高等数学同济第七版上册课后习题答案

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1、习题 1-11.求下列函数的自然定义域：2 (1) 3 2; 1(3 ) 1 ;(5) sin ; (7) arcsin( 3); (9) ln( 1);y x y x x y x y x y x = + = - = = - = +2211( 2) ; 1 1(4); 4 (6) tan( 1); 1( 8) 3 arctan ;(10) . xeyxyxy x y xxy e=-=- = += - +=解： 2( 1)3 2 0 3 x x + - ，即定义域为 2, 3 - + 2( 2)1 0 1, x x- 即定义域为( , 1) ( 1,1) (1, ) - - - + (3) 0

2、x 且 2 1 0 0 x x- 且 1 x 即定义域为 ) ( 1,0 0,1- 2( 4)4 0 2 x x- - 即定义域为( 1, ) - + (10) 0, x 即定义域为( ,0) (0, ) - +2.下列各题中，函数 ( ) f x 和 ( ) g x 是否相同？为什么？ 224 3 332 2(1) ( ) lg , ( ) 2lg (2) ( ) , ( ) (3) ( ) ( ), ( ) 1 (4) ( ) 1, ( ) sec tan f x x g x x f x x g x x f x x x g x x x f x g x x x = = = = = - = -

3、 = = -解：（1）不同，因为定义域不同 （2）不同，因为对应法则不同， 2 , 0 ( ) , 0 x x g x x x x = =- （3）相同，因为定义域，对应法则均相同（4）不同，因为定义域不同3.设sin , 3( ) 0, 3 x x x x p j p = 求 ( ), ( ), ( ), ( 2), 6 4 4 p p p j j j j - - 并指出函数 ( ) y x j = 的图形解：1 2( ) sin , ( ) sin , 6 6 2 4 4 2 2( ) sin( ) , ( 2) 0, 4 4 2 p p p p j j p p j j = = = = -

4、 = - = - = ( )y x j = 的图形如图1 1 - 所示4.试证下列函数在指定区间内的单调性：(1) ; 1 (2) ln ,(0, ) xy x y x x = - = + +证明： 1( 1) ( ) 1 ,( ,1) 1 1 xy f x x x = = =- + - - - 设 1 2 1 x x - - 所以 2 1 ( ) ( ),f x f x 即 ( ) f x 在( ,1) - 内单调增加 (2) ( ) ln ,(0, ) y f x x x = = + + 设 1 2 0 x x 所以 2 1 ( ) ( )f x f x 即 ( ) f x 在(0, )

5、+ 内单调增加5.设 ( ) f x 为定义在( , ) l l- 内的奇函数，若 ( ) f x 在(0, ) l 内单调增 加，证明 ( ) f x 在( ,0) l- 内也单调增加证明： 设 1 2 0 l x x- ，则 2 1 0 x x l - - 即 ( ) f x 在( ,0) l- 内也单调增加6.设下面所考虑的函数都是定义在区间( , ) l l- 上的。证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明： (1)设 1 2 ( ), ( )f x f x 均为偶数，则 1 1

6、 2 2 ( ) ( ), ( ) ( )f x f x f x f x- = - = 令 1 2 ( ) ( ) ( )F x f x f x = + 于是 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F x f x f x f x f x F x- = - + - = + = 故 ( ) F x 为偶函数 设 1 2 ( ), ( )g x g x 均为奇函数，则 1 1 2 2 ( ) ( ), ( ) ( )g x g x g x g x- =- - =- 令 1 2 ( ) ( ) ( )G x g x g x = + 于是 1 2 1 2 ( ) ( ) ( )

7、( ) ( ) ( )G x g x g x g x g x G x- = - + - =- +- =- 故 ( ) G x 为奇函数 (2)设 1 2 ( ), ( )f x f x 均为偶数，则 1 1 2 2 ( ) ( ), ( ) ( )f x f x f x f x- = - = 令 1 2 ( ) ( ) ( )F x f x f x = 于是 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F x f x f x f x f x F x- = - - = = 故 ( ) F x 为偶函数 设 1 2 ( ), ( )g x g x 均为奇函数，则1 1 2 2 (

8、 ) ( ), ( ) ( )g x g x g x g x- =- - =- 令 1 2 ( ) ( ) ( )G x g x g x = 于是 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )G x g x g x g x g x g x g x G x- = - - =- - = = 故 ( ) G x 为偶函数 设 ( ) f x 为偶函数， ( ) g x 为奇函数， 则 ( ) ( ), ( ) ( ) f x f x g x g x - = - =- 令 ( ) ( ) ( ) H x f x g x = 于是 ( ) ( ) ( ) ( )

9、( ) ( ) ( ) ( ) H x f x g x f x g x f x g x H x - = - - = - =- =- 故 ( ) H x 为奇函数7.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？2 222(1) (1 ); 1 (3) ; 1 (5) sin cos 1; y x x xy x y x x = - - = + = - +2 3( 2) 3 ; (4) ( 1)( 1);(6)2x xy x x y x x x a ay - = - = - + - =解： （1）因为 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 ( ) (1 ) ( )f x x x x

10、 x f x - = - - - = - = 所以 ( ) f x 为偶函数 （2）因为 2 3 2 3 ( ) 3( ) ( ) 3f x x x x x- = - - - = + ( ) ( ),f x f x- 且 ( ) ( ) f x f x - - 所以 ( ) f x 既非偶函数又非奇函数（3）因为2 22 2 1 ( ) 1( ) ( ) 1 ( ) 1 x xf x f x x x - - - - = = = + - +所以 ( ) f x 为偶函数 （4）因为 ( ) ( 1)( 1) ( ) f x x x x f x - =- + - =- 所以 ( ) f x 奇函数

11、 （5）因为 ( ) sin( ) cos( ) 1 sin cos 1, f x x x x x - = - - - + =- - + ( ) ( )f x f x- 且 ( ) ( ) f x f x - - 所以 ( ) f x 既非偶函数又非奇函数（6）因为 ( ) ( ) 2 x xa af x f x - + - = = 所以 ( ) f x 为偶函数8.下列函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期2(1) cos( 2); (3) 1 sin ; (5) sin y x y x y x p = - = + =(2) cos4 ; (4) cos ; y x y x x =

12、=解： （1）是周期函数，周期 2 l p =（2）是周期函数，周期2lp=（3）是周期函数，周期 2 l =（4）不是周期函数 （5）是周期函数，周期lp=9.求下列函数的反函数3( 1) 1; (3) ( 0); (5) 1 ln( 2); y x ax b y ad bc cx d y x = + + = - + = + +1( 2) ; 1 (4) 2sin3 ( ); 6 6 2( 6) 2 1 x x xy x y x x y p p - = + = - = +解： （1）由 3 1 y x = + 解得 3 1 x y = - ，既反函数为 3 1 y x = -（2）由1 1

13、xy x - = +解得1 1 yx y - = +，既反函数为1 1 xy x - = +（3）由ax by cx d + = +解得dy bx cy a - + = -，既反函数为dx by cx a - + = -（4）由 2sin3 ( ) 6 6 y x x p p = - 解得 1arcsin 3 2 yx = ，既反函数为1arcsin 3 2 xy = （5）由 1 ln( 2) y x = + + 解得 log1 yxy=-，既反函数为 log1 xyx=-（6）由2 2 1 x xy = +解得 2 log1 yxy=-，既反函数为 2 log1 xyx=-10.设函数 (

14、 ) f x 在数集X 上有定义，试证：函数 ( ) f x 在X 上有界 的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界解： 设 ( ) f x 在X 上有界，既存在 0 M ，使得 ( ) , ,f x M x X 故 ( ) , , M f x M x X- 既 ( ) f x X 上有上界M ，下界 M - 反之，设 ( ) f x 在X 上有上界 1 K ，下界 2 K ，即2 1 ( ) ,K f x K x X 取 1 2m ax ,M K K= ，则有 ( ) ,f x M x X 即 ( ) f x 在X 上有界11.在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于

15、给定自变量值 1 x 和 2 x 的函数值21 21 221 221 221 2(1) , sin , , ; 6 3 (2) sin , 2 , , ; 8 4 (3) , 1 , 1, 2; (4) , , 0, 1; (5) , , 1, 1 u x y u u x x x y u u x x x y u u x x x y e u x x x y u u e x x p p p p = = = = = = = = = + = = = = = = = = = =-解：221 21 221 21 2 2 2 2 1 21 3(1) sin , , 4 4 2( 2) sin2 , , 1

16、2 (3) 1 , 2, 5 (4) , 1, (5) , , x x y x y y y x y y y x y y y e y y e y e y e y e- = = = = = = = + = = = = = = = = 12.设的定义域 0,1D = ，求下列各函数的定义域： 2( 1) ( ); (3) ( )( 0); f x f x a a + (2) (sin ) (4) ( ) ( )( 0) f x f x a f x a a + + - 解： 2( 1)0 1 1,1 (2)0 sin 1 2 ,(2 1) , (3)0 1 ,1 x x x x n n n Z x a

17、 x a a p p - + + - - 0 1 (4) 0 1 x a x a + - 当 10 2 a 时定义域为 13.设 1, 1 ( ) 0, 1, ( ) 1, 1xx f x x g x e x 求 ( )f g x 和 ( )g f x ，并作出这两个函数的图形解： 1, 0 ( ) ( ) 0, 0 1, 0 x x f g x f e x x ( )1, 1 ( ) 1, 1 , 1 f x e x g f x e x e x - ( )f g x 与 ( )g f x 的图形依次如图1 2 - ，图1 3 - 所示14.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角 40 j = o（

18、图 1-4）.当过水 断面ABCD的面积为定值 0 S 时，求湿周 ( ) L L AB BC CD = + + 与水深h之间的函数关系式，并指明其定义域解：sin40 hA B CD = = o又 01 ( 2cot40 ) 2 S h BC BC h = + + o 得 0 cot40 SBC h h = - o 所以 0 2 cos40 sin40 SL h h - = + o o 而 0 h 且 0 cot40 0 S h h - o ，因此湿周函数的定义域为 0 (0, tan40 ) S o 15.设xOy平面上有正方形 ( , )0 1,0 1D x y x y= 及直 线 :

19、( 0) l x y t t + = 若 ( ) S t 表示正方形D位于直线左下方部分的 面积，试求 ( ) S t 与t之间的函数关系解：当0 1 t 时， 2 1( ) 2 S t t = 当1 2 t 时， ( ) S t 1 =故22 1 ,0 1 2 1 2 1,1 2 2 1, 2 t t t t t t - + - 16.求联系华氏温度（用F表示）和摄氏温度（用C表示）的转换公式，并求 （1）90 F o 的等价摄氏温度和 5 C - o 的等价华氏温度；（2）是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的？如果存在，那么该温度值是多少？解： 设 , F mC b

20、= + 其中 , m b均为常数 因为 32 F = o相当于 0 , 212 C F = = o o相当于 100 C = o，所以212 3232 , 1.8 100 b m - = = = 故 1.8 32 F C = + 或 5( 32) 9 C F = - 5( 1) 90 , ( 32) 32.2 9 5 , 1.8 ( 5) 32 23 F C F C F = = - =- = - + = o o o o(2)设温度值t符合题意，则有 1.8 2, 40t t t= + =- 即华氏 40 - o恰好也是摄氏 40 - o 17.已知Rt ABC 中，直角边AC BC ， 的长度

21、分别为2015 ， ，动 点P从C出发，沿三角形边界按C B A 方向移动；动点Q从 C出发，沿三角边界按C A B 方向移动，移动到两动点相遇 时为止，且点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍.设动点P移动 的距离为x， CPQ 的面积为y，试求y与x之间的函数关系.解： 因为 20, 15, AC BC = = 所以, 2 2 20 15 25A B= + = 由20 2 15 20 25 + 可知，点 , P Q在斜边AB上相遇 令 2 15 20 25 x x + = + + 得 20 x= ，即当 20 x= 时，点 , P Q相遇， 因此所求函数的定义域为(0,20) （1）当0 1

22、0 x 时，点P在CB上，点Q在CA上（图 1-5） 由 , 2 CP x CQ x = = ，得 2 y x = （2）当10 15 x 时点P在CB上点Q在AB上（图 1-6）, 2 20C P x AQ x = = - 设点Q到BC的距离为h，则 45 2 , 20 25 25 BQh x - = =得4(45 2 ) 5 h x = - ，故 21 2 4 (45 2 ) 18 2 5 5 y xh x x x x = = - =- + （3）当15 20 x 时点 , P Q都在AB上（图 1-7）15, 2 20, 60 3BP x AQ x PQ x= - = - = - 设点C

23、到AB的距离为h，则 15 20 12 25 h = =得1 18 360 2 y PQ h x = =- + 综上可得22,0 10 4 18 ,10 15 5 18 360,15 20 x x x x x x x - + - + ，存在NN，当n N 时，不等式 nx a e - ，存在NN，当n N 时，有无穷多 项 n x ，使不等式 n x a e - ，存在NN，当n N 时， 不等式 n x a e - 时，不等式1 nx a m - ( ) e 设 1 ，存在1N e = ，当n N 时， 1 1 ( 1) 1 n n ne - + - ( ) e 设 1 ，存在 1 N e

24、= ，当 n N 且 n 为偶数时时， 1 nx a n e - = ，取1 0 c e ，按假设，存在NN， 当n N 时，不等式 1 nx a c c e e - ，取mN，使 1 m e 时，不等式 1 nx a m e - 时， n x 与其极限之差的绝对值小于正数 e 当 0.001 e = 时， 求出数N 解：lim 0 nn x = 证明如下因为1 10 cos , 2n nx n n p - = 要使 0 nxe - ，只要1 ne ，所以 0 e （不妨设 1 e 时，就有 0 nxe- ，就有 0 0.001 nx - 5.根据数列极限的定义证明：2 2 (1)lim 0;

25、 (3)lim 1; n n n a n = + =003 1 3( 2)lim ; 2 1 2 (4)lim0.999 9 1 n n n n n + = + =1 4243 个证明：（1）因为要使2 2 1 1 0 n ne - = ，所以 0 e （不妨设 1 e 时，就有 2 1 0 ne - ，即2 1l im 0 n n =（2）因为3 1 3 1 1 2 1 2 2(2 1) 4 n n n n + - = + +，要使3 1 3 2 1 2 n ne+- +，只要1 4ne ，所以 0 e （不妨设 1 4 e 时，就有 3 1 3 2 1 2 n ne+- +，即3 1 3l

26、 im 2 1 2n n n + = + （3）当 0 a= 时，所给数列为常数列，显然有此结论，以下设 0 a ，因为2 2 2 2 2 2 22 2 1 2( ) n a n a n a a n n n n n a n + + - - = = + +要使2 2 1n a ne+- 只要2 22 a ne ，所以 0 e （不妨设 2 1 2 a e 时，就有2 2 1n a ne+- ，即2 2 lim 1 n n a n + =（4）因为10. 999 9 1 10n - =1 4243 个要使 0.999 9 1 ne - 1 4243 个，只要1 10ne ，所以 0 e （不妨设

27、1 e 时 ， 就 有 0.999 9 1 n e - ， N $ ，当n N 时，有 n u ae - ，从而有 n n u a u ae- - ， 使 得 对 一 切 n 有 , 0 n M e ，由于lim 0 nn y = ，故对 1 0, , N M e e = $ 当n N 时，就有 1 ny M e e = cone 从而有 0n n n nx y x y M M e e - = $ 当 1 k k 时， 有 2 1 kx a e - - ， 当 2 k k 时，有 2k x a e - 时，若 2 1 n k = - ，则1 2 11 2 n k k K k x a x ae-

28、 + - = - - = - ，就有 n x ae - ，即lim n n x a =习题 1-3 1.对图 1-8 所示的函数 ( ) f x ，求下列极限，如极限不存在，说明理由210(1)lim ( ) (2)lim ( ) (3)lim ( ) x x x f x f x f x - - 解：21(1)lim ( ) 0 (2)lim ( ) 1 x x f x f x - - = =-0 (3)lim ( ) x f x 不存在，因为 (0 ) (0 ) f f + - 2.如图 1-9 所示的函数，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？0 (1)lim ( ) x f x 不存在001

29、(2)lim ( ) 0 (3)lim ( ) 1 (4)lim ( ) 0 x x x f x f x f x = = =1 (5)lim ( ) x f x 不存在 (6)对每个 0 ( 1,1) x - ，0 lim ( ) x x f x 存在解：（1）错，0 lim ( ) x f x 存在与否，与 (0) f 的值无关，事实上，0 lim ( ) 0 x f x = （2）对，因为 (0 ) (0 ) 0 f f + - = = （3）错， 0 lim ( ) x f x 的值与 (0) f 的值无关 （4）错， (1 ) 0 f + = ，但 (1 ) 1 f - =- ，故1

30、lim ( ) x f x 不存在（5）对，因为 (1 ) (1 ) f f + - （6）对3.对图 1-10 所示的函数，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的1 (1) lim ( ) 1 x f x+ - =1 (2) lim ( ) x f x- -不存在001(3)lim ( ) 0 (4)lim ( ) 1 (5)lim ( ) 1 x x x f x f x f x- = = =微信公众号 高校课后习题1 (6)lim ( ) 0 x f x+ =22(7)lim ( ) 0 (8)lim ( ) 0 x x f x f x = =解：（1）对 （2）对，因为当 1 x- ， ( )

31、 f x 无定义 （3）对，因为 (0 ) (0 ) 0 f f + - = = （4）错， 0 lim ( ) x f x 的值与 (0) f 的值无关 （5）对（6）对（7）对（8）错4.求 ( ) , ( ) xxf x x x x j = = ，当 0 x 时的左右极限，并说明它们 在 0 x 时的极限是否存在解：0 0 0 0 lim ( ) lim 1,lim ( ) lim 1 x x x x x xf x f x x x+ + - - = = = = 因为 0 0 lim ( ) 1 lim ( ), x x f x f x+ - = = 所以 0 lim ( ) 1 x f

32、x =0 0 0 0 0 0 lim ( ) lim lim 1,lim ( ) lim lim 1 x x x x x x x x x xx x x x x x j j + + + - - - - = = = = = =- 因为 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x j j + - 所以 0 lim ( ) x x j 不存在5.根据函数极限的定义证明：322(1)lim(3 1) 8; 4(3 )lim 4; 2 x x x x x - - = - =- +221 2(2)lim(5 2) 12; 1 4( 4) lim 2 2 1 x x x x x - + = - =

33、 +解：（1）因为 (3 1) 8 3 9 3 3, x x x - - = - = - 要使 (3 1) 8 x e - - ，只要 33xe - ，取3 ed= ，则当0 3 xd - 时，就有 (3 1) 8 xe - - ，即3 lim(3 1) 8 x x - =（2）因为 (5 2) 12 5 10 5 2, x x x - - = - = - 要使 (5 2) 12 x e + - 只要 2 5 x e - ，取5 ed= ，则当0 2 xd - 时，就有 (5 2) 12 xe+ - 即2 lim(5 2) 12 x x + = （3）因为 2, 2, x x - - 2 4

34、( 4) 2 ( 4) 2 ( 2), 2 x x x x x - - - = - - - = + = - - +要使2 4 ( 4) , 2x xe- - + 只要 ( 2) xe - - ，取 e d = ，则当0 ( 2) xd - - 时，就有2 4 ( 4) , 2x xe- - +即22 4l im 4 2x x x - - =- +（4）因为1 1 , 2 2 x x - -21 4 1 2 1 2 2 2 ( ) 2 1 2 x x x x - - = - - = - - +要使21 4 2 , 2 1 x x e - - +只要1( ) 2 2xe - - ，取2 ed= ，

35、则当10 ( ) 2 xd - - 时，就有21 4 2 , 2 1 x x e - - +即21 2 1 4l im 2 2 1x x x - - = +6.根据函数定义证明：33 1 1 sin( 1)lim ;(2) lim 0 2 2x x x x x x + + = =证：（1）因为333 1 1 1 2 2 2 x x x + - = ，要使33 1 1 2 2 x xe+- ，只要 3 1 2 xe ，所以 0 e ，取31 2Xe = ，则当 x X 时，就有33 1 1 2 2 x xe+- ，即33 1 1l im 2 2x x x + =（2）因为sin 1 0x x x

36、 - ，要使sin 0 x xe - ，只要 1 xe ，所以 0 e ，取2 1X e = ，则当x X 时，就有 sin 0 x xe - ，即 sin lim 0 x x x + =7.当 2 x 时， 2 4 y x = - 问 d 等于多少，使当 2 xd - 时，4 0.001y - ？解： 由于 2, 2 0 x x - ，不妨设 2 1 x- ，即1 3 x 要使 2 4 2 2 5 2 0.001 x x x x - = + - - ，只要 0.0012 0.0002 5 x- =取 0.0002 d = ，则当0 2 xd - 时，就有 2 4 0.001 x - 时， 1

37、 0.01 y- ？解：因为22 2 2 1 4 4 1 3 3 x x x x - - = + +，要使221 1 0.01 3x x- +，只要2 4 0.01 x ，取 20 X = ， 则当 x X 时，就有 1 0.01 y- ，取 d e = ， 则当0 0 x d - 时，就有 0 x e - $ ，当 1 x X 时， 就有 ( ) f x A e - $ ，当 2 x X - 时，就有 ( ) f x A e - 当， 即x X 或x X - 时，就有 ( ) f x A e - $ 当 0 0 x xd - 时，就有 ( ) f x Ae- 特别,当 0 0 x xd -

38、时，有 ( ) f x Ae - ，即0 lim ( ) x x f x A+ = ；当 0 0 x xd - 时，有 ( ) f x Ae - $ ，当 0 1 0 x x d - 时，就有 ( ) f x Ae - 当 0 0 x xd - 时，就有 ( ) f x Ae - 和 0X ，使得当 x X 时，有 ( ) f x M 证明如下：因为lim ( ) x f x A = ，所以对 1 0, 0 X e = $ ， 当 x X 时，就有 ( ) 1 f x A - ，从而 ( ) ( ) 1f x f x A A A - + 时， ( ) f x M 习题 1-41.两个无穷小的商

39、是否一定是无穷小？举例说明。解： 不一定，例如 ( ) 2 x x a = 与 ( ) 3 x x b = ，都是当 0 x 时的无穷小，但( ) 2 ( ) 3 x x a b = 却不是当 0 x 时的无穷小2.根据定义证明： 2 9( 1) 3 xy x - = + 为当 3 x 时的无穷小 1( 2) sin y x x = 为当 0 x 时的无穷小 证：（1）因为2 9 3 3 x x x - = - +，所以 0 e ，取 d e = ，则当0 3 xd - 时，就有2 9 3x xe- ，取 d e = ，则当0 xd 时，就有1si nx xe ？证：因为1 2 1 1 2 2

40、x x x x + = + - ，要使 1 2x M x + ，只要1 2 M x - ，即 12xM ，取 1 2M d = +，则当0 0 xd - 即1 2x x +为当 0 x 时的无穷大令 4 10M = ，取 41 10 2 d = +当4 10 0 10 2 x - 4.求下列极限并说明理由20 2 1 1 (1)lim ;(2)lim 1x x x x x x + - -解： 2 1 1( 1)lim lim(2 ) 2 x x x x x + = + =理由：由定理 2，1 x为当x时的无穷小；再由定理 11l im(2 ) 2 x x + = ， 20 0 1( 2)lim

41、 lim(1 ) 1 1x x x x x - = + = -理由：由定理 1，0 lim(1 ) 1 x x + = 5.根据函数极限或无穷大定义，填写下表：6.函数 cos y x = 在( , ) - + 内是否有界？这个函数是否 为x+时的无穷小？为什么？ 解：因为 0 M ，总有 0 ( , ) x M + ，使 0 cos 1 x = ， 从而 0 0 0 cosy x x x M= = ，所以 cos y x = 在( , ) - + 内无界 又因为 0, 0 M X ，总有 0 ( , ) x X + ，使 0 cos 0 x = ， 从而 0 0 cos 0y x x M=

42、= 在( 0,1 中总可找到点 0 x ，使 0 ( )f x M ，例如，可取 01 ( )22 x k N k p p = +，则 0 ( ) 22f x kpp = + ，当k充分大时，可使 0 ( )f x M ，所以 1 1 siny x x = 在( 0,1 内无界 再证函数不是 0 x + 时的无穷大 因为 0, 0 M d 总可找到点 0 x ，使 0 0 x d ，例如，可取 01 ( )2 x k N k p += ，当k充分大时， 0 0 xd 但 0 ( ) 2 sin2 0f x k k M p p = = ，所以1 1 siny x x = 不是 0 x + 时的无

43、穷大8.求函数24( ) 2 f x x-的图形渐近线解： 因为lim ( ) 0 x f x = ，所以 0 y = 是函数图形的水平渐近线因为2 2 lim ( ) ,lim ( ) x x f x f x - = =，所以 2 x=-及 2 x= 都是函数图形的铅直渐近线微信公众号 高校课后习题习题 1-51.计算下列极限； 222 212 20222 245( 1)lim ; 3 2 1(3 )lim ; 1 ( )(5 )lim ; 1( 7)lim ; 2 1 6 8(9) lim ; 5 4 x x h x x x x x x x x h x h x x x x x x x +

44、- - + - + - - - - - + - +2 23 3 2 20224 223( 2)lim ; 1 4 2( 4)lim ; 3 2 1 1( 6)lim(2 );(8)lim ; 3 1 1 1( 10)lim(1 )(2 );xxxxxx x x x x x xx x x x x xx x- + - + + - + - + + -1 1 1( 11)lim(1 ); 2 4 2nn + + +2 1 2 3 ( 1)( 12)lim ; n n n + + + -331( 1)( 2)( 3)( 13)lim ; 5 1 3(14)lim( ) 1 1 n x n n n n x

45、 x + + + - - - 解：223 22 3 lim( 3)5( 1)lim 0 3 lim( 1) x x x xx x x -+ = = - +2 23 3 0( 2)lim 0 1 4x x x - = = +2 21 1 2 1 1(3 )lim lim 0 1 1x x x x x x x - + - = = - + 23 2 0 20 0 lim(4 2 1)4 2 1( 4)lim 3 2 lim(3 2) 2 x x x x xx x x x x x - +- + = = + +2 20 ( )(5 )lim lim(2 ) 2 h h x h x x h x h + - = + =2 2 1 1 1 1( 6)lim(2 ) lim2 lim lim 2 x x x x x x x x