第四章：刚体转动习题解答

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1、第四章：刚体一章习题解答习题41如图所示，乂轴沿水平方向，7轴竖H向下，在Q0时刻将质暈为刃的质点由存处静止释放，让它h由下落，则在任意时刻几质点对原点O的力矩；在任意时刻厶质点对原点的角动2 =解：作用于质点上的重力为G= mgj任时刻/质点（也是重力的作用点）的位 炭矢量为?=力/ + gtj据定义，该重力对原点O点的力矩为M- rx G-（勿 + 矽）x mg/ = bnigk任一时刻/质点的动量为P- 历二 mgtj据定义，质点对原点o的角动量为 一 Z = 7 x =（勿 + gtj） x mgtj = bnigtk习题42我国第一颗人造卫星沿椭圆轨道运 动，地球的中心0为椭圆的一个

2、焦点（如图）， 己知地球半径E378km,卫星与地面的最近距 离/i=439km,与地面的故远距离Q238km。若 卫星在近地点4的速度s=8.1kni/s,则卫星在 远地点的速度2=o解：卫星受到地球引力（有心力）的作用，对地心O的角动量守恒。因此(人+/)/? =(R+小叫解得(W)S+Q6378 + 4396378 + 238x&l = 63km/s习题4一3光滑圆盘而上有一质暈为加的物体力，栓在一根穿过圆盘中心光滑 小孔的细绳上，如图所示。开始时，物体距离圆盘中心O的距离为儿，并以角 速度5绕圆盘中心O作圆周运动，现向下拉绳，当物体/的径向距离由巾减少 到/2时，向下拉的速度为“求下拉

3、的过程中拉力所作的功。分析：下拉过程并不是缓慢的，在下拉过程屮的任一时刻，物体的速度不是 刚好沿半径为厂的切线方向，而是既有切向分暈，乂有法向分暈。另一方而，此 题可以考虑用动能定理求拉力的功，这就得先求出物体的末态速度。习题4一3图解：设在末态物体的速度的切向分量为 法向分h-：为亦为卜拉速度)。由角动量守恒可所以，末态速度的切向分最由质点动能定理，下拉的过程中拉力所作的功力=约_几=扌加(护+疋)_ j加诟 =yw(27oft)o)3 +3* -1-= -CDq+-/XrZr习题4一4质暈为勿的粒子力受到第二个粒子方的万有引力作用，$保持在原点不动。最初，当力离方很远（丿=8）时，力具有速

4、度,方向沿图中所示氏线Aa.方与这条厲线的垂直距离为A 粒子力由丁粒子方的作用而偏离原來的路 线，沿着图中所示的轨道运动，已知这轨道与占之间的最短跖离为N,求占的质 量mBo解：粒子力在粒子方的有心力场中运动，系统的角动帚和机械能均守恒。因此，我们可以得到冷叫吭=+尬* _ G孑严联立、两式解得方的质帚为习题4一5在光滑的水平而上，一根长后2m的绳子，一端固定丁点，另一 端系一质最尸0.5kg的物体，开始时，物体位丁位置04间距离=0.5m,绳 子处于松弛状态。现在使物体以初速度了才4m/s垂忙J： OA向右滑动，如图所於 设以后的运动中物体到达位置方，此时物体速度的方向与绳垂血。则此刻物体对

5、 O点角动量的大小Z尸,物体速度的大小？沪o解：由质点角动最守恒定律有d mvA = L mvB因此，物体在方点时对o点的角动量为Lb= La - d- nivA = 0.5 x 0.5 x 4 = lkg*m2/s 物体在点时的速度为d0.5x4 .,% 乙=lni/sL2习题46 质最为刃的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标系下的定义为：7 = acoscon +Zsinft)zy ,其中b、ft)泮为常数，则此质点所受的对原点的力矩;该质点对原点的角动量2=解：依定义，质点的加速度a=兰二=-co2 cos(/? + Zsin(ot/) = -co2? dt dr质点受到的力为m

6、a = -niGfr因此力矩M= rxF= -njco2rxr = 0因为v-sill sin cozy) x /n(-a(o sin ft)/7 + cocoscof/)=(abmoD cos- cof)+ (肋勿wsin(af)/c = abmsk习题4一7两个匀质圆盘力和方的密度分别为和p，若PJPb，但两圆 盘的质量和厚度相同，如两盘对通过盘心且垂鬥丁盘面的轴的转动惯帚:各为必 和Jb、则：(A) JAJBo (B) JAJB. (C) JA = JB. (D) J a、厶哪个大不能确定。 解：関盘的转动惯量J丄賦8护2乂因为m= p7= pit/ch所以有疋=丄丄n/ip p这样一來

7、P因为已知pjpe因而乙 02。()0卩“ P)开始时 01 = 02，以后 0102。 解：由牛顿定律及转动定律Mg-T = Ma对 4 TR= Jp、“二砂i，题4一8图对：FR=Jp)从以上各式可解得_ MgR_FR _ MgR1 J+血2 丁显然Pl Ek =估 g = -x0.50x0.40- x8.57- = 0.98J22 36此步还可用机械能导恒泄律求得棒的动能：设亜力势能零点在棒原來的水平位置处，则有0 =为+ (-丄矽)2所以Ek = i-z/= 0.5 x 0.50x9.8x0.40 = 0.98 J(3)山(2)可知，下落到竖氏位置时co= 8.57 rad/s习题41

8、5如图所示，/和方两个轮的 轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯最分 别为yi=10kg*ni?和坊=20kgi2,开始时, A轮转速为600rev/min, B轮静止,U为摩 擦啮合器，其转动惯锻可忽略不计，A. B 分别与O的两个组件相连，当O的左右组 件啮合时，占轮得到加速而/轮减速，H到 两轮的速度相等为止，设轴光滑，求：(1)两轮啮介后的转速;(2)两轮各H所受的冲最矩。解：(1) IcoA = 2nA = In x 600 弓 60 二 20/r rad/s：轴=0由角动量守恒有乙 60彳=(乙 + Js )(0解得J A(f)A10x20 “c co = A A = 20.9 ra

9、d/s=200rev/nunJa + Jb10 + 20A习题4-16图mvL 9/nvL16 16(2)由角动帚定理Ga = Lq La - JA(O- JAa)A = 10 x 20.9-10x 20x3.14 = 一419NmsGb - -Ga = 419 Nms或者Gb =一 Z勿二几3_ 几0斥=20 x 20.9- 0 = 419 Nms习题416匀质细棒长为2Z,质杲为加以与棒长方向相垂It的速度比在光滑水平而 内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生 完全非弹性碰撞，碰撞点位J棒中心的一方 Z/2处，如图所示。求棒在碰撞后的瞬时绕O 点转动的角速度血。(细棒绕通过其端点且与 其垂

10、克的轴的转动惯最为沪/3 ,式中的炖和 /分別为棒的质帚:和长度)解：棒与。点碰撞前后其角动钛守恒。 但棒碰撞前的角动最须作积分才能求得，为 此，我们在棒上距支点O为x处取线元 其元角动量为dL = x 加 Q)=才儿必式中；I为棒的质量线密度。由此，我们可以得到碰撞前棒的角动量为碰撞后棒的角动最为L 丿3式中/为棒对O点的转动惯帚J -ml;J 512即解得7=n叭 L = J= （一2 12tn习题4-17图习题417如图所示，一个质暈为加的物体 与绕在定滑轮上的绳子相连，绳子质最可以忽 略不计，它与定滑轮Z间无滑动。假设定滑轮 质量为必 半径为人，其转动惯量为必2/2, 滑轮轴光滑。试求

11、该物体由静止开始卜落的过 程中，下落速度与时间的关系。解法I :对物体mg 一 T = ma 对定滑轮（圆盘刚体）：加=（丄必2）02由角暈与线量的关系a = Rp联立以上三式可得-M可见，物体下落的加速度是常量。乂因为其下落的初速度为零，所以，物体下落 速度与时间的关系为2/ngtv= at=2炖+ M解法U：把圆盘和物体作为定轴系统，由角动最定理有（nigRt =J（o） _ 0乂因为V- Rs由上述关系可以解得ImgRt2/n+ M习题418作定轴转动的物体，对转轴的转动惯最为上3.0kgm2,角速度ft)0 = 6.0rad/s,现对物体加一恒定的制动力矩必=一12Nm,当物体的角速度

12、减慢到3 = 2.0rad/s时，物体己转过了角度0 =o解：物体的角加速度为 P = = - = -4 rad/s2J 3.0由丁角加速度为恒最，所以满足公式a)2 -g)q = 2p0因此e_ /-此.20= 2 02 -6 2=4.0raci2 x(4)习题419 一定滑轮半径为0.1ni,相对丁中心轴的转动惯量为1 Xio-gnn2, 一变力后0.5SI)沿切线方向作用在滑轮的边缘上，如果滑轮最初处丁谢止状态, 忽略轴承的摩擦，试求它在Is木的角速度。解：作用丁定滑轮上的外力矩为0.5/xO.l = 0.05/定滑轮的角加速度为因此0.05/lxlO3= 50/d3dt=P = 50/

13、应用初始条件Q0时，(yo=o,对上式积分加=丄50滋=25所以，定滑轮在1S末的角速度为&)= 25 rad/s 习题4一20电风扇在开启电源后，经过厶时间达到了额定转速，此时相应的角 速度为5,当关闭电源后，经过厶时间风扇停转。己知风扇转子的转动惯帚为必并假定摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常最，试根据己知推算电机的电磁力 矩。解法I：设电机的电磁力矩为必摩擦阻力矩为必由转动定律，从开启 电源到达到额定转速的过程中有从关闭电源到风扇停转的过程中有-M广皿由刚体运动学公式有% = PA联立以上四式可得电机的电磁力矩为解法II:由刚体角动量定理可得(M M y(oQ - 0一 Mf = 0 -

14、J(o0联立以上两式可得电机的电磁力矩为习题4一21转动惯帚:为/的圆盘绕一固定轴转动，角速度为叫，设它所受阻力 矩与角速度成正比，即必二-曲(4),求圆盘的角速度从5变为0。/2所需要的 时间。解：由转动定律分离变量并积分解得dsM 上3 Jdtdtt= 1112习题422 一轻绳跨过两个质量均为2、半 径均为厂的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分別 挂着质量为加和2加的巫物，如图所小:，绳与 滑轮之间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑 轮的转动惯暈均为m讣,将由两个定滑轮以 及质量为炖和2炖的車物组成的系统从静止释 放，求两滑轮之间绳内的张力。解：对滑轮和巫物分别列式可得2mg -Tx- 1/na

15、乙“（石-石”弓加07 - mg = mag=巾联立以上五式可求得两滑轮之间绳内的张力丁11习题4-22图71习题423质量分別为刃和2加、半径分别为 厂和2厂的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可 绕通过盘心UffifiT-盘而的水平光滑轴转动， 对轴的转动惯最为9加/2,大小圆盘边缘均绕 有绳子，绳子下端都挂有一个质暈为力的重物, 如图所示，求盘的角加速度的大小。题解4一2?图习题4一23图解：由示力图可得如下方程fng 一 T = rnax T2 一 fng = ma2- T2r- Jp2/P = ax 巾=勺联立以上五式可解得P = 19/-N题解4-23图习题424有一质量为加1、长为/

16、的均匀 细棒，静止平放在滑动摩擦系数为“的水平 桌面上，它可绕通过其水平端点0且与桌面 垂也的光滑尚定轴转动。另有一水平运动的 质吊为处的小滑块，从侧而垂n丁棒与棒 的另一端力相碰撞，设碰揃时间极短，己知 小滑块在碰撞前后的速度分别为珂和务， 如图所示，求碰撞后从细棒开始转动到停止 转动的过程所需的时间。（已知棒绕O点转U A（俯视图）习题4-24图动的转动惯量丿=勺尸/3）解:碰撞过程时间极短，小滑块与细棒Z间内力矩远大于外力矩（摩擦力矩）,因此系统角动最疔恒lni21 = -Zw2 v2 + （勿/2）（03解得69 =3 冬（q + v2）该角速度是细棒开始转动的初角速度。细棒转动中所受到的磨擦力矩可用积分求 达得，在细棒上距O为x处取一小段厶 其受到的元燃擦力矩为细棒所受到的摩擦力矩为M$-dMf = 一-如叫g/I2细棒转动的角加速度为0 = CD+ pt由角速度公式有解得求时间还可以用角动最定理：因为摩擦力矩为常最，因而有-丄乍ung” =0-()a)23解得2（0 + v2）屮Eg与上面用运动学方法得到的结果和同。