像与x轴所围成图形中有个接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值。解析：设点B的坐标为(x,0)且0x2,图像的对称轴为x=2,点C的坐标为(4-x,0),矩形面积为令，解得，, 取极值点只有一个，当时，矩形面积的最大值（2）把长度为16cm的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积之和的最小值为多少？分析：建立面积和与一正方形的周长的函数关系，再求最小值解答：设一段长为cm，则另一段长cm面积和S，令S0有8列表：(0，8)8(8，16)S0当8时，S有最小值8cm2这是解实际应用题的一般方法先构造函数关系，再求满足条件的解，极值或最值小结：导数的广泛应用，为我们解决函数问题提供了有力的工具，用导数可以解决函数中的最值问题，不等式问题，还可以解析几何相联系，可以在知识的网络交汇处设计问题。参考文献1玉琏数学分析讲义：高等教育，1992.2吉米多维奇数学分析习题集：科学技术，1980.3 何仲永运用凸函数性质证明不等式.指导教师职称论文评语成绩指导教师总评意见：评审人：年月日注：1评语、成绩须由指导教师填写。 2评语与总评意见应包括学术价值、实际意义、达到水平、学术观点和论证有无错误。15 / 15