数值积分与数值微分

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1、第六章 数值积分与数值微分第一节 值积分的基本概念7.1.1求积公式与代数精确度积分中值定理告诉我们,如果函数在区间上连续,则在积分区间内存在一点,使成立。由于的具体位置一般是未知的,因而难以准确地计算出。如果能够提供一种求的算法,相应地便得到一种数值求积方法。若近似地 用积分区间端点处的函数值与的算术平均值替,便导出计算积分的梯形公式 (7.1.1)若近似地用积分区间中点处的函数值代替,导出计算积分的中矩形公式 (7.1.2)一般地,所谓数值求积方法是指，在积分区间a,b上适当地选取某些节点 ,然后用加权平均得到,这样构造出的求积公式为 (7.1.3)或写为 (7.1.4)其中,称为求积节点

2、,权称为求积系数,它仅仅与节点有关,称为余项。为了保证数值求积公式的精度,我们自然希望求积公式能够对尽可能多的函数f(x)都准确成立,这在数学上常用代数精确度这一概念来说明。定义 如果某个求积公式对于次数不超过的一切多项式都准确成立,而对 某个次多项式并不准确成立,则称该求积公式的代数精确度为。显然,梯形公式(7.1.1)与中矩形公式(7.1.2)均具有一次代数精确度。一般地，欲使求积公式(7.1.3)具有次代数精确度,只要令它对于都准确成立即可,即要求 (7.1.5)(7.1.5)式由个方程组成，包含有个节点以及个待定的求积系数。如果我们事先选定并且取，求(7.1.5)可确定，从而使求积公式

3、(7.1.3)至少具有次代数精确度，如果适当选择及，求解(7.1.5)可能使求积公式(7.1.3)具有次代数精确度，由此可知，构造数值求积公式实际上是求与的代数问题。7.1.2 插值型的求积公式设给定一组节点，且已知函数在这些节点上的值，作插值函数,我们取 （7.1.6）作为积分的近似值，这样构造出的求积公式 (7.1.7)称为插值型的,其中求积函数通过插值基函数积分得出 (7.1.8)由插值余项定理可知,对于插值型的求积公 式(7.1.7),其余项 (7.1.9)其中，与有关，对于次数的多项式，其余项等于0，因而插值型求积公式(7.1.7)至少具有次代数精确度；反之，如果求积公式(7.1.7

4、)至少具有次代数精确度，此时它对于插值基函数应准确成立，即注意到，因而式(7.1.8)成立，即(7.1.7)为插值型的。 综上所述，我们有下面结论：定理 形如(7.1.7)的求积公式至少有次代数精确度的充分必要条件是它是插值型的。第二节 牛顿-科兹公式7.2.1 牛顿-科兹公式将区间划分为等分，步长为，其分点以此分点为节点构造出的插值型求积公式 （7.2.1）称为科兹公式(Newton-Cotes)公式，其中 （7.2.2）称为科兹系数，令,则有 （7.2.3） 当时，由(7.2.3)式可得科兹系数为相应的求积公式是下列梯形公式 （7.2.4）当时，由(7.2.3)式算得科兹系数为相应的求积公

5、式也称为抛物线公式(或辛普森(Simpson)公式)。 （7.2.5）当时，牛顿-科兹公式为 （7.2.6）它也特别称为科兹公式，其中，表7-1中列出柯特斯系数表开头的一部分，从而可以建立相应的求积公式。表7-11 2 3 4 5 6 7 8 从表中我们可以看到，当时，科兹系数有正有负，因而，稳定性得不到保证，故实际计算时一般不用高阶的牛顿科兹公式。7.2.2 误差估计作为插值型求积公式，阶牛顿科兹公式的代数精确度至少是，进一步还有定理1 当为偶数时，阶牛顿科兹公式的代数精确度至少是。我们只要验证，当为偶数时，牛顿科兹公式对的余项为零即可。由于,从而有令为正整数,再令，则有因为被积函数是奇函数

6、，所以抛物线公式是时的牛顿科兹公式，其代数精确度至少是3，但由于所以抛物线公式的代数精确度是3。下面给出梯形公式与抛物线公式的误差估计。定理2 设函数在区间上具有连续的二阶导数,则梯形公式(7.2.4)的截断误差为 (7.2.4)证明：由定义知，梯形公式的余项为由于在区间内不变号，而函数在上连续，故由积分中值定理，在内存在一点，使定理得证。定理3 设函数在区间上有连续的四阶导数，则抛物线公式(7.2.5)的截断误差为 (7.2.5)证明：对区间上的函数，构造次数的插值多项式,使满足由于抛物线公式(7.2.5)的代数精确度是3，所以抛物线公式对准确成立。应用第5章的插值知识不难得到故有 由于函数

7、在内不变号，而在上连续，故应用积分中值定理，在内存在一点,使或定理得证。抛物线公式的插值节点只比梯形公式多一个，但其代数精确度却比梯形公式高2，它们都是最为常用的数值积公公式，尤其是抛物线公式逻辑结构简单，且精度又比较高。对于求积公式(7.2.6)的积分余项，同理可以证明下面结论。定理4 设函数在区间上有连续的6阶导数，则科兹公式(7.2.6)的截断误差为例 用阶的牛顿-科兹公式计算积分(精确值为).解：利用梯形公式利用抛物线公式利用公式 第三节 复合求积公式从牛顿-公式的余项可知，被积函数所用的插值多项式的次数越高，相应的求积公式的代数精确度就越高，但对于求积公式的数值稳定性不能保证，因此，

8、避免使用高次插值多项式。而积分区间越小，则求积公式的截断误差也就越小，因此,为了提高数值积分的精度，经常把积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上使用次数不高的牛顿科兹公式,如梯形公式或抛物线公式，然后把结果加起来得到整个区间上的求积公式，这种求积公式称为复合求积公式。7.3.1 复合梯形公式把积分区间等分，步长节点在每个子 区间上使用梯形公式相加后得于是得到复合梯形公式 (7.3.1)若在上连续,由连续函数的介值定理,在上存在一点使得因而得其余项为 （7.3.2）7.2.3 复化抛物线公式由于抛物线公式用到了区间的中点，所以在构造复合抛物线公式时，必须把积分区间进行偶数等分。具体作法是，把积

9、分区间等分，步长，节点在每个子区间上使用抛物线公式相加后得于是得到复合抛物线公式 (7.3.3)若在上连续,则得其余项为 (7.3.4)用上面的误差估计式,可以判断计算时取多大步长就可以达到精度要求。例：计算积分要求保证有5位有效数字。若用复合梯形公式计算，需将积分区间多少等分?若用复合抛物线公式计算，又需将积分区间多少等分?解：由有，因为，所以当时用复合梯形公式计算，由误差估计式(7.3.2)有因为的真值具有一位整数,所以若要求积分具有5 位有效数字,只要取两边取对数整理得只要取也就是说,把积分区间进行68等分就可以满足计算要求了。用复合抛物线公式计算,由误差估计式(7.3.4)有两边取对数

10、并整理得只要取也就是说,把区间6等分就可以满足计算要求了。7.2.4 变步长求积公式我们看到，复合求积公式的截断误差随的增大而减小,但对于一个给定的积分,选定了某种求积方法后,如何确定适当的,使得计算结果达到预选给定的精度要求呢?当然可以用前面的误差估计来求,但这要用到高阶导数,一般是比较困难的。在实际计算中,常采用积分步长的自动选择,具体地讲,就是在求积过程中,将步长逐次折半,反复利用复合求积公式,直到相邻两次的计算结果之差的绝对值小于允许误差为止。这实际上是一种事后估计误差的方法。对于复合梯形公式，若将积分区间等分,积分近似值记为,积分精确值记为,则有把每个子区间分半,也就是将积分区间等分

11、,则有当在区间上连续,且函数值变化不大时,即有则有即有 (7.3.5)从(7.3.5)式可以看到,可用 (允许误差)来判断近似值是否已 满足精度要求。计算过程如下：(1)取计算(2) 即把区间2等分,计算(3)取即把区间4等分，计算式中可以看到,每次都是在前一次的基础上将子区间再对分。原分点上的函数值不需要重复计算,只需计算新分点上的函数值即可,一般地计算公式为 (7.3.6)在计算的过程中,每算出一个新的近似值,就检验是否有 (允许误差) (7.3.7)当(7.3.7)式满足时,计算停止, 就是满足精度要求的近似值。对于复合抛物线公式,若将积分区间等分,积分近似值记为,积分精确值记为,并且假

12、设在上连续且函数值变化不大,与复合梯形公式类似,可推得即有 (7.3.8)若(允许误差)，则就是要求的近似值,否则,再将每个子区间分半进行计算，直到满足要求为止。对于时的牛顿-科兹公式,将积分区间等分,积分近似值记为,且假设在上变化不大,则可推得即有 (7.3.9)若(允许误差),则就是要求的近似值,否则,再将每个小区间分半进行计算,直到满足要求为止。第四节 龙贝格公式7.4.1 龙贝格公式由(7.3.5)式可知,用梯形公式得到的积分近似值的误差大致是,因此,人们期望，如果用这个误差值作为对的一种补偿，则得到的求积公式 (7.4.1)的代数精确度会有所提高。通过直接验证可知 (7.4.2)也就

13、是说,用梯形公式二分前后的两个积分值与按照公式(7.4.1)线性组合,其结果正好是用抛物线公式得到的积分值由(7.3.8)式,用抛物线公式得到的积分近似值的误差大致是,因此对抛物线公式进行修正,得到 (7.4.3)通过直接验证可知 (7.4.4)也就是说,用抛物线公式二分前后的两个积分值与按照公式(7.4.3) 做线性组合,其结果正好是用公式得到的积分值再由(7.3.9)式,用公式得到的积分近似值的误差大致是,因此,对科兹公式进行修正,得到求积公式 (7.4.5)为此,构造求积公式 (7.4.6)称(7.4.6)式为龙贝格(Romberg)公式。龙贝格公式是一种加速计算积分的方法。 在变步长的

14、求积过程中,运用(7.4.2)、(7.4.4)、(7.4.6)式可以将精度低的梯形值逐步加工成精度较高的抛物线值,科兹值与龙贝格值龙贝格求积的计算步骤如下：(1) 计算算出;(2) 把2等分计算算出与;(3) 把4等分,计算,算出, 与;(4) 把8等分,计算算出,与与;(5) 把16等分,计算算出,与,继续重复进行,直到(允许误差)时停止计算,就是所求的积分值。例 用龙贝格求积法计算积分的近似值,要求准确到小数点后第5位。解 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 所以事实上，的准确值为7.4.2 理查森外推加速法上述加速过程还可以继续进行下去，其理论依据是梯形法的余项可以展开为级数

15、形式。定理 设在上具有任意阶导数，为将等分用梯形公式得到的积分值，为积分准确值，则 (7.4.7)式中系数与无关。证明 设，在子区间的中点泰勒展开后相加得从0到求和，得 (7.4.8)另一方面,将在子区间的中点泰勒展开后，两边从到积分得再关于从0到求和,得 (7.4.9)从(7.4.8)、(7.4.9)式得到 (7.4.10)又，对应用(7.4.9)式,并注意到有代入式,整理得 (7.4.11)再对应用(7.4.9)式,有从而，进一步得 (7.4.12)重复上述过程，即可得到形如(7.4.7)的余项公式。若将子区间分半,即将等分,用梯形公式求得的积分值记为按(7.4.7)式 (7.4.13)将

16、式(7.3.7)与式(7.3.13)按以下方式作线性组合 (7.4.14)得到 (7.4.15)比较(7.4.14)式与(7.4.2)式可知,这样构造出的其实就是抛物线值序列。又按照(7.4.15)式令则得到这样构造出的其实就是科兹值序列。如此继续下去,每加速一次,误差的量级便提高二阶。一般地,按公式 (7.4.16)经过次加速后,余项为下列形式 (7.4.17)上述方法称为理查森(Richardson)外推加速法。设以表示二分次后求得到的梯形值,且以表示序列的次加速值,则递推公式(7.4.16),即 (7.4.18)可以逐行构造出下列三角形数表： 称为数表。可以证明,如果充分光滑,那么数表每

17、一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值,即计算机上的所谓龙贝格算法,就在二分过程中逐步形成数表的具体方法。第五节 高斯公式7.5.1 高斯公式我们知道,求积公式 (7.5.1)含有个待定常数及,如果它具有次代数精确度,则它应使个方程 (7.5.2)精确成立。作为插值型求积公式(7.5.1)它至少具有次代数精确度；另一方面,令,则对次多项式而言，(7.5.1)右端为零,而左端严格大于零,即(7.5.1)式对次多项式不准确成立。但要确定方程组(7.5.2)中的个待定常数与,最多需要给出个独立条件,所以最大取。因此,插值型求积公式(7.5.1)的代数精确度最小是,最大是定理1 以为节点的插值型求

18、积公式(7.5.1)具有次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式与任意次数不超过的多项式均在区间上正交,即 (7.5.3)证明 如果(7.5.1)具有次代数精确度,则对于任意次数不超过的多项式,多项式的次数不超过。因此,求积公式(7.5.1)对于能准确成立,即但故(7.5.3)式成立。反过来,对于任意给定的次数不超过的多项式,用除,记商为,余式为,则与都是次数不超过的多项式,且有利用(7.5.3)式得由于所给公式(7.5.1)是插值型的,它对于能准确成立,即注意到,即,从而有故插值型求积公式(7.5.1)具有次代数精确度。上述定理告诉我们,含有个节点而代数精确度为的插值型求积公式是存在

19、的,它所用的节点是上的第次正交多项式的零点。称这一 类求积公式为高斯(Gauss)公式,其节点为高斯点。关于它的求积系数与余项有下面的结果。定理2 高斯公式(7.5.1)的求积系数全为正,且 (7.5.4)证明 因为是次多项式,所以是次多项式,从而高斯公式(7.5.1)对它能准确成立,即注意到上面二式的右端实际上等于,从而有定理3 对于高斯公式(7.5.1),其余项为 (7.5.5)其中证明 以为节点构造的埃尔米特插值多项式 因为是次多项式,而它的余项是所以高斯公式(7.5.1)对能准确成立,即从而若在区间上连续,由于在上不变号,故应用积分中值定理可得上述定理说明,与牛顿科兹公式进行比较,高斯

20、公式不但具有高精度,而且它还是数值稳定的,但是节点和求积系数的计算比较麻烦。7.5.2 高斯勒让德公式对于任意求积区间,通过变换可化为区间,这时因此,不失一般性,可取考查区间上的高斯公式 (7.5.6)我们知道,勒让德(Legendre)多项式 (7.5.7)是区间上的正交多项式,因此, 的个零点就是高斯公式(7.5.6)的个节点。特别地,称的零点为高斯点,形如(7.5.6)的高斯公式称为高斯-勒让德公式。利用勒让德多项式的一个性质可得,高斯-勒让德求积系数为 (7.5.8)按(7.5.5)式,可推得其余项为 (7.5.9)若取的零点为节点,则从而一点高斯-勒让德公式(中矩形公式)为 (7.5

21、.10)其余项为若取的两个零点为节点,则从而二点高斯-勒让德公式为 (7.5.11)其余项为同理,三点高斯-勒让德公式为 (7.5.12)其余项为一般地,高斯-勒让德公式(7.5.6)的节点可以通过勒让德多项式的零点确定,而求积系数通过(7.5.8)式确定。表7-2给出了高斯勒让德公式在节点数为时的节点、求积系数及余项。表7-2节点数节点系数余项10221300.55555560.888888940.34785480.6521452500.23692690.47862870.568888960.17132450.36076160.4679139例 用二点高斯-勒让德公式计算积分解 作变量代换则

22、记,因为节点得 所以,由二点高斯公式计算结果比用复合梯形公式7个节点计算的结果还要好。第六节 数值微分在微分学中,函数的导数是通过导数定义或求导法则求得的,当函数是表格形式给出时,就不能用上述方法求导数了,因此有必要研究用数值方法求函数的导数。下面介绍几种求数值微商的方法。7.6.1中点方法由导数定义,导数是差商当时的极限。如果精度要求不高,可取差商作为导数的近似值,这样便建立起一种数值微分方法 (7.6.1)类似地,若用向后差商作近似计算,有 (7.6.2)若用中心差商作近似计算,有 (7.6.3)称后一种数值微分方法为中点方法,相应的计算(7.6.3)式称为中点公式,它其实是前两种方法的算

23、术平均。在图7-1中,上述三种导数的近似值分别表示弦AB、AC与BC的斜率,比较切线AT(其斜率等于)与三条弦平行的程度,从图形上可以明显地看出,弦BC与切线AT的斜率最为接近,因此就精度而言,中点方法最为可取。实际上,从三种方法的截断误差也可得出此结论。分别将在处泰勒展开于是所以,公式(7.6.1),(7.6.2)的截断误差是而中点公式的截断误差是。用中点公式计算导数的近似值,必须选取合适的步长。因为,从中点公式的 截断误差看,步长越小,计算结果就越准确,但从舍入误差的角度看,当很小时,与很接近,两相近数直接相减会造成有效数字的严重损失,因此,步长又不易取的太小。例如,用中点公式求在处的导数

24、,计算公式为如取4位小数计算,结果见表7- 3。表7-310.50.10.36600.35640.35350.050.010.0050.35300.35000.35000.0010.00050.00010.35000.30000.3000导数的准确值为0.353553,可见,时逼近效果最好,如果进一步缩小步长,则逼近的效果会越来越差。7.6.2 插值型求导公式当函数以表格形式给出: 用插值多项式作为的近似函数,由于多项式的导数容易求得,我们取的导数作为的近似值,这样建立的数值公式 (7.6.4)统称为插值型的求导公式。其截断误差可用插值多项式的余项得到,由于两边求导数得由于上式中的是的未知函数

25、,我们无法对做出估计,因此,对于任 意的,无法对截断误差做出估计。但是,如果求节点处导数，则截断误差为 (7.6.5)下面列出几个常用的数值微分公式:(1)两点公式过节点做线性插值多项式,并记,则两边求导数得于是得两点公式 (7.6.6)其截断误差为 (7.6.7)(2)三点公式过等距节点作二次插值多项式,并记步长为,则两边求导数得于是得三点公式 (7.6.8)其截断误差为 (7.6.9)如果要求的二阶导数,可用作为的近似值,于是有 (7.6.10)其截断误差为 (7.6.11)(3)五点公式过五个节点上的函数值,重复同样的手续,不难导出下列五点公式：与读者不难导出这些求导公式的余项，并由此可知，用五点公式求节点上的导数值往往可以获 得满足的结果。26